Про устойчивые гомологии торов

Как и большинство математиков, которые в теме, я считаю, что топологический анализ данных - это морская свинка. С точки зрения математики он довольно тоскливый, ну нету там особой науки. А с точки зрения нормальной науки о данных - слишком медленный и проигрывает sota алгоритмам. У ТАД, тем не менее, есть три хорошо зарекомендовавших себя области применения: (1) интерпретируемая визуализация данных в естественных науках, (2) качать баблишко с грантодателей, (3) помогает зятягивать студентов в нормальную математику. Если отдавать себе в этом отчет, то в целом всё не так плохо. Меня лично, правда, больше всего смущает отсутствие в ТАД мало-мальски серьезных открытых математических проблем, гипотез и векторов развития.

Ну, вернее, есть одна идея: я считаю, что устойчивые гомологии были бы куда наукообразнее, если бы кто-то определил их для бесконечных пространств с мерой и метрикой (например, компактного риманова многообразия), например, как стохастический предел устойчивых гомологий выборок, доказал бы по нормальному какие-то связи с систолической геометрией. Только тут надо доказать, что стохастический предел существует. Дальше можно было бы оценивать скорости сходимости. Это была бы хорошая работа, которая позволила бы оценивать статистическую значимость ТАДных результатов, без принятого сейчас рукомахательства типа "посмотрите на диаграмму устойчивости, видно же, что это бутылка Клейна, а если не верите, то вот вам теорема устойчивости, она типа про статистику и типа всё обосновывает".

У меня есть личная теория заговора, почему никто в сторону стохастических пределов активно не думает. Потому что скорее всего окажется, что для обоснованных экспериментальных результатов надо сэмплировать гугол точек - а тогда весь ТАД посыпется к чертям как карточный домик. А это топологам, конечно, не хочется, см. п.1 и 2. Люди из естественных наук в первую очередь молятся на статистику, если поймут, что ТАД официально имеет нулевое статистическое обоснование, - то коллег-топологов со скандалом пошлют нахер. И денег не дадут.

Ну да ладно, я вообще хотел про другое написать. Недавно в нашем секретном проекте в качестве побочки возник неожиданный эмпирический факт. Он немного искусственный, но я подумал, что это как раз хороший пример концептуальной геометрической задачи, которых в сей науке дефицит. Итак, задача.

Рассмотрим стандартную квадратную решетку на плоскости с чебышевской метрикой. Свернем ее в тор по некоторой целочисленной подрешетке, и индуцируем чебышевскую метрику на такой тор. Теперь у нас есть тор, а целые точки исходной решетки дают на нем некую конечную выборку. Посчитаем устойчивые гомологии этого облака.

Наука ТАД нам говорит, что вокруг каждой точки надо выращивать шарик (в чебышевской метрике квадрат, см. рисунок) и смотреть, как выглядит объединение этих квадратиков. И вроде бы понятно, что там вначале будет куча 0-мерных гомологий, потом они все одномоментно помрут (квадраты слипнутся) и останется 2-тор - с двумя 1-гомологиями и одной 2-гомологией. А потом все слипнется в ацикличный кластер. Ну может быть одна 1-мерная гомология, соответствующая более длинному меридиану, поживет чуть подольше. Но суть-то понятно, что такая, как описано.

А вот оказывается, что нихрена подобного. Если тор сделать немного скошенным, то где-то после смерти 2 гомологии внезапно рождается ТРЕТЬЯ гомология, и вполне устойчиво живет какое-то время. Можете сами потестить на порождающих векторах (8,0) и (2,8) или погонять мой код https://github.com/AntonAyzenberg/Learn-persistent-homology/blob/master/TorusHomology.ipynb

Это пока совершенно непонятный феномен. Моя гипотеза в том, что эта призрачная 3-гомология - это 3-сфера, полученная склейкой двух полноториев по исходному тору, но почему так, я толком не понимаю. Если это действительно так, то можно пойти дальше, и попытаться у n-мерного тора, покрытого кубиками, найти (2n-1)-мерную устойчивую гомологию. А можно даже попытаться в устойчивых гомологиях тора гомологии произвольных момент-угол комплексов. Ведь момент-угол - это как раз про то, что у тора некоторая часть окружностей заклеивается дисками, кажется, тут такое может возникнуть. Есть неиллюзорный шанс натянуть на ТАД торическую топологию:)

А еще можно экспериментально потыкать другие наборы порождающих векторов, и убедиться, что 3-гомологий иногда бывает больше одной, а иногда вообще не бывает.

Ну и вполне может статься, что всё это баг рипсера, и я вам тут просто дичь втираю про 3-гомологии 2-тора. Это понять тоже было бы ценно.

Источник: github.com

Комментарии: