6. Устойчивость систем автоматического управления. 6.6 Понятие об областях устойчивости

Но сначала краткое содержание предыдущих серий:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13. 

3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНЬЕВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено.  3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности. 

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.

6.6 Понятие об областях устойчивости

До этого мы рассматривали устойчивость САР, как свойство конкретных передаточных функций, анализируя их характеристики. Понятно, что для реальных систем управления необходимо обеспечивать устойчивость. Неустойчивые системы управления никому не нужны. В этой лекции разберем кто виноват и что делать.

Вспомним, что передаточные функции САР у нас появляются не просто так, а как следствие преобразования уравнений описывающих физические процессы. Например, в этой статье показано, как из статических характеристик демпфера, таких как масса, упругость пружины, трение, получается передаточная функция демпфера: «Технология» получения уравнений ТАУ. Поэтому после анализа устойчивости можно вернутся на уровень физических уравнений и что нибудь поменять, например жесткость пружины для демпфера, что бы получить устойчивую систему. Рассмотрим как это делается.

Предположим, что разомкнутая САР имеет передаточную функцию вида:

Если САР замкнута, то ее передаточная будет иметь вид:

Где- характеристически полином замкнутой САР.

Характеристическое уравнение такой системы имеет вид:

Как мы уже показали ранее (см. лекцию 6.1 Теоремы Ляпунова) для того что бы система была устойчива все корни должны находится в левой полуплоскости, иметь отрицательную вещественную часть.

Предположим, что коэффициент изменяется от до . Будем давать фиксированные значения и определять значения всех “n” корней уравнения. Тогда при некоторых значениях все корни либо отрицательные, либо имеют отрицательную вещественную часть (расположены в левой полуплоскости). И наоборот: появляются корни с положительной вещественной частью (т.е. корни, расположенные в правой полуплоскости). Тогда на можно построить полуось изменения , определены области устойчивости, т.е. отрезки значений , при которых САР устойчива.

Если изменять 2 коэффициента в характеристическом уравения, например и (или коэффициенты и в передаточной функции САР), то мы получим области устойчивости на плоскости параметров:

Если одновременно изменять 3 коэффициента (например или ) то мы получим поверхность усточивости.

Если изменяются 4 или более коэффициентов, то получаем гиперповерхность устойчивости.

Например, для системы 2-го порядка c характеристическим полиномом согласно критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность коэффициентов и .

Вспоминая лекцию 6, "Если корни комплексные, то процесс колебательный, если корни реальные, то процесс апериодический (затухающий)", можно сказать что:

ось ординат cоответсвует апериодической границе устойчивости, т.к. если, то корни характеристического уравления: ось абсцисс соответсвует колебательной границе устойчивости, т.к. если, то корни характеристического уравления: ;

Разбиение пространства коэффициентов (параметров) характеристического уравнения на области устойчивости и неустойчивости называется Д-разбиением. Данный подход, впервые предложил Ю.И. Неймарк (СССР) в 1948 г.

6.7 Д-разбиение плоскости по одному (комплексному параметру)

Рассмотрим замкнутую САР. Характеристическое уравнение имеет вид:

Где - корень характеристического полинома, при котором .

Предположим, что существует некоторый параметр САР, который входит линейно в один, несколько, или даже все все коэффициенты уравнения 6.7.1 (например, коэффициент усиления некоторого звена, или постоянная времени Т некоторого звена). Тогда, те коэффициенты, которые линейно зависят от можно представить как:

Выражение 6.7.2 может бы применено даже для одного слогаемого в полиноме. Подставляя выражение 6.7.2 в уравнение 6.7.1 получаем уравнение для определения корней характеристического полинома в виде:

где:

Тогда можно записать выражение для :

В плоскости корнейсистема явялется устойчивой для корней в левой полуплоскость, а границей устойчивости – ось ординат (см. лекцию 6.1). Рассмотрим границу устойчивости - ось ординат, где у корнейнет действительной части.

Подставим в уравнение 6.7.3 вместо , значение , и рассмотрим изменение от до . При этом каждому значению можно найти такое значение множителя , что бы выражение 6.7.3 было равно нулю. В этом случае используя выражение 6.7.4 можно получить выражение для комплексного числа k, соотвествующего числу расположенному на граинице устойчивости:

где и - некторые функции от . Таким образом выражение 6.7.5 можно изобразить на комплексной полоскости.

Подставляя в выражение (6.7.5) значение   получаем точку 1 на плоскости ; подставляя значение получим точку 2 на плоскости ; подставляя   - третью и т.д. Соединив изображающие точки на плоскости k получаем линию Д-разбиения, т.е. отображение мнимой оси на плоскости  на плоскость k.

Линия Д-разбиения на плоскости  должна разделять области устойчивости и неустойчивости.

Неймарк показал, что если существует область устойчивости на плоскости , то она должна находиться слева от линии разбиения, если двигаться вдоль нее от меньших значений  к большим.

Для оценки областей устойивости штирхуется область слева от линии Д-разбиения.

Рассмотри точку А2 (см. рис. 6.7.1). Поскольку линия Д- разбиения формируют петлю, то непонятно точная принадлежность соотвесвующего корня к устойчивым или неустойчивым. Однако можно сказать, что переход из точки А2 в точку А3 (см. рисунок 6.7.1) не изменяет количества корней, лежащих в правой полуплоскости, поскольку нет перехода черех линию Д- различения;

Переход из точки А2 в точку А1 уменьшает количество неустойчивых корней уравнения (6.7.1) на 1, а переход из точки А2 в точку А4 – наоборот увеличивает на 1.

Для многих САР, при линия Д-разбиения проходит через начало координат (но не для всех бывают исключения);

Замкнутая область со штриховкой внутри (см. рис. 6.7.1), явялется кандидатом на область устойчивости. Чтобы удостоверится, что данная область – область устойчивости, необходимо какую-нибудь точку на вещественной оси внутри заштрихованной области подставить в исходное характеристическое уравнение  (6.7.1) и либо решить его, либо используя какой-либо критерий сделать вывод об устойчивости или неустойчивости САР.

Для систем невысокого порядка весьма эффективен критерий Гурвица, можно использовать критерий устойчивости по Михайлову.

Линия Д-разбиения обладает свойством зеркальной симметрии относительно оси абсцисс:

Поэтому линию D-разбиения можно строить только для одной половины, например для и зеракльно потом зеркальн отобразить.

Линию D-разбиения можено строить так же с учетом запаса устойчивости. В этом случае используется не ось ординат - граница устойчивости, а сдвинутая в устойчивую область линия. Вместо в уравнение 6.7.5 подставляется значение . Тогда при изменение от до мы получим область значении , при которых корни уравнения 6.7.1 будут расположены левее линии , см. рисунок 6.7.2

Пример 1.

Определить область устойчивости замкнутой системы при варьировании параметра  если САР имеет вид:

где: ;

Решение:

Передаточная функция замкнутой системы (см. лекцию Структурные преобразование система автоматического регулирования):

Характеристическое уравнение замкнутой САР имеет вид:

Выражение для коэффициента из характеристического уравнения

Для поиска границы устойчивости подставляем

Определяем вещественную и минимую части выражения зависимости

Строим линию Д-разбиения по формулам (П.3) и (П.4), наносим штриховку с левой сторный от линии, если идти от до см. рис. 6.7.4

Согласно штриховки устойччивой может быть область . Далее необходимо проверить, является ли найденная область устойчивой. Пусть .

Подставляя в характеристический многочлен  

Воспользумеся критерием Гурвица :

лители:

Все определители матрицы Гурвица больше нуля, следовательно САР устойчива. Следовательно весь отрезок - область устойчивости.

Решение в среде структурного моделирования

Для постороения линии Д-разбиения можно воспользоваться расчетом в среде динамического моделирование SimInTech. На рисунке 6.7.6 Представлен скриншот проекта построения линии Д-разбиения, для примера 1.

С помощью главного скрипта проекта записываем выражения для и , (формулы П.3 и П.4). В скрипте переменные ReK и ImK. Используя переменную w в качестве переменной . Осуществляем присвоение времени моделирования переменной w (выражение w = time;). Это позволяет нам построить график от 0 до T_end - заданного значение вермени моделирования. Используя симметричность линии Д-разбиения относительно оси реальных значений, записываем выражения для части линии, соотвествующе отрицательным заначениям от - T_end, до 0. (см. рис. 6.7.5)

Для того что бы построить график измпользуем блок "Фазовый портрет", в качестве входов используем блоки "Констата" в свойствах в столбце формула указываем имена соответствующих переменных для положительных и отрицательных значениях (см. рис. 6.7.5)

Во время расчета на каждом шаге происходи изменение w, вычислются значения действительной и мнимой части и строится график. При этом красная линия, это положительная часть линии, синия отрицательная. (см. рис. 6.7.5).

Соберем схему, для проверки устойчивости САР используя три значения для: из разных областей полученных при построеи Д-разбиения. Для этого введем новые переменные в галваном скрипте программы и присвоим им значения в секции инициализации:

Что бы построить три разные функции передаточные функции с использованием одной схемы, воспользуемя свойствами векторизации, когда одна схема одновременно рассчитывает несколько независимых процессов. Для этого в свойствах блока зададим параметры в виде матрицы, каждая строка которой, соответсвует отдельной передаточной функции. А входное воздействи размножим в три сигнала:

Результаты моделирования показывают, что система устойчива при находится на колебательной границе устойчиваость при и неустойчива при (см. рис. 6.7.8)

Пример 2

Найти область устойчивости по коэффиценту для передаточной функции характеристичекий полином которой определяется выражением:

Характеристическое уравнение:

Выражения для коэффициента заменяем

Выражение для реальной и мнимой части комплексного параметра :

Строим линию Д-разбиения:

Область возможной устойчивость . Проверяем устойчивось путем моделирования при . Видим, что САР устойчива при .

Дальше будет метод расчета САР с циркулем штангелем и рабиновичем на милиметровой бумаги. Я предупредил!

6.8  Метод Д-разбиений на плоскости 2-х действительных параметров

Предположим, что структурная схема некоторой САР имеет вид:

Необходимо определить параметры регулятора (например К_рег и Т_рег) обеспечивающих устойчивость системы. В этом случае задача анализа сводится к поиску области устойчивости САР при варьировании 2-х параметров (в данном случае К и Т):

Используя методы структурного преобразования любую сложную САР можно свести к одному передаточному звену.

Поскольку рассматриваются линейные (или линеаризованные) САР, то характеристическое уравнение имеет вид:

Предположим, что один или несколько коэффициентов   линейно зависит от и :

Подставляя значения коэффициентов   в уравнение (6.8.1), получаем:

Где - полиномы по степеням

Где - постоянные коэффициенты.

В плоскости корнейсистема явялется устойчивой для корней в левой полуплоскость, а границей устойчивости – ось ординат (см. лекцию 6.1). Рассмотрим границу устойчивости - ось ординат, где у корнейнет действительной части. Подставляя в (6.8.3)  получаем:

g«Отображаем» точки мнимой оси на плоскости  на плоскость (K,T) необходимо решить уравнение:

Совершенно очевидно, что подстановка  в уравнение (6.8.4) обращается в тождество при некоторых значениях К и Т. (например, точке при   соответствует точка 1,  - точка 2,  - точка 3 и так далее.) Чтобы найти значение К и Т, соответствующие границе Д-разбиения, необходимо решить уравнение (6.8.4). Приравнивания по отдельности чисто вещественную и чисто мнимую части, получаем:

Это обыкновенная система двух линейных алгебраических уравнений. Для решения используем метод Крамера:

где: - главный определитель, - вспомогательные определители системы:

Таким образом можно для каждого значения получить точку на плоскости . Соединяя полученные точки получаем линию Д-разбиения на плоскости двух действительных параметров.

Свойства симметрии при изменении заключаются в том, что линия при измененеи от 0 до линия Д-разбиения совпадает с линией при измени от до 0.

Например, если  изменяется от  (точка С на рис) до нуля (точка А), то линия Д-разбиения – СВА, причем если построить линию Д-разбиения при  изменяющейся от нуля до  , то эта линия совпадает с линией АВС, т.е. путь от  до 0 и путь от 0 до  проходит по одной и той же линии.

По аналогии с Д-разбиением на плоскости 1-го комплексного параметра, выясним правила определения возможной области устойчивости, т.е. правила штриховки.

Правила штриховки

Направление штриховки зависит от знака главного определителя системы .

1) Если при движении по кривой Д-разбиения от меньших значений   (от ) к большим (до ) главный определитель больше 0 (), то штриховка слева.

2) Если при движении по кривой Д-разбиения от меньших значений   (от ) к большим (до ) главный определитель меньше 0 () то штриховка справа.

Учитывая, что точки на плоскости (К,Т) при  и совпадают (что позволяет строить только одну ветвь Д-кривой, например от 0 до ), легко показать, что главный определитель  при  и имеет разные знаки. Это означает, что на плоскость (К,Т) с какой-то из сторон линии Д-разбиение будет нанесена двойная штриховка.

Важной особенностью Д-разбиения определяемой на основании решения системы (6.8.5) является наличие случаев, когда все определители ( ) обращаются одновременно в нуль. То есть при определенных значениях

Это означает, что вместо системы (6.8.5) – системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными получается одно уравнение с двумя неизвестными, т.к. уравнения становятся линейно-зависимыми (одно получается из другого линейной операцией, например умножением на какое-то число).

Такая же ситуация возникает если все определители равны бесконечности.

Наиболее частый случай – особая прямая проходит через точку плоскости (К,Т) при или при   (Прямая 2 на рисунке).

К разряду особых прямых необходимо отнести и прямые 1 и 3 на упомянутом рисунке (проходящие через точки Bи E, соответственно).

Правила штриховки в случае особых прямых учитывают, как ведет себя главный определитель  при «прохождении» соответствующей точки на Д-кривой, где он равен нулю:

-если главный определитель  меняет знак с + на – или наоборот, то особая прямая штрихуется одинарной штриховкой в соответствии с зонами соприкосновения, т. е. учитывается штриховка на кривой Д-разбиения вблизи этой точки. (Прямые 1 и 2 соответственно).

-если главный определитель  не меняет знак, то особая пряма не штрихуется и не рассматривается при отыскании областей устойчивости (прямая 3 на рисунке).

Определение возможных зон устойчивости

Далее выявляются замкнутые (или полузамкнутые области), образованные штриховкой вовнутрь. Такая область – возможная область устойчивости см. рис. 6.8.4

Далее необходимо взять какую-нибудь точку М из области (К=К_м, T=T_м) и подставив значение К и Т в характеристический полином системы   определить устойчива или нет САР (например по Гурвицу или непосредственным вычислением всех полюсов или корней). Если при К=К_м, T=T_м САР устойчива, то она будет устойчива и при любых значениях К и Т из этой области, если нет, то возможная область не стала областью устойчивости.

Дополнение

1) Выше предполагалось, что параметры К и Т линейно входят в коэффициенты характеристического уравнения. Если это не так, то система, подобная (6.8.5), принимает вид:

где  - нелинейная функция содержащая реальную часть уравнения 6.8.4;

 – нелинейная функция содержащая мнимую часть уравнения 6.8.4;

Решение этой системы (например по Ньютону-Рафсону) может дать неединственность решений. Тем не менее можно построить линия Д-разбиения. Правило штриховки – аналогичное вышеприведенному, т.е. если >0, то слева и наоборот. В качестве главного определителя  выступает якобиан:

2) Метод Д-разбиения в полной мере применим и для систем с постоянным запаздыванием, когда характеристическое уравнение является не полиномом, а квазиполиномом: