Планета-компьютер и системные требования Вселенной: разбираем предел Бремерманна

Мы привыкли к тому, что компьютеры с каждым годом становятся умнее, работают быстрее и обучаются решать невероятные задачи. Однако учёные утверждают, что прогресс вычислительной техники не может продолжаться вечно.

Законы физики говорят о наличии барьера, ограничивающего скорость обработки информации. И по современным представлениям науки преодолеть его не сможет ни один компьютер, на каких бы физических принципах он ни был построен.

Первым, кто смог убедительно доказать это и сформулировать математическое выражение для расчёта максимально возможной производительности компьютеров, был Ханс Бремерманн. Вычисленное им значение сегодня называют «пределом Бремерманна».

Бремерманн из Бремена

Ханс-Иоахим Бремерманн родился в 1926 году в немецком городе Бремене, в честь которого его род и получил свою фамилию. Его детство и юность прошли на фоне трагических событий, происходивших с Германией в те годы: экономический кризис, приход к власти нацистов, Вторая мировая.

Бремен сильно пострадал от воздушных налётов, но Ханс и его семья выжили. Пережитые бедствия оказали сильное влияние на Бремерманна и способствовали его увлечению наукой.

«В ранние годы своей жизни я видел слишком много хаоса, поэтому я выбрал математику — как „убежище истины“».

Ханс-Иоахим Бремерманн
цитата: BioSystems

В 1946 году Ханс поступает в Мюнстерский университет. В разрушенной войной стране математика стала одной из немногих наук, доступных молодым людям, ориентированным на познание окружающего мира. Ханс вспоминал: «Всё, что нам было нужно для занятий, — это бумага и карандаши».

Во время обучения Бремерманн заинтересовался трудами Алана Тьюринга, в которых описывались теоретические основы создания вычислительных машин, а также отслеживал редкие публикации о первых компьютерах, появлявшиеся в печати.

В 1951 году Бремерманн окончил университет. Его выпускная работа была посвящена комплексным числам и после публикации получила международное признание.

Перспективным математиком из Германии заинтересовались в США. Ханс получил стипендию для повышения квалификации в Стэнфорде, а затем и в Гарварде.

Переезд в США: Великий и ужасный MANIAC

С 1952 года Бремерманн учится и работает в Америке, изредка возвращаясь в Германию на непродолжительное время. В этот период он публикует несколько фундаментальных работ, в которых решает задачи, связанные с квантовой теорией.

Вскоре Ханс Бремерманн по личному приглашению Роберта Оппенгеймера, вдохновлённого его научным талантом, устраивается на работу в Институт перспективных исследований в Принстоне, который в то время считался мировым центром математики. Здесь после эмиграции в США работали Альберт Эйнштейн, Джон фон Нейман, Курт Гёдель.

В Принстоне Ханс впервые воочию увидел реально действующую ЭВМ и был заворожён её возможностями. Это был MANIAC — один из первых компьютеров, созданных в соответствии с архитектурой фон Неймана.

Компьютер не только мог производить расчёты сложных физических процессов, но также регулярно обыгрывал людей в шахматы на уменьшенной доске 6 ? 6 (в так называемые «Лос-Аламосские шахматы»). Бремерманн попросил руководство доверить ему написание нескольких программ для этой машины.

У MANIAC была «особенность»: если программа часто обращалась к одной ячейке памяти, то связанные с ней вакуумные лампы перегревались и лопались. Оператор должен был следить за лампами, чтобы вовремя заметить, что одна из них раскалилась, и остановить вычисления. Бремерманн написал программу, которая распределяла нагрузку на разные ячейки памяти и устраняла эту проблему.

Бремерманн также был увлечён книгой фон Неймана «Компьютер и мозг», трудами Клода Шеннона по теории информации и работой Фрэнка Розенблатта над персептроном — первой действующей искусственной нейронной сетью. Дошло до того, что он даже обсуждал с Розенблаттом в 1962 году перспективы совместной работы над нейросетями.

Предел Бремерманна

Ханс Бремерманн обладал уникальным сочетанием знаний в области математики, компьютерной техники и квантовой физики. Изучая возможности медленных и ненадёжных ЭВМ тех лет, он задумался о том, что скорость их работы наверняка не может увеличиваться бесконечно.

Поскольку скорость света ограничивает возможность перемещения в пространстве (ничто во Вселенной не может двигаться быстрее), должно существовать и ограничение на количество вычислительных операций, которые могут производиться в одном грамме материи за единицу времени. И это ограничение является таким же фундаментальным, как и скорость света.

Бремерманн потратил немало времени, чтобы рассчитать значение этого предела. Формулу он вывел, исходя из эйнштейновской эквивалентности массы и энергии (знаменитое E = mc²), а также из соотношения неопределённостей Гейзенберга.

Результатами своих вычислений он поделился в 1962 году в статье, первый раздел которой назывался «Ограничения на обработку данных, вытекающие из квантовой теории».

Согласно полученному Бремерманном выражению, максимальная скорость вычислений (N) зависит от массы объекта m (чем она больше, тем выше скорость), а также определяется соотношением констант: скорости света (c) и постоянной Планка (h):

В честь автора это ограничение получило имя «предел Бремерманна».

Подставив в формулу значения констант — скорости света и постоянной Планка, можно рассчитать, что предел Бремерманна для одного килограмма массы составит примерно 10⁵⁰ бит в секунду.

Это значение физики часто применяют при расчётах так называемого «идеального ноутбука» — гипотетического вычислительного устройства массой один килограмм, работающего с максимально возможной эффективностью.

Чтобы понять, на каком уровне технологий мы находимся сейчас, сравним это число с производительностью ПК на мощном процессоре Intel Core i9-9900K, которая примерно равна 6,5 ? 10¹¹ бит/c. Как видим, до предела Бремерманна современным компьютерам ещё очень далеко.

Физика вычислений

Попытаемся в упрощённом виде воспроизвести ход рассуждений, позволивших Бремерманну вывести свою знаменитую формулу.

«Компьютеры — это физические системы: законы физики диктуют, что они могут и чего не могут делать. В частности, скорость, с которой физическое устройство может обрабатывать информацию, ограничено его энергией, а количество информации, которое оно может обработать, ограничено количеством степеней свободы, которыми оно обладает».

Ханс-Иоахим Бремерманн
цитата: Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability

В любой физической системе информация кодируется разными уровнями энергии, изменяющимися в пределах интервала от нуля до E.

Интервал [0, E] должен быть разделён на набор равных отрезков ?E, каждый из которых кодирует один бит информации — есть в нём энергия («логический 1») или нет («логический 0»).

Количество отрезков (N) легко определить по формуле:

Чем больше число отрезков N, тем большее количество информации мы сможем сохранить и обработать в пределах одного и того же уровня энергии E.

Однако для достижения большего числа N мы должны всё время уменьшать количество энергии ?E, приходящейся на один интервал, а следовательно, должны увеличивать точность прибора, способного измерить столь мизерные уровни энергий.

Дойдя до квантового уровня, наш прибор столкнётся с принципом неопределённости Гейзенберга, устанавливающим предел точности любых измерений. В соответствии с этим принципом произведение времени измерения ?t и количества измеряемой энергии ?E не может быть меньше константы (h), называемой постоянной Планка:

Отсюда выразим минимально возможное количество поддающейся измерениям энергии ?E = h/?t и подставим его в формулу для вычисления N:

Далее заменим в уравнении энергию E на массу, используя известную формулу Эйнштейна E = mc², определяющую количество энергии, заключённой в единице массы. В итоге получим:

Подставив значения констант: с (скорость света в вакууме) и h (постоянная Планка), мы придём к соотношению, определяющему предел Бремерманна:

При переводе массы из грамм в килограммы, получаем предел Бремерманна для 1 килограмма вещества: 10⁵⁰ бит в секунду.

На что способен компьютер размером с планету

Выведя столь замечательную формулу, Бремерманн решил рассчитать количество вычислительных операций, которые мог бы совершить мощный суперкомпьютер, работающий с максимально возможной скоростью.

В качестве мыслительного эксперимента Ханс Бремерманн предположил, что вся наша планета является гигантской вычислительной машиной, функционирующей с момента своего зарождения 4,5 миллиарда лет назад.

Подставив в уравнение массу Земли и время её существования, Бремерманн рассчитал, что такой гипотетический компьютер-планета мог бы обработать к настоящему времени не более 10⁹³ бит информации.

Для сравнения, самый мощный суперкомпьютер Fugaku, стоимостью в миллиард долларов, за то же время просчитал бы только 1,4 ? 10³⁵ бит, работая без перерывов.

Конечно, Бремерманн не утверждал, что наша планета является компьютером. Он просто получил условное число, с которым можно сравнить количество операций, необходимых для выполнения того или иного алгоритма.

Если для решения некоей задачи требуется провести более 10⁹³ операций, то очевидно, что сделать это не сможет никакой компьютер, находящийся на Земле, даже если предположить, что сама планета с начала времён была вычислительным устройством. Бремерманн назвал такие задачи «трансвычислительными».

Трансвычислительные задачи повсюду

Предел Бремерманна даёт наглядное представление об ограниченности вычислительной способности любой мыслимой системы, существующей в нашей Вселенной.

Оказывается, что многие задачи никогда не удастся решить простым наращиванием скорости компьютеров. В качестве примера можно привести знакомую всем настольную игру — шахматы. В 1950 году великий американский математик Клод Шеннон определил, что в ней количество неповторяющихся партий равно приблизительно 10¹²⁰ (так называемое «число Шеннона»).

Было бы очень заманчиво научить компьютер играть в шахматы, заложив в него информацию обо всех возможных партиях. Но благодаря пределу Бремерманна мы понимаем, что эта задача относится к трансвычислительным. Следовательно, никакой, даже самый быстрый во Вселенной, компьютер не сможет решить её простым перебором.

Также обратим внимание и на саму шахматную доску — клетки на ней окрашены всего лишь в два цвета — чёрный и белый. Если мы поставим перед компьютером цель перебрать все комбинации клеток, которые могут встретиться на шахматной доске, то задача станет трансвычислительной уже при размере доски 18 ? 18.

Ещё одним классическим примером является задача коммивояжёра. Она заключается в поиске пути обхода ряда городов по самому короткому маршруту. Можно легко построить алгоритм, который будет перебирать все возможные маршруты и находить среди них оптимальный. Но вот незадача: на его выполнение при большом числе городов, к сожалению, потребуются миллиарды лет.

Расчёты, проведённые по формуле Бремерманна, также часто используют для оценки стойкости криптографических алгоритмов ко взлому.

Предел Бремерманна и квантовые компьютеры: мнение специалиста

Предел Бремерманна описывает фундаментальные ограничения. Поэтому нет разницы, на каких физических принципах будет создано устройство. Возможность увеличения скорости его вычислений всё равно ограничена.

Это относится и к квантовым вычислениям. Даже если когда-нибудь удастся превратить все частицы планеты Земля во взаимосвязанные кубиты огромного квантового компьютера, то мы лишь приблизимся к пределу Бремерманна.

В чём же преимущество квантовых компьютеров? Если сравнивать с классическими машинами, квантовая вычислительная модель обеспечивает преимущество только при решении некоторых задач.

Например, для факторизации (разложения на множители) чисел создан квантовый алгоритм Шора, который может быть использован при взломе систем шифрования. Для классических компьютеров неизвестны подобные по эффективности алгоритмы.

Основная фишка квантовых вычислений состоит в том, что они позволяют искусно распараллелить решение задачи по квантовым состояниям. Квантовый компьютер, построенный на 300 кубитах, способен обеспечить 2³⁰⁰ состояний, что больше числа элементарных частиц во Вселенной.

Роман Душкин,
директор по науке и технологиям Агентства искусственного интеллекта, ведущий канала Душкин объяснит

Чёрные дыры и компьютер для Вселенной

Развивая идеи Бремерманна, учёные задумались над тем, как должен выглядеть компьютер, работающий с максимальной эффективностью. Поскольку скорость зависит от массы, то логичным решением было бы использовать для вычислений самое плотное состояние материи — так называемую чёрную дыру.

Согласно представлениям учёных, чёрные дыры могут быть и микроскопических размеров. Такого рода объекты теоретически могут возникать в ускорителях частиц, подобных Большому адронному коллайдеру. К счастью, они очень быстро испаряются за счёт излучения Хокинга.

При испарении чёрные дыры производят преобразование заключённой в них массы в энергию, а следовательно, способны выполнять вычислительные операции со скоростью, приближающейся к пределу Бремерманна.

Профессор Массачусетского технологического института Сет Ллойд рассчитал параметры «идеального ноутбука», построенного на технологии чёрных дыр. Пока такое устройство существует только на страницах научных статей.

Если сжать один килограмм вещества до плотности чёрной дыры, то он превратится в точку радиуса 1,485 ? 10^?27 метров (не разглядеть даже в самый мощный микроскоп). После этого «идеальный ноутбук» практически мгновенно испарится (на это потребуется 10^?19 секунд).

В процессе испарения он будет производить вычисления на скорости, сопоставимой с пределом Бремерманна, и успеет провести примерно 10³² операций с 10¹⁶ бит (? 1 петабайт) информации.

Также профессор Ллойд просчитал и ещё более безумную идею, чем предложенный Бремерманном компьютер размером с планету. Он предположил, что сама Вселенная является вычислительной машиной. Подобные идеи выдвигали философы, в частности Конрад Цузе — создатель первых ЭВМ в Германии.

Подставив в формулу массу и возраст Вселенной, Ллойд выяснил, что за всё время существования Вселенная, являясь компьютером, могла бы выполнить не более 10¹²⁰ операций над 10⁹⁰ битами информации (этого как раз хватило бы для того, чтобы перебрать все шахматные партии).

В статье «Вычислительная мощность Вселенной», опубликованной в 2001 году, профессор Ллойд пишет о том, что такой результат можно трактовать двумя способами:

• Это число операций, которые могли быть выполнены Вселенной с момента её зарождения, если она является вычислительной машиной и использует всю имеющуюся материю для осуществления вычислений.
• Это количество операций и объём памяти (минимальные системные требования), которые должен обеспечивать гипотетический квантовый компьютер, осуществляющий моделирование Вселенной.

Похоже, теперь мы точно знаем, каким параметрам должен соответствовать ноутбук, чтобы на нём можно было запустить нашу Вселенную :)

Биоинформатика Ханса Бремерманна

Несмотря на открытое Бремерманном ограничение предельной скорости вычислений, компьютеры научились справляться даже с задачами, относящимся к трансвычислительным. Сегодня машины и в шахматы играют лучше людей, и маршруты движения между городами строить умеют.

А всё благодаря алгоритмам, называемым эвристическими. Они позволяют относительно быстро найти работающее в большинстве случаев решение, пусть и не являющееся лучшим. При этом не заставляют ждать результатов миллиарды лет или превращать всю планету в ЭВМ.

Большинство эвристических методов люди подсмотрели в природе и потом перенесли на язык компьютерных программ. К ним, например, относят алгоритмы, имитирующие:

• поведение насекомых и животных (пчелиный и муравьиный алгоритмы и так далее);
• работу мозга (искусственные нейронные сети);
• иммунной системы (искусственные иммунные системы);
• процессы размножения и отбора особей (генетический алгоритм) и так далее.

Ханс Бремерманн понимал, что ключ к решению сложных задач следует искать в живой природе. Поэтому во второй половине жизни он сосредоточился на исследованиях, связанных с биологическими системами, и достиг в них больших успехов. Его называют «пионером математической биологии».

Бремерманн был одним из создателей генетических алгоритмов. В 1960-х годах он опубликовал серию работ, в которых использовал подход к проблемам оптимизации, основанный на теории эволюции Дарвина, — популяция особей, случайные изменения (мутации), отбор лучших.

Его работы опередили время примерно на 15 лет. Теория эволюционных вычислений в те годы находилась в зачаточном состоянии, поэтому генетические алгоритмы Бремерманна получили известность намного позже: в 1975 году после публикации книги Джона Холланда «Адаптация в естественных и искусственных системах».

Бремерманн также первым предложил эволюционные алгоритмы для обучения персептронов Розенблатта. Идея Бремерманна полностью подтвердилась: сегодня генетические алгоритмы повсеместно используются при обучении искусственных нейронных сетей.

В последние годы жизни Ханс Бремерманн работал над изучением механизмов распространения инфекций и паразитов. Изучал работу человеческого иммунитета с математической точки зрения. Посвятил ряд статей моделированию вирусов, вызывающих онкологию и иммунодефицит. Его работы помогли лучше понять природу этих заболеваний и создать новые лекарства.

Учёный ушёл из жизни в 1996 году в возрасте 69 лет в Беркли, штат Калифорния.

Расшифровывается как Mathematical Analyzer, Numerical Integrator, and Computer.

Определяет предел точности измерений на квантовом уровне.

Гигантские чёрные дыры находятся в центрах галактик. Под воздействием гравитации вещество внутри них сжимается до огромной плотности, настолько большой, что даже свет не может вырваться наружу (отсюда и название).

Название образовано от легендарного восклицания «Эврика!», используемого для выражения радости при решении сложной задачи.