Почему теорема Геделя не то, чем кажется

Меня давно уже очень раздражает, что в популярной литературе теорема Геделя трактуется каким-то совершенно извращенным образом, и даже в Википедии в связанных статьях есть очень грубые ошибки (просто неверные утверждения). В последние несколько недель я устроил мини-опрос среди коллег и более-менее прошаренных знакомых (не логиков). Вначале я просил их сформулировать утверждение теоремы, почти все отвечали что-то вроде: "Любая достаточно сложная (включающая в себя арифметику) аксиоматическая система, либо неполна, либо противоречива". Так это обычно и формулируется. Но это просто бессмыслица.

Почему? Вначале надо ясно понять, что такое полнота и противоречивость. Полнота — это по большому счету синоним категоричности. Система аксиом полна или категорична, если в математическом мире существует один и только один (с точностью до изоморфизма) объект с описываемыми ею свойствами. Система неполна, если существуют неизоморфные объекты, которые ею описываются. Наконец, система противоречива, если подходящих объектов вовсе не существует.

Есть, сколько угодно неполных аксиоматик, это не дефект и не порок. Например, общие аксиомы группы или кольца очевидно неполны, потому что существуют неизоморфные группы и кольца. В этом случае мы можем без труда найти утверждения, которые правильно составлены и полностью осмыслены в данной теории, однако ни они, ни их отрицания не следуют из аксиом. Пример: "Порядок конечной группы А четен". Это утверждение не выводится из аксиом группы, поскольку есть группы как четного, так и нечетного порядка. Существуют также и полные системы. Например, аксиоматика евклидова пространства, или пространства Лобачевского. Просто потому, что существует всего одна евклидова плоскость и т.д. (тут важно никаких аксиом не пропустить, типа архимедовости, но это можно сделать). А вот если мы выкинем из числа аксиом пятый постулат, то система станет неполной, т.к. будет описывать не только евклидову плоскость, но и плоскость Лобачевского, а утверждение о сумме углов треугольника не будет из нее уже следовать. Ну а противоречивые системы можно генерировать в любом количестве, достаточно к любой непротиворечивой системе аксиом присоединить любое утверждение, которое в ней неверно.

И как только мы разобрались с полнотой и непротиворечивостью, становится сразу же совершенно ясно, что приведенная выше популярная "теорема Геделя" просто не может быть верной. Просто потому, что под носом у нас находится очевидный контрпример — система аксиом Пеано как раз-таки для арифметики. С одной стороны, буквально в две строчки доказывается, что она категорична: если ей что-то удовлетворяет, то это что-то изоморфно натуральным числам. Но, с другой стороны, поскольку натуральные числа все же имеются в наличии, она непротиворечива. Итого: существует полная непротиворечивая аксиоматика арифметики. Значит популярная формулировка "теоремы Геделя" ошибочна.

В чем же здесь дело? Ведь не может же быть, чтобы мы так лихо теорему Геделя опровергли? Конечно, не может. Просто приведенное утверждение отличается от настоящей теоремы. В нем пропущен самый важный, ключевой момент. В настоящей теореме Геделя накладываются серьезные ограничения на то, какие аксиоматические системы мы рассматриваем и какими правилами вывода пользуемся. Именно: мы должны пользоваться тем, что называется логикой первого порядка и формулировать аксиомы на языке первого порядка. Это значит, что мы можем навешивать кванторы существования и всеобщности только на индивиды, но никак не на их классы, функции, отношения и т.д. Это очень сильное ограничение.

И фишка в том, что аксиоматика Пеано, которая всем хороша, просто не может быть сформулирована на языке первого порядка, так как включает в себя математическую индукцию. Т.е. системы аксиом, которые обсуждаются в теореме Геделя (например, система [Рафаэля] Робинсона) обязательно являются первопорядковыми, т.е. аксиому индукции или ее аналог не включают. Мы сами связываем себе ноги, а потом удивляемся, что не можем сделать ни шагу. (Попробуйте, для примера, без индукции доказать известную сумму арифметической прогрессии 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.) Чего же удивительного, что у нас в таких системах появляются неразрешимые утверждения? Это только ожидаемо.

Близко с этим связана гораздо менее известная теорема Левенгейма--Скулема (я всю жизнь думал, что он Сколем, но он норвежец и более новое написание правильнее), которая, грубо говоря, утверждает, что любая система аксиом допускает модели разной мощности (следовательно, неизоморфные). Конечно же в ней тоже допускаются только первопорядковые аксиомы, и суть дела просто в том, что о мощности универсума на языке первого порядка говорить невозможно. Поэтому первопорядковой системе аксиом Робинсона удовлетворяют не только натуральные числа, но и гипернатуральные (насколько я понимаю, именно это наблюдение привело [Абрахама] Робинсона к созданию нестандартного анализа). Я бы сказал, что система Робинсона вообще не является аксиоматикой арифметики, более того из теорем Геделя и Левенгейма--Скулема следует что полной (а с моей точки зренияэто значит — никакой) первопорядковой аксиоматики арифметики не существует.

Итак о чем же теорема Геделя? О пределах нашего познания? Вовсе нет. Она о языках первого порядка. Она значит только то, что они настолько ущербны, что даже базовые математические понятия вроде натуральных чисел ими не могут быть ухвачены. (С языками второго и высших порядков имеются свои проблемы, но это уже совсем другая история.)

Источник: vk.com

Комментарии: