Как досчитать до бесконечности, если ты не Чак Норрис |
||
МЕНЮ Главная страница Поиск Регистрация на сайте Помощь проекту Архив новостей ТЕМЫ Новости ИИ Голосовой помощник Разработка ИИГородские сумасшедшие ИИ в медицине ИИ проекты Искусственные нейросети Искусственный интеллект Слежка за людьми Угроза ИИ ИИ теория Внедрение ИИКомпьютерные науки Машинное обуч. (Ошибки) Машинное обучение Машинный перевод Нейронные сети начинающим Психология ИИ Реализация ИИ Реализация нейросетей Создание беспилотных авто Трезво про ИИ Философия ИИ Big data Работа разума и сознаниеМодель мозгаРобототехника, БПЛАТрансгуманизмОбработка текстаТеория эволюцииДополненная реальностьЖелезоКиберугрозыНаучный мирИТ индустрияРазработка ПОТеория информацииМатематикаЦифровая экономика
Генетические алгоритмы Капсульные нейросети Основы нейронных сетей Распознавание лиц Распознавание образов Распознавание речи Творчество ИИ Техническое зрение Чат-боты Авторизация |
2023-04-06 16:01 В эфире микрорубрика с макросодержанием «Каких чисел больше на отрезке от нуля до единицы — рациональных или иррациональных» Осторожно, в заметке упоминаются еврейский заговор, инстакоучи и простой советский натуральный… (на деле речь пройдёт про скучную основу математики — теорию множеств. И про мощность множества, как меру бесконечности) Множество — это воображаемая совокупность разных элементов. С конечными множествами всё понятно. Собери кучку предметов, пересчитай, вот тебе множество. 10 камешков на песке или 10 апельсинов на столе — суть предметов не важна. Главное, чтобы вы могли сказать: это элементы множества (нужен критерий принадлежности). И важно придумать способ, как отличать элементы друг от друга (например, по номерам). Готово, мы сформировали понятие множества. Теперь придумаем для них операции — вроде объединения и пересечения. И зададим понятие отображения из одного множества в другое. Например, если у вас одно множество из 10 апельсинов, а другое множество — числа от 1 до 10, то достаточно расположить числа и апельсины попарно. Совокупность таких пар и будет отображением. Хорошее отображение — это когда вы построили взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Если никакой апельсин не забыли и не пересчитали дважды, тогда у нас биекция, пацаны, и два этих множества считаем эквивалентными. Ещё из примеров отображений — любая школьная функция вида y = f(x) — это отображение одной числовой оси в другую. Помните, рисовали график параболы по точкам? Вот это оно и есть, точка на плоскости это пара из аргумента и соответствующего ему значения. То есть функция — это опять таки множество, только состоящее из пар элементов. Теорию множеств придумал в 19 веке немецкий математик Георг Кантор (уроженец Питера). И оказалось, что на языке этой теории удобно записать вообще всю математику. Потом правда выяснилось, что в исходном «наивном» варианте теории возникают парадоксы, пришлось добавить более строгих аксиом. Можно сказать, что это открытие принесло такие же удобства математикам, как периодическая таблица элементов химикам. Но вернёмся к нашим простым множествам из камешков на песке. Сделаем бесконечное множество. Начнём выкладывать и нумеровать камешки бесконечно, до горизонта и дальше. Физически столько камней нет, так что представим бесконечную прямую, уходящую вправо. А на ней точками проставим порядковые номера камней — до бесконечности. Какой бы вы мне номер n ни назвали, я скажу, что правее ещё лежит номер n+1. С одной стороны, это простой советский бесконечный ряд натуральных чисел. С другой стороны, такая простая бесконечность непостижима уму. Всё во вселенной конечно. Миллиарды галактик и звёзд, неисчислимое множество кварков, фотоны летают туда-сюда — это можно пересчитать каким-то большим числом, у которого наверняка нет названия. И это большое число сосёт у простого множества натуральных чисел. Да что там физические объекты Вселенной. Возьмите информационную часть. Прибавьте сюда совокупность всех мыслей, произнесённых слов, записанных байтов информации, комментариев к постам — всё это также будет конечно. Точно мы посчитать не можем, но у всего этого добра есть какой-то порог сверху, просто какое-то большое число. Отнимаем его от ряда натуральных чисел, начинаем отчёт с единицы — и справа у нас будет бесконечный хвост, такой же огромный, как был до этого. Так мы ненароком открыли, что если у бесконечности отнять конечное множество, она останется такой же бесконечностью, от неё не убудет. Хотя по закону Евклида, целое всегда больше, чем своя собственная часть. Просто у древних греков бесконечного количества камешков не было. Прибавлять к натуральному ряду конечное множество тоже можно сколько угодно, бесконечность от этого не распухнет. Знаете, я уже сам своего рода учёный, можно теперь что-нибудь поинтереснее? Что будет, если к бесконечности прибавить другую бесконечность? А вот тут уже возможны нюансы. Для иллюстрации приведу репортаж из газеты «Вымышленные новости из параллельной вселенной». «…В городе работает необычный отель. В нём бесконечное количество номеров. На конгресс политологов и инфекционистов прибыло бесконечное число школьников. Всех их заселили в отель, всем хватило, каждый номер оказался занят одним школьником. Но тут прибыл ещё один участник конгресса, военный эксперт с первого канала. Куда его поселить? Все номера заняты, в какой ни постучи, даже с миллиардным номером. Администратор отеля нашёл выход. Он постучался в первый номер и попросил школьника переселиться в соседний (с номером 2). Во втором номере — в соседний с номером 3. Третьего — в четвёртый. И так далее, бесконечное число раз. Хвост сдвинулся вправо. Военный эксперт заселился в освободившийся первый номер, а все остальная школота также не осталась без жилья. Когда на конгресс прибыл ещё миллион школьников, все номера были заняты. Но вы уже знаете ответ — администратор переселил постояльца из первого номера в миллион-первый, второго — в миллион-второй и т.д. Сдвинули хвост вправо на нужное число — освободили нужное количество номеров. Да что я вам рассказываю, читатели-москвичи в курсе, как это работает. Но тут на проходящий в том же городе конгресс блогеров прибыл рейс из Дубая с бесконечным числом инстакоучей. Куда их селить? На какое бы конечное число мы не сдвинули хвост, поселить можно только часть блогеров. Администратор на время ушёл в себя, сделал запрос ко Вселенной и скоро нашёл ответ. Школьника из первого номера он попросил переселиться во второй номер. Из второго — в четвёртый. Из третьего — в шестой. Из n-ного — в номер 2n. В результате все переехали, никто не остался без номера, но при этом в отеле освободились все нечётные номера. Туда и заселилась бесконечная толпа инстакоучей…» Обдумывая такие сюжеты с бесконечными отелями, Георг Кантор ввёл понятие мощности множества. Если множество конечное — его мощность равна количеству элементов. А вот если оно бесконечно, нужно посмотреть, эквивалентно ли это множество натуральному ряду. То есть, можно ли построить биекцию с натуральными числами (пересчитать). И если да, то назовём такое множество счётным. Как обозначить новое понятие мощности? Все латинские и греческие буквы были к тому времени заняты, поэтому мощность множества Кантор обозначил первой буквой еврейского алфавита: ? («алеф»). Вопрос — почему еврейского? Ну что ему стоило выбрать русскую букву? Например, Щ? И была бы в математике не «иерархия алефов», а иерархия Щей. У счётного множества мощность обозначается как ?0 («алеф-ноль»). Если к счётному множеству прибавить конечное множество — мощность не изменилась. Отнять бесконечную половину (см. пример с нечётными номерами в отеле) — тоже не поменялась. Повлиять на мощность может слияние с чем-то более серьёзным. Каким-то более мощным бесконечным множеством. Только есть ли оно? Что если взять рациональные числа (дроби)? Их тоже бесконечно много, причём в ещё более пугающем ключе для простого человека. С натуральными числами было ещё терпимо. Хвост уходит бесконечно вправо, зато между соседними камнями пусто. А теперь бесконечность уходит не только вправо, но и вглубь, на каждом взятом сантиметре. Какие два соседних рациональных числа не возьми, между ними будут ещё. Это в физическом мире вы не можете делить отрезок бесконечно — упрётесь в планковскую длину. В математике можете делить сколько угодно. И в результате на маленьком отрезке от 0 до 1 у вас бесконечное число точек. И вот вопрос: чья мощность будет больше — натуральные числа (бесконечный ряд, но дискретный) или рациональные числа (тоже бескрайняя прямая, но при этом ещё и точки понатыканы бесконечно плотно)? Ответ неочевиден, но мощность у них будет одинакова. Все рациональные числа можно пересчитать. Достаточно предъявить алгоритм такого пересчёта и доказать, что получится биекция. Алгоритм такой: нарисуем табличку с бесконечным числом столбцов и строк. В ячейки впишем дроби m/n, где m это номер столбца, а n — номер строки. Чтобы учесть отрицательные числа, можно например дублировать каждый столбец таким же, но с отрицательным номером, или продолжить таблицу бесконечно влево. Конечно, дроби в таблице будут повторяться. Но мы получили главное — любое рациональное число лежит где-то там, в этой таблице. А теперь пересчитаем ячейки, начиная с угла и обходя по диагонали (см. картинку). Или начиная с центра и по спирали. Повторяющиеся значения можно пропускать. Какое рациональное число ни возьми — его можно найти в таблице, а значит и присвоенный ему порядковый номер. Поздравляю, вы построили биекцию. У множества рациональных чисел оказалась та же мощность — алеф-ноль. А что если взять иррациональные числа? Ну там редкие и чудесные диковины, вроде числа ?, е, или корня из двух? Они тоже есть в виде точек на числовой прямой. Что если их добавить к рациональным? Какая получится мощность? Вроде, ничего не изменится, ведь иррациональных чисел не так много? Кажется даже, что все иррациональные числа описаны в википедии, как диковины. Доказательством мучать не буду, но фишка в том, что иррациональные числа нельзя пересчитать. Их не просто бесконечное количество. Их настолько дофига, что мы получаем новый уровень бесконечности — континуум. Счётные множества просто дети по сравнению с континуальными. На одном отрезке [0, 1] живёт бесконечно много как вёрджин рациональных чисел, так и гига-чад иррациональных. Это как с тёмной материей, которую мы не видим, но которая по слухам занимает большую часть Вселенной. Так что, мы нашли следующую ступеньку бесконечности? Судя по всему, так и есть, по крайней мере в выбранной аксиоматике. Мощность алеф-один это континуум. А дальше, есть ли множества более мощные, чем континуум? С мощностью алеф-два, алеф-три и т.д.? Есть, но немножко дикие. Написать заметку про них предоставляю право постоянным авторам кэт-сайенс. Как тебе такая задача, Александръ Грибоедовъ? На этом всё, берегите себя и старайтесь всегда селиться в отель если не с континуальным, то хотя бы со счётным количеством номеров. Источник: vk.com Комментарии: |
|