Андрей Колмогоров — один из самых известных отечественных математиков, чей вес в науке сопоставим с Эвклидом, Эйлером или Ньютоном. 25 апреля ученому исполнилось бы 111 лет. В честь этого события в рамках проекта «Герой дня» состоялась лекция, посвященная Колмогорову. Ее прочитал поэт, писатель и математик Владимир Губайловский. Как стать великим в 40 лет, чем теория вероятностей обязана пуговицам, что связывает математику и поэзию — T&P публикуют конспект лекции.
План на 40 лет
Когда Колмогорову исполнилось 40, а это было в 1943 году, он составил себе «конкретный план того, как сделаться великим человеком». План он предварил такими словами: «Посвящается мне самому, к моему восьмидесятилетию, с пожеланием сохранить к этому времени достаточно смысла хотя бы для того, чтобы понимать писания себя самого, сорокалетнего, и судить их с сочувствием, но и со строгостью».
В плане Колмогорова особенно замечателен последний период: с 1974 по 1983 гг. он планировал понять, как человек думает, то есть написать историю форм человеческой мысли. Кроме того, в этот период Колмогоров планировал издать «Математические развлечения» и написать воспоминания о своей жизни. Ничего из этого он не сделал. Зато все остальные пункты плана были выполнены.
Нужно понимать, в каких условиях 40-летний Колмогоров писал этот план. В этот момент он находился на даче в Комаровке. Вокруг шла война. 1943 год — победа еще не очевидна. Он же сидел и планировал следующие 40 лет своей жизни, намереваясь стать «великим человеком». А ведь к этому моменту Колмогоров уже был ученым с мировым именем. В этом проявляется и невероятная самоуверенность Колмогорова (он считает, что легко может стать великим), но и его необыкновенная скромность тоже, ведь все великие открытия, которые Колмогоров к тому моменту уже сделал, он считает недостаточными для того, чтобы стать великим человеком.
Детство гения
Мама Колмогорова, Мария Яковлевна, окончила курсы для школьных учителей и специализировалась как раз на математике. То есть для начала XX века она была женщиной довольно эмансипированной. Но Колмогоров ее совсем не знал, так как она умерла при его рождении. Андрея воспитывала тетя — Вера Яковлевна Колмогорова. Отец в воспитании сына участия не принимал. С раннего детства Колмогоров занимался математикой. В возрасте примерно 6 лет он заметил, что если складывать нечетные числа, то получаются точные квадраты. Это было первым самостоятельным открытием Колмогорова.
У себя дома Вера Яковлевна устроила небольшую школу, в которой она занималась с детьми, жившими по соседству. Под ее руководством издавался детский рукописный журнал «Весенние ласточки». Маленький Колмогоров отвечал в нем за математическую секцию. Он сам придумывал математические задачки. Одна из них — про пуговицу. Задача такая: есть пуговица с четырьмя дырками, чтобы пришить ее, достаточно сделать один стежок. Сколько есть разных способов пришить пуговицу? Эта задача уже связана с теорией множеств, которой Колмогоров будет много заниматься впоследствии.
Учеба
Колмогоров математике ни у кого и никогда не учился. Учителя просто не успевали его учить. Он выучился математике сам по «Энциклопедическому словарю Брокгауза и Ефрона». В своем дневнике он вспоминал: «Я решал трудные задачи, а в теории ушел много дальше школьных программ. Высшую математику изучал по статьям в энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона, что не слишком легко, так как статьи эти имели не учебный характер, а, скорее, справочный». Когда Колмогоров поступил в Московский университет, он уже хорошо представлял себе университетский курс.
Первые годы в университете и мировая слава
В 1922 году Колмогоров поступил в университет. Он был настолько хорошо готов, что на сдачу экзаменов за первый курс ему понадобился всего месяц. Позднее он вспоминал: «Сдав в первые же месяцы экзамены за первый курс, я, как студент второго курса, получил право на 16 кг хлеба и 1 кг масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие. Одежда у меня была, а туфли на деревянной подошве я изготовил себе сам».
Мировая слава пришла к Колмогорову вскоре после его поступления в университет. В математике есть нормальные случаи, а есть — пограничные. Эти пограничные случаи очень важны, так как именно они помогают очертить границы понятий и область их применения. Пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду, и есть такой случай. Именно дав этот пример, Колмогоров заслужил свою первую славу. Сам Фурье был уверен, что такой функции существовать не может, а Колмогоров доказал обратное. Тем самым он ограничил множество функций, которые раскладываются точно в ряды Фурье.
Андрей Колмогоров и А.М. Яглом, Комаровка, 1947 год
Сергей Петрович Капица однажды сказал: когда деды учат внуков — это беда, когда отцы учат детей — уже лучше, но самое лучшее — это когда старшие братья учат младших. Именно в такой ситуации и оказался Колмогоров в университете. Его учителя, математики Урысон и Александров, были старше его всего на 5–6 лет, поэтому их общение имело чрезвычайно плодотворный характер.Учеба Колмогорова в университете проходила в процессе совместной работы с более опытными коллегами. Это было непрерывное общение, постоянный обмен идей — только в таком смысле и учился Колмогоров математике.
Теория вероятностей
Теория вероятностей — наука о случайном. Систему аксиоматического обоснования этой науки Колмогоров построил в 30-х годах. Во время Великой Отечественной войны он использовал свои знания для решения практических задач: Колмогоров дал определение оптимальной стратегии при стрельбе из артиллерийских орудий. При стрельбе по малым целям необходимо использовать искусственное рассеяние — специально отклоняться от места наиболее вероятного попадания, тогда шансы на попадание повышаются. Фактически при стрельбе одиночными снарядами мы имитируем стрельбу дробью.
Теория вероятностей занимается большими ансамблями случайных событий. Каждое событие непредсказуемо, но все вместе они описывают некоторое вполне детерминированное распределение событий. Если взять квадратную площадь, над которой идет сильный дождь, то квадрат будет равномерно мокрым. Вероятность того, что некоторая область в центре квадрата окажется абсолютно сухой стремится к нулю, однако ничего невозможного в этом нет.
Колмогоров определил вероятность как меру. То есть мы можем измерять вероятность площадью. Если считать событием попадание капли в прямоугольники A, B, C, D, то как определить вероятность этого события? Попадет ли каждая конкретная капля в один из прямоугольников, зависит только от площади этих прямоугольников. Оказалось, что такой «площадной» подход отлично работает. Например: вероятность того, что капля попадет в прямоугольник A равна 0,3?0,4= 0,12, вероятность того, что она попадет в прямоугольник D — 0,6?0,7 = 0,42 и т.д.
Калькутта, Индия, 1962 год
Для теории вероятностей Колмогоров предложил свою аксиоматику. Третья аксиома гласит: вероятность всех событий равна 1 (то есть наша капля точно попадет в один из выделенных прямоугольников). Фундамент колмогоровской аксиоматики закладывает четвертая аксиома: если пересечение множеств A и B равно пустому множеству, то вероятность A, объединенного с B, равна сумме вероятностей A и B.
Главная заслуга Колмогорова в том, что он «забыл», что такое вероятность. Он отказался от философского обоснования понятий случайности, детерминированности и т.д., но предложил аксиомы, на базе которых можно построить работающую математическую теорию. То, что она работает, Колмогоров доказал на практике своими работами по стрельбе.
Ученики Колмогорова
Многих поражало, с какой легкостью Колмогоров ориентировался в самых разных областях математики и как моментально умел переключаться с одного предмета на другой. Колмогоров видел математику как некоторое целое и был одним из последних ученых, которым такое видение было доступно. Колмогоров уделял огромное внимание работе со своими учениками. Он выступал как своеобразный сеятель идей, которые разрабатывали в деталях уже его аспиранты. Сам же Колмогоров шел дальше. У него было два состояния окончания занятий проблемой: он или писал статью, или отдавал проблему своему ученику. А его ученики уже были готовы к тому, чтобы понять, что думает их учитель, загореться от него и решить проблему. Таким образом Колмогоров создал одну из крупнейших математических школ мира.
Стихи и математика
Колмогорова с детства привлекала поэзия. Он говорил, что для того, чтобы полюбить Гете, ему надо посчитать все его размеры. Теория колмогоровской сложности во многом выросла как раз из увлечения стиховедением. В университете Колмогоров даже вел семинар по этой дисциплине. Он понял, что информация в стихах передается не только словами, но и самой конструкцией, строением текста.
Колмогоров за составлением речи в Таллине, 1973 год
Известно, что информации тем больше, чем ниже предсказуемость следующего знака. То есть самая большая информация заключается в абсолютно хаотической последовательности. Такая информация, конечно, не слишком интересует человека, так как она бессмысленна. Но если нам рассказывают историю, которую мы знаем наизусть, то есть предсказуемость каждого слова составляет 100%, то никакой информации она нам не несет. Значит, чем выше система повторов в тексте, тем меньше мы извлекаем из него информации. Но именно такая ситуация часто возникает при чтении поэзии. Причем даже когда мы не знаем стихотворение наизусть, какие-то его элементы мы можем угадывать благодаря рифме и ритму. То есть предсказуемость зарифмованного текста изначально повышена, он несет меньше информации, чем обыденная речь. И появляется вопрос: как собственно возникает в поэзии целый «мир чувств», если поэтический текст по своей природе высокопредсказуем и малоинформативен?
Теория сложности
Из интереса Колмогорова к поэзии выросла его теория сложности. Сложность объекта — это длина программы, которая его описывает. Теория сложности — одна из самых перспективных областей современной математики. Задача, которая стоит перед учеными, занимающимися этой теорией, состоит в частности в том, чтобы научиться отделять хаос от знания. Хаотические последовательности содержат максимально много информации, но не имеют смысла (человек их не понимает). Простые повторяющиеся последовательности (например, последовательность из одних нулей или из одних единиц) содержат мало информации — их смысл вырожден. Значит, существуют последовательности, которые содержат значительную информацию и имеют смысл, то есть человек может их понять. Это — область знания. Она очень мала по сравнению с областью хаоса, но именно она нам наиболее интересна. Если нам удастся эффективно отделять хаос от знания, это позволит нам сделать шаг к созданию искусственного интеллекта.
Школа Колмогорова
Где-то к середине 1960-х годов знаменитая колмогоровская идейная продуктивность начала падать. Он продолжает занимать руководящие должности, но собственно науки в его жизни становится все меньше. В последний период Колмогоров всю свою энергию направил на педагогическую деятельность. И в этом прослеживается та же самая логика преемственности, которая красной нитью проходит через всю жизнь Колмогорова. Раньше он отдавал свои идеи коллегам и аспирантам, а теперь увлеченно занимается созданием математического интерната и разрабатывает и проводит реформу школьного математического образования (Колмогоров в соавторстве с другими учеными написал полный курс алгебры и полный курс геометрии для средней школы, и по этим учебникам в школах СССР велось преподавание). Реформа не всеми была встречена с одобрением, Колмогоров подвергся резкой критике как со стороны ученых, так и со стороны учителей. Но система специализированного физико-математического среднего образования, вдохновителем которой тоже выступил Колмогоров, оказалась очень удачной. Школа при университете (ныне СУНЦ имени Колмогорова), созданная Колмогоровым, до сих пор остается одной из лучших математических школ в России.
