Как известно, алгебраическую геометрию в современном виде создал Гротендик

Как известно, алгебраическую геометрию в современном виде создал Гротендик. Но начало её происходит от Декарта, который придумал кривые описывать с помощью уравнений на координатной плоскости. Существует очень простое введение в алгебраическую геометрию через кривые http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf . Кроме того, есть ещё популярная лекция Арнольда https://www.mccme.ru/dubna/books/pdf/via-vag.pdf Давайте посмотрим на несколько интересных объектов - все они являются графиками многочленов.

Первый такой объект на прикреплённой картинке - дельтоида Эйлера. Прокатим окружность внутри другой окружности размером в три раза больше. Получим кривую с тремя острыми углами. Неочевидно, что можно описать её полиномиальным уравнением, но это так. Великий математик Леонард Эйлер придумал его в 1745 году.

Второй пример - кубическая узловая поверхность Кэли. Она знаменита тем, что это многообразие с наибольшим количеством узлов (таких острых штук), которые можно описать кубическим уравнением. Уравнение имеет вид (xy + yz + zx)(1 – x – y – z) xyz = 0.

Многообразие: поверхность Эндрасса восьмого порядка — это красивый высокосимметричный пример со 168 узлами.

Поверхность Тольятти - поверхностью степени пять с 31 узлами. 31 - это максимально возможное количество узлов для поверхности с такой степенью. Первые примеры поверхностей Тольятти построил Тольятти, на четвертом рисунке изображён первый из его примеров.

Поверхность Сарти представляет собой узловую поверхность со степенью 12 с 600 узлами, обнаруженную Александрой Сарти (2008 ). Максимально возможное количество узлов поверхности степени 12 неизвестно (по состоянию на 2015 год), хотя Йоичи Мияока показал, что оно не превышает 645.

В алгебраической геометрии узловая поверхность представляет собой поверхность , единственными особенностями которой являются узлы . Основная проблема заключается в том, чтобы найти максимальное количество узлов узловой поверхности заданной степени. Все эти поверхности чрезвычайно красивы. .

Источник: www.mccme.ru

Комментарии: