Что такое логика доказуемости?

Лев Беклемишев

Классическая логика высказываний исходит из предположения о том, что любые высказывания либо истинны, либо ложны. Логика доказуемости отражает более глубокую картину мира, осознанную после теорем Гёделя о неполноте: истинность высказывания, вообще говоря, не равносильна его доказуемости. Можно ли — и если да, то как — говорить на уровне логики о доказуемости или недоказуемости высказываний, наряду с их истинностью или ложностью? Решение было, по существу, предложено ещё Гёделем, а потом эта область активно развивалась начиная с 60-х годов XX века.

Язык логики доказуемости, наряду с обычными связками логики высказываний, содержит одноместные связки, обозначаемые ? и ?. При этом ? A выражает доказуемость высказывания A, а ? A его непротиворечивость. Какие принципы логики доказуемости следует считать тавтологиями, то есть верными (подумайте: истинными или доказуемыми?) независимо от смысла элементарных высказываний, из которых они построены?

Слушателям рекомендуется подумать, следует ли считать тавтологиями следующие примеры:

A & ? B ? ?(A & B)

(A ? B) ? ? A ? ? B

A ? ?? A

A ? ? ? A

A ? A

Как можно описать множество всех тавтологий логики доказуемости? Есть ли алгоритм, распознающий тавтологичность?

Для понимания рассказа будет полезно общее знакомство с теоремами Гёделя о неполноте и иметь представление о формальных системах, построенных на базе логики предикатов, таких как формальная арифметика Пеано. Разумеется, от слушателей НЕ требуется помнить многочисленные технические детали.

Материалы к лекции: https://forany.xyz/a-428

Беклемишев Лев Дмитриевич — доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна.

21 июля 2013 г.

Источник: forany.xyz

Комментарии: