Древнее кельтское зеркало,

С фракталом.

Кто там , варвары ,были да?

И дикари , до христианства.

Ну, а как же иначе.

Фракта?л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Является самоподобным или приближённо самоподобным.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую размерность.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть {displaystyle psi _{i},,i=1,dots ,n}psi _{i},,i=1,dots ,n — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: {displaystyle Psi colon Kmapsto cup _{i=1}^{n}psi _{i}(K)}Psi colon Kmapsto cup _{{i=1}}^{n}psi _{i}(K)

Можно показать, что отображение {displaystyle Psi }Psi является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения {displaystyle psi _{i},,i=1,dots ,n}psi _{i},,i=1,dots ,n — отображения подобия, а {displaystyle n}n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского {displaystyle n=3}n=3 и отображения {displaystyle psi _{1}}psi _{1}, {displaystyle psi _{2}}psi _{2}, {displaystyle psi _{3}}psi _{3} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении {displaystyle Psi }Psi .

В случае, когда отображения {displaystyle psi _{i}}psi _{i} — преобразования подобия с коэффициентами {displaystyle r_{i}>0}r_{i}>0, размерность {displaystyle s}s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения {displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+dots +r_{n}^{s}=1}r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+dots +r_{n}^{s}=1. Так, для треугольника Серпинского получаем {displaystyle s=ln 3/ln 2}s=ln 3/ln 2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения {displaystyle Psi }Psi , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа?

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть {displaystyle F(z)}F(z) — многочлен, {displaystyle z_{0}}z_{0} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: {displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...}z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...

Нас интересует поведение этой последовательности при стремлении {displaystyle n}n к бесконечности. Эта последовательность может:

стремиться к бесконечности,

стремиться к конечному пределу,

демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: {displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...}z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...

вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений {displaystyle z_{0}}z_{0}, для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множества точек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена {displaystyle F(z)=z^{2}+c}F(z)=z^{2}+c (или другой похожей функции), то есть тех значений {displaystyle z_{0}}z_{0}, для которых поведение последовательности {displaystyle z_{n}}z_n может резко меняться при сколь угодно малых изменениях {displaystyle z_{0}}z_{0}.

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен {displaystyle F(z)}F(z) и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность {displaystyle z_{n}}z_n демонстрирует определённое поведение при фиксированном {displaystyle z_{0}}z_{0}. Так, множество Мандельброта — это множество всех {displaystyle cin mathbb {C} }cin {mathbb {C}}, при которых {displaystyle z_{n}}z_n для {displaystyle F(z)=z^{2}+c}F(z)=z^{2}+c и {displaystyle z_{0}}z_{0} не стремится к бесконечности.

Ещё один известный пример такого рода — бассейны Ньютона.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления {displaystyle z_{n}}z_n к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер {displaystyle n}n, при котором {displaystyle |z_{n}|}|z_{n}| превысит фиксированную большую величину {displaystyle A}A).

Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы.

Стохастические фракталы

Случайный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

эволюции Шрамма-Лёвнера (англ.)рус. — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.

Природные объекты, обладающие фрактальными свойствами

Вид спереди на трахею и бронхи

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Природные структуры не могут быть идеальными фракталами из-за ограничений, накладываемых размерами живой клетки и, в конечном итоге, размерами молекул.

В живой природе:

Кораллы

Морские звезды и ежи

Морские раковины

Цветы и растения (брокколи, капуста)

Кроны деревьев и листья растений

Плоды (ананас)

Система кровообращения и бронхи людей и животных

В неживой природе:

Границы географических объектов (стран, областей, городов)

Береговые линии

Горные хребты

Снежинки

Облака

Молнии

Морозные узоры на оконных стёклах

Кристаллы

Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

Источник: vk.com

Комментарии: