Алгебраические векторные поля

Здесь мы рассматриваем элементы векторного поля как элементы пространства дифференцирований комплексной плоскости.

Каждое такое векторное поле задается двумя функциями f(x, y) и g(x, y). Если эти функции являются полиномами, то соответствующее векторное поле называют полиномиальным.

Для векторных полей существует понятие интегральной кривой — это такая кривая, что векторное поле касается её во всех точках кривой.

Интегральные кривые даже у полиномиальных векторных полей могут быть очень сложными. Однако иногда дело обстоит иначе: назовем полиномиальное векторное поле алгебраическим, если каждая его интегральная кривая является алгебраической, то есть множеством нулей какого-то многочлена.

Например, векторное поле (x,?y) будет алгебраическим: его интегральные кривые это «окружности» x^2+y^2 = const.

Первый интеграл векторного поля — это непостоянная функция F(x, y), т.ч. на любой интегральной кривой этого поля она постоянна.

Будем называть векторное поле алгебраическим, если его первый интеграл алгебраический. Возникает естественный вопрос: когда векторное поле является алгебраическим?

Теорема: векторное поле алгебраическое <=> у него существует рациональный первый интеграл, т.ч. его производная по направлению поля равна нулю

Предположим теперь, что у полиномиального векторного поля ? коэффициенты многочленов f(x, y) и g(x, y) являются целыми числами. Тогда для каждого простого числа p мы можем рассмотреть многочлены f(x, y)_p и g(x, y)_p — приведение наших многочленов по модулю p.

Приведение векторного поля ? = (f(x, y), g(x, y)) по модулю p — это векторное поле ?_p = (f(x, y)_p, g(x, y)_p) на плоскости над полем F_p вычетов по модулю p.

Чтобы определить алгебраичность ?_p, надо сначала рассмотреть его как векторное поле на плоскости над алгебраическим замыканием поля F_p и затем требовать, чтобы все его интегральные кривые были алгебраическими.

Легко доказать, что если полиномиальное векторное поле ? алгебраично и многочлены f(x, y) и g(x, y) есть многочлены с целыми коэффициентами, то векторные поля ?_p алгебраичны для всех p, кроме конечного числа.

Ожидается, что верно и обратное утверждение. Это очень красивая нерешенная гипотеза.

Пока все, что по ней известно - это то, что она верна в случае разделенных переменных, т.е. когда f и g зависят от одной переменной. Предлагаю решить несколько задач на эту тему:

Источник: vk.com

Комментарии: