ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

– раздел современной символической логики, изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учетом внутренней структуры входящих в них простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, т.е. как знаки некоторых функций или же знаки аргументов этих функций.

Важнейшая особенность логики предикатов состоит в том, что т.н. общие имена (напр., «человек», «город», «металл»), знаки свойств («белый», «умный», «электропроводный») и знаки отношений («старше», «севернее», «тяжелее») рассматриваются как принадлежащие одной категории знаков, а именно, категории предикаторов – предметно-истинностных функторов. Предикаторы репрезентируют функции, возможными аргументами которых являются объекты некоторого универсума рассмотрения, а значениями – истинностные оценки (в классической логике – это «истина» и «ложь»). Напр., предикатор «человек» представляет функцию, которая каждому отдельному человеку сопоставляет оценку «истина», а каждому отличному от человека существу – оценку «ложь». Функция, соответствующая предикатору «севернее», сопоставляет «истину» каждой такой паре географических точек, первая из которых действительно расположена севернее второй (напр., паре <Петербург, Москва>), всем остальным парам географических точек (напр., парам <Москва, Петербург> и <Москва, Москва>) эта функция сопоставляет оценку «ложь».

Предикаторы различаются, как говорят, своей местностью: предикаторы, представляющие предметно-истинностные функции от одного аргумента, называются одноместными, те, которым соответствуют функции от двух аргументов, – двухместными и т.д. (напр., предикатор «человек» одноместный, а предикатор «севернее» двухместный).

Множество тех объектов универсума (или же множество тех n-ок объектов), которым одноместная (многоместная) предметно-истинностная функция сопоставляет значение «истина», называется областью истинности соответствующего предикатора. Часто при построении логики предикатов предикаторам в качестве значений сопоставляются области их истинности, т.е. свойства (для одноместных предикаторов) и отношения (для многоместных предикаторов), рассматриваемые с объемной, экстенсиональной точки зрения.

Другой отличительной чертой логики предикатов является использование особого типа логических символов – кванторов и связываемых ими (квантифицируемых) переменных для воспроизведения логических форм множественных высказываний. Квантифицируемые переменные «пробегают» по множеству всех объектов рассмотрения, а роль квантора состоит в указании на ту часть объектов этого множества, для которых справедливо содержащееся в высказывании утверждение. Наиболее употребимы в логике квантор общности ? (в естественном языке ему соответствуют термины типа «всякий», «каждый», «любой», «произвольный») и квантор существования ? («существует», «найдется», «имеется», «некоторый»). К примеру, логическая форма высказывания «Некто умен» может быть выражена с использованием квантора ? и переменной х, пробегающей по множеству людей, так; ?хР(х), где символ ? соответствует одноместному предикатору «умный», а форма высказывания «Каждый знает кого-нибудь» – посредством формулы ?х?уR(х,у), где квантифицируемые переменные х и у пробегают по тому же множеству, а символ R соответствует двухместному предикатору «знает».

Логика предикатов как раздел символической логики включает в себя логические теории разных типов, отличающиеся как выразительными возможностями языков, в которых они формулируются, так и классами выделяемых в них логических законов (см. Закон логический).

В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые в теории области пробега квантифицируемых переменных, различают логику предикатов первого порядка и логику предикатов высших порядков. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных – предметные (индивидные) переменные, возможными значениями которых являются индивиды, отдельно взятые предметы (люди, города, числа и т.п.). В логике предикатов второго порядка дополнительно вводятся переменные, пробегающие по признакам индивидов – их свойствам и отношениям между ними (эти переменные тоже разрешается связывать кванторами, получая выражения типа ?PA – «Для всякого свойства ? верно, что А», ?RA – «Существует отношение R, такое что А»); в логике предикатов третьего порядка разрешается квантификация по признакам признаков индивидов и т.д.

Выделяют также односортные и многосортные системы логики предикатов: в односортной все переменные, принадлежащие к одному и тому же типу, имеют одинаковую область пробега; в многосортной с каждой переменной связывается собственное множество ее возможных значений.

Наконец, данный раздел логики включает как классические, так и неклассические логические теории. В основе классической логики предикатов лежат, прежде всего, общие для всех классических систем логики принципы – двузначности (всякое высказывание принимает ровно одно из двух значений: «истину» или «ложь»), экстенсиональности (значение сложного выражения зависит только от значений составляющих его выражений), а также идущая от Аристотеля классическая трактовка истины как соответствия наших утверждений действительности. Кроме того, в классической логике предикатов принимаются специфические именно для кванторной теории предпосылки экзистенциального характера – допущение о существовании объектов в предметной области и существовании денотатов у сингулярных терминов (термин «существование» здесь следует понимать в смысле известного критерия У.Куайна: «существовать – значит быть возможным значением квантифицируемой переменной»). В неклассических предикатных системах в той или иной форме происходит пересмотр указанных принципов.

Наиболее фундаментальный статус имеет классическая односортная логика предикатов первого порядка. Ее язык задается следующим образом. В алфавит вводится некоторая функционально полная система пропозициональных связок (см. Логика высказываний, Логические связки), напр. {, ?, ?, ?} (где – знак отрицания, ? – знак конъюнкции, ? – знак дизъюнкции, ? – знак материальной импликации), а также кванторы ? и ? (имеется возможность выбрать в качестве исходного символа языка лишь один из этих кванторов, другой может быть введен по определению). В алфавите содержится также бесконечный список предметных переменных (х, у, z, x1, …).· Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант – аналога предикаторов естественного языка (будем использовать для них символы Рn, Qn, Rn, Р1n,..., где верхний индекс n – натуральное число, указывающее на местность предикаторной константы). Кроме этого в алфавит могут быть введены нелогические символы других типов: предметные константы (а, b, с, а1,...) – аналоги собственных имен (знаков отдельных предметов) естественного языка, напр., «Москва», «Луна», «медь», а также предметно-функциональные константы различной местности (fn, gn, hn, f1n, ...) – аналоги предметных функторов (знаков таких функций, аргументами и значениями которых являются индивиды, напр., «+», «возраст», «расстояние от... до...»). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (p, q, r, p1,...) – аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая.

Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов ее алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений – термы и формулы.

Понятие «терма» вводится следующим индуктивным определением: (1) всякая предметная переменная – терм; (2) всякая предметная константа – терм; (3) если ? – n-местная предметно-функциональная константа, и t1, t2,..., tn – термы, то выражение ?(t1, t2,..., tn) является термом; (4) ничто иное термом не является.

Среди термов различают простые (указанные в пунктах (1) и (2) данного определения), и сложные (указанные в пункте (3)), а также замкнутые (не содержащие в своем составе предметных переменных) и незамкнутые (содержащие переменные). Замкнутые термы являются аналогами имен естественного языка (как простых, так и сложных), а незамкнутые – аналогами т.н. именных форм (выражений с переменными, которые могут быть преобразованы в имена с помощью подстановки конкретных имен на места переменных, напр., «рост х», «х ? 5», «разница в возрасте между x и y»).

Понятие формулы также определяется индуктивно: (1) если ? – n-местная предикаторная константа, и t1, t2,..., tn – термы, то выражение П(t1,t2,...,tn) является формулой; (2) если А – формула, то А – формула; (3) если А и В – формулы, то выражения (А?В), (??В), (А?В) также являются формулами; (4) если А – формула, и ? – предметная переменная, то выражения ??А и ??А также являются формулами; (5) ничто иное формулой не является. Внешние скобки в формулах обычно опускают.

Заметим, что в определениях терма и формулы используются т.н. синтаксические переменные (А, В, ?, t1, t2,..., tn, ?, ?) – переменные метаязыка, пробегающие по различным типам выражений объектного языка.

Формулы, соответствующие пункту (1) определения, называют простыми, или атомарными, а все остальные формулы (которые содержат по крайней мере один логический символ) – сложными, или молекулярными.

Различение замкнутых и незамкнутых формул требует предварительного введения нескольких синтаксических понятий. Подформула А в составе формул вида ??А и ??А называется областью действия квантора (? или ?) по переменной ?. Конкретное вхождение некоторой переменной в некоторую формулу называется связанным, если это вхождение следует непосредственно за квантором или же находится в области действия квантора по данной переменной; в противном случае вхождение переменной называется свободным. Переменная ? свободна в формуле А, если и только если существует свободное вхождение ? в А; переменная ? связана в формуле А, если и только если существует связанное вхождение ? в А. (Иногда при формулировке языка логики предикатов свободные и связанные переменные различают уже на этапе задания его алфавита, для них используют различные списки символов. В таком случае разрешается квантификация только связанных переменных, а свободные переменные выступают в роли неквантифицируемых индивидных параметров.)

Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных вхождений предметных переменных; в противном случае она является незамкнутой. Замкнутые формулы являются аналогами высказываний естественного языка (результатом символической записи любого высказывания является именно замкнутая формула), поэтому их иногда называют предложениями языка логики предикатов. Незамкнутые формулы соответствуют т.н. пропозициональным формам – выражениям естественного языка с переменными (напр., «x выше у», «х смелый»), из которых могут быть образованы высказывания посредством операций константного или кванторного замыкания (напр., «Эверест выше Арарата», «Существует x такой, что x смелый»).

Семантическое построение классической односортной логики предикатов первого порядка может осуществляться различными способами. Сформулируем наиболее естественную, теоретико-множественную объектную семантику описанного выше языка.

Первый этап ее построения – задание класса допустимых интерпретаций нелогических символов языка. С этой целью выбирается некоторое множество U, называемое областью интерпретации (универсумом); единственным ограничением, накладываемым на U, является требование его непустоты. Приписывание значений нелогическим символам релятивизируется относительно выбранной предметной области. Его можно осуществить посредством специальной интерпретирующей функции I. Эта функция сопоставляет произвольной предметной константе k некоторый объект из универсума U: I(k)?U (при этом становится очевидным, что предметные константы имеют тот же тип значений, что имена естественного языка, и могут рассматриваться в качестве параметров последних), n-местной предикаторной константе ? в качестве значения обычно приписывают экстенсионально понимаемые свойство или отношение на U, т.е. некоторое множество упорядоченных n-ок объектов из универсума: І(П) ? Un (Un – n-ная декартова степень множества U). Имеется и другая возможность – сопоставить константе ? n-местную функцию, аргументами которой являются элементы универсума, а возможными значениями И («истина») и Л («ложь»): І(П) есть функция типа Un ? {И, Л}. Во втором случае предикаторные константы рассматриваются как знаки предметно-истинностных функций. Произвольной n-местной предметно-функциональной константе ? интерпретирующая функция сопоставляет в качестве значения n-местную операцию, заданную на множестве U (ее аргументами и значениями являются элементы универсума): І(Ф) есть функция типа Un ? U.

Интерпретирующую функцию I, релятивизированную относительно некоторой предметной области U, a точнее – пару , называют моделью или возможной реализацией. Выбор конкретной модели детерминирует значения всех замкнутых термов и замкнутых формул языка логики предикатов. Для определения значений незамкнутых термов и формул необходимо дополнительно зафиксировать, распределить значения предметных переменных (таковыми, как и для предметных констант, являются элементы универсума).

Следующим этапом семантического построения логики предикатов является формулировка точных правил установления значений правильно построенных выражений ее языка (т.е. термов и формул) в рамках выбранных модели и распределения ? значений предметных переменных.

Значениями термов в при ? являются объекты из U. Значения предметных констант и переменных уже определены посредством функций I и ? соответственно. Значением сложного терма ?(t1, t2,..., tn) является тот объект из U, который представляет собой результат применения операции І(Ф) к n-ке значений (в этой же модели и при этом же распределении) термов t1, t2,..., tn. Пусть, напр., в качестве универсума выбрано множество натуральных чисел, предметно-функциональная константа f проинтерпретирована как операция сложения, а предметные константы а и b как числа 2 и 3. Тогда значением терма f(a,b) в соответствующей модели будет результат сложения 2 и 3, т.е. число 5.

Формулы языка логики предикатов принимают в модели при распределении ? ровно одно из двух значений – И или Л. Атомарная формула вида II(t1, t2,..., tn) принимает – при трактовке предикаторных констант как знаков экстенсионально понимаемых свойств и отношений – значение И, если и только если n-ка значений (в данной модели и при данном распределении ?) термов t1, t2,..., tn действительно находится в отношении І(П), когда n > 1, или обладает свойством І(П), когда n = 1. Если же предикаторные константы интерпретируются как знаки предметно-истинностных функций, то П(t1, t2,..., tn) примет значение И в том и только в том случае, когда результат применения подобной функции І(П) к указанной n-ке объектов даст И. В упомянутой в предыдущем примере конкретной модели и при интерпретации предикаторной константы R как отношения «меньше» формула R(a,b) примет значение И, т.к. 2 действительно меньше 3, а формула R(b,a) – значение Л, поскольку 3 не находится в указанном отношении к 2.

Условия истинности и ложности формул, главными знаками которых являются пропозициональные связки, сохраняются (с необходимой привязкой к и ?) такими же, как в классической логике высказываний.

Источник: vk.com

Комментарии: