Детерминантные процессы

Александр Буфетов, Александр Комлов

Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер?

Число остовных деревьев в графе нашёл ещё Кирхгоф в работе 1847 г. об электрических цепях, а в 1993 г. Burton и Pemantle нолучили замечательную формулу для доли остовных деревьев, содержащих данный набор рёбер. Эта формула имеет вид детерминанта матрицы, размер которой равен числу ребер в интересующем нас наборе. Оказывается, аналогичные детерминантные формулы возникают в самых разных задачах теории вероятностей, теории представлений, анализа, математической физики. Например, рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой задаются случаем. Тогда распределение собственных чисел случайной матрицы имеет детерминантный вид.

Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Первые две лекции, посвященные комбинаторным задачам, будут совершенно элементарны и полностью доступны десятиклассникам. Для понимания двух заключительных лекций желательно знакомство с началами анализа, а также с понятием определителя, которое, впрочем, мы напомним на первом занятии.

Теория детерминантных процессов молода: большинство результатов относится уже к XXI веку. Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы.

Программа занятий:

* Детерминанты и пфаффианы

* Остовные деревья

* Случайные матрицы

* Мультипликативные функционалы

Буфетов Александр Игоревич — доктор физико-математических наук;

Комлов Александр Владимирович — кандидат физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна

22-26 июля 2012 г.

Источник: vk.com

Комментарии: