Фундаментальная группа и как ее вычислять

Борис Шойхет / ЛШСМ 2022

В топологии, чтобы отличать различные пространства, строятся инварианты — алгебраические структуры (так что если инварианты разные, то пространства заведомо разные, но если инварианты одинаковые, то отсюда ничего не следует). Вероятно, простейшим таким алгебраическим инвариантом является фундаментальная группа.

Я напомню что такое группа вообще и определю фундаментальную группу. Мы научимся считать фундаментальную группу (как минимум) в двух примерах: «сфера с g ручками» и «дополнение в трехмерном пространстве к торическому узлу» (например, трилистник является торическим узлом). Основным нашим инструментом будет теорема Зейферта—ван Кампена, которую мы докажем. Я докажу ее по Р.?Брауну, через фундаментальные группоиды. Такое доказательство намного легче понять, но оно использует немного абстрактной теории категорий, которую я не предполагаю известной.

Мы увидим, в частности, что при различных g сферы с g ручками имеют не изоморфные фундаментальные группы, и выведем отсюда что они и не гомеоморфны (и даже не гомотопически эквивалентны).

Желательно знакомство с понятием непрерывности отображения.

Борис Шойхет

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна

20-27 июля 2022 г

Источник: vk.com

Комментарии: