Математика и интуиция - Алексей Семихатов (2014) лекция

Математика, интуиция, мышление, логика: лекции доктора физико-математических наук Алексея Семихатова

1. «Математика и интуиция»

2. «Математический язык в познании и мышлении»

3. «Абстрактное и конкретное в математике»

1. «Математика и интуиция»

Математик Алексей Семихатов об апории Зенона «Ахиллес и черепаха», отеле Гильберта и размерности пространства.

Как мы воспринимаем размерность пространства? Каким образом связаны логическое математическое мышление и интуиция? Как были описаны фракталы?

2. «Математический язык в познании и мышлении»

Доктор физико-математических наук Алексей Семихатов об открытии планеты Нептун, уравнениях Максвелла и математическом описании расширения Вселенной.

Почему мы рассматриваем окружающий мир через призму математической логики? Как была открыта планета Нептун? И как Максвелл вывел свои уравнения?

3. «Абстрактное и конкретное в математике»

Алексей Семихатов о полупростых группах Ли, классификации элементарных частиц и математических моделях в природе.

Как математически были классифицированы симметрии явлений? Как соотносятся полупростые группы Ли и физика элементарных частиц? Что явилось математической предпосылкой существования кварков?

Расшифровки

1. «Математика и интуиция»

«Сегодня «черная дыра» стала общекультурным понятием. Черная дыра есть не только в многочисленных кинофильмах, книгах, названиях — это общекультурное понятие. Первые 50 лет своего «существования» черная дыра жила в виде формулы и ничем другим, кроме формулы, не являлась. Ей даже не было дано этого замечательного названия, это было просто некоторое решение некоторых уравнений. Технически — уравнения Эйнштейна, которое нашел Шварцшильд, потом другие люди нашли немного более общие решения. Найденное около 1916 года решение математических уравнений, некоторая формула, вдруг зажило фантастической жизнью. И сейчас каждый астроном уверен в том, что в центре Галактики расположена черная дыра».

«Мы относительно спокойно отнеслись к размерности пространства. Некогда казалось, что ничего, кроме нашего трехмерия, быть не может. И помню, как я, будучи ребенком, наивно своим детским умом пытался представить себе, что такое четырехмерное пространство. Это сделать невозможно. Тем не менее по мере того, как приобретается некоторая привычка, выясняется, что пространство может иметь любую размерность — 4, 10, 15. А может, наш мир имеет размерность 10? И с этим мы тоже спокойно смирились. Математическая размерность 15, или 10, или 26 ничем не лучше и не хуже, а некоторые из них даже много лучше, чем размерность 3, в которой мы живем».

«Способность математики заключается в том, чтобы продолжать нашу интуицию и подкреплять ее. Ведь что математик делает? Он говорит: мне кажется, что верна такая-то теорема, но я должен ее действительно доказать, то есть привести рассуждения. Оборотная сторона этого и продолжение этой тенденции в том, что мы должны принимать странные выводы, которые возникают. Дальше встает очень интересный вопрос о том, что если какой-то кусок, какая-то математическая теория кажется нам странной и она вышла за грань нашей непосредственной интуиции (дробная размерность, иерархия бесконечностей и так далее), то должны ли мы думать о том, что где-нибудь во Вселенной найдется кусок, который описывается этой математической теорией или буквально так устроен? Иногда такое действительно случается».

2. «Математический язык в познании и мышлении»

«Математика обладает свойством опережать экспериментальные знания и позволяет нам силой мысли проникать в те уголки Вселенной, куда мы физически проникнуть не можем. Канонический пример такого рода — это знаменитое открытие планет на кончике пера. Человек брал лист бумаги и сидел за ним несколько лет, делая вычисления, потом вызывал астронома и говорил: «Посмотри в эту область неба, и ты увидишь там планету, которую до этого никто не видел». В действительности история была чуть более интересная. Люди, которых попросили посмотреть на небо, не вполне были уверены, что эти вычисления достойны внимания, у них были другие заботы. Тем не менее нашлась группа людей, которые поступили таким образом, и так была открыта планета Нептун. Были проделаны вычисления, которые говорили о том, что имеющиеся нарушения в траектории предыдущей планеты можно объяснить, если предположить, что есть еще одно тело, доселе неизвестное. Из видимых с помощью телескопа нарушений движений предыдущей планеты, последней известной в XIX веке, с помощью сложных математических расчетов длиной в несколько лет удалось узнать, где могло бы двигаться новое небесное тело.

«Средствами логического анализа можно узнать недостающие куски реальности. Это ярко выразилось в истории с электричеством и радиосвязью. К моменту открытия никто не знал слова «радиосвязь». К середине XIX века имелись записанные несколькими людьми законы. Был математически выраженный закон Кулона, который говорил о том, как электрические заряды притягиваются, был закон Ампера — закон о магнитных и электрических полях — о том, какие магнитные поля создаются токами, потом появился закон Фарадея. Это были математические утверждения, которые существовали изолировано и более или менее сами по себе. Максвелл задался целью найти, нет ли единого математического формализма, в котором все эти законы записывались бы однотипно и в некотором смысле равномерно».

«Эйнштейн сумел разработать свой математический аппарат для описания гравитационных сил и написать уравнения, одним из решений которых могла быть вся Вселенная. Дальше выяснилось, что логически возможно добавить в эти уравнения некоторые слагаемые (некоторая параллель тому, что делал Максвелл). Эйнштейн его добавил, руководствуясь, по-видимому, ложными соображениями. Потом всю жизнь считал это самой большой своей ошибкой. Сейчас выяснилось, что нечто, вроде этого слагаемого, весьма вероятно описывает экспериментально обнаруженный недавно эффект — ускоренное расширение Вселенной. Вселенная расширяется не так, как думали раньше: что-то ее расталкивает, и она расширяется все быстрее и быстрее. Исключительно средствами логики удается увидеть, что может происходить в природе. Современное познание природы в значительной степени на фундаментальном уровне продолжает эту традицию».

3. «Абстрактное и конкретное в математике»

Математику делает успешной сочетание двух вещей. Совершенная конкретика — не просто конкретность, а некая конкретика: если A равно нулю, то A равно нулю, A не может быть что-нибудь, или я думаю, что, наверное, оно равно нулю. Так — так, не так — так не так. С другой стороны, высокая степень абстрактности. Как только вы начинаете говорить с математиком, рассказывать ему вашу конкретную задачу и просите помочь — его страшно раздражают ваши упоминания реалий, будь то белки в вашей клетке, или какие-нибудь электрические потенциалы, или что-то еще, — ему хочется освободиться от тех терминов, в которых вы мыслите, и оставить логическую схему того, что вы пытаетесь до него донести.

Когда математик функционирует внутри математики, его часто интересуют вещи в наиболее общем виде: можем мы это сделать не для чисел 2, 3, 4, 5, а для всех чисел, не для пространств размерностей 3 и 4, а для пространств любой размерности. Другое дело, что иногда получается, иногда нет, иногда для четных размерностей или для больших размерностей можно применить одни методы, а для других — другие методы, и вещи могут различаться в пространствах разной размерности. Не всегда все удается обобщить, но стремление к этому есть всегда. Почему? С одной стороны, для человека, смотрящего со стороны, это, казалось бы, несколько иссушает, потому что вроде бы лишает содержания, лишает конкретики то, с чем математик имеет дело. С другой стороны, именно потому, что удается освободиться от всех ненужных деталей, удается разглядеть общую логическую структуру, удается двигаться вперед.

Важную роль в описании различных свойств, явлений природы, нашего мира играют симметри?и явлений (обычно говорят «симме?трии», а математики говорят «симметри?и», так же как физики говорят «ато?мный»). Если Солнце круглое, то это означает, что оно излучает одинаково по всем направлениям, более-менее неважно, как оно повернуто. Если Земля вращается вокруг своей оси, то есть выделенное направление, но север и юг — эти два направления — более-менее равноценны и так далее. Наличие симметрий позволяет задать себе вопрос о том, какие вообще бывают симметрии, можно ли их классифицировать. И тут возникает удивительная вещь. В первой половине XX века люди задались системой аксиом, которым должны удовлетворять симметрии определенного класса. Это так называемая теория Ли норвежского математика Софуса Ли (создавал не только Софус Ли, но и другие люди), которая за несколько десятилетий была сильно продвинута и на некотором своем участке даже закончена.

Что удалось сделать? Удалось сказать, что если мы считаем, что есть такие-то симметрии, неважно у чего: у текущей воды, у летящей звезды, у какой-нибудь системы, — то эта симметрия непременно лежит в каком-то классе. Удалось перечислить все, что может происходить, — не все вообще, а в пределах некоторых ограничений, которые казались и кажутся разумными. Другое дело — по тому же самому тренду искать максимальную общность, ведь математики все время пытаются ослабить ограничение, посмотреть, что лежит рядом с этим, и продвинуться дальше.

Некое чудо состоит в том, что вся эта история началась в конце XIX века и развилась в начале XX века, до появления квантовой механики, физики элементарных частиц, возникли учебники, в которых были написаны, расклассифицированы эти симметрии, и так далее. Но это была внутренняя потребность развития математики, потому что среди этих симметрий были странные, исключительные — были типические, а были исключительные, — это так называемая классификация полупростых групп Ли, выражаясь техническим языком, это некоторая классификация класса симметрий.

Классификация — это великая вещь, которая говорит о том, что других в этом классе быть не может, и это некое чудо — то, что это вообще возникло. Это мощная сторона математики, когда вы задаете систему аксиом — то есть из опыта, очищая опыт, берете систему аксиом, свойств, которые вы хотите, чтобы были, — и задаетесь вопросом: а за этими свойствами огромное количество вещей может им удовлетворять или, может быть, этим свойствам довольно трудно удовлетворить, и вещей и систем, которые их реализуют и выражают, может быть не так много?

Наступила вторая половина XX века, и люди стали открывать все большее и большее количество элементарных частиц. Сначала их было 2, 3, потом 10, потом 15, и среди людей, этим занимающихся, физиков, которые ничего не знали про ту математику, о которой я только что говорил, возникало легкое раздражение, носящее эстетический характер.

Когда мы проникаем вглубь, нам хочется, чтобы структурных элементов было меньше.

Например, химических соединений вокруг нас бесконечное количество, а элементов, того, что в таблице, в Периодической системе Менделеева, перечислено, из чего все состоит, весьма конечное число — порядка сотни, а реально в ходу примерно полсотни, потому что часть из них нестабильные, немножко ненастоящие.

Точно так же, когда мы проникаем вглубь структуры материи, скажем, в элементарную частицу, нам почему-то хочется чисто эстетически — это ни на чем не основано, — чтобы структурных элементов было поменьше. И эта идея абсолютно разбилась о реальность, эта мечта. Потому что выяснилось, что, как только строили ускоритель чуть-чуть посильнее — чепуховые энергии по сравнению с энергией Большого адронного коллайдера, но в свое время строился такой ускоритель, — возникали новые частицы, потом еще новые, потом еще новые, их скоро стало 50, 100, 150, потом 200, потом стало ясно, что, если у вас будет ускоритель еще, вы «нарожаете» еще других элементарных частиц. Они ни из чего не состоят, они все превращаются друг в друга, частица A превращается в частицу B, а частица B при определенных условиях может превратиться в частицу A. Такой там «зоопарк».

Что делает в таких случаях феноменолог? Феноменолог начинает пытаться классифицировать этот «зоопарк», составляет списки. И выясняется, что по некоторым свойствам открытые в природе частицы группируются в некоторые семейства. В одном семействе 8 частиц, в следующем — 15, в следующем еще сколько-то. И семейств бесконечно много. И если строить все новые ускорители, будут открываться все новые семейства с все большим числом частиц.

Выясняется, что нужно протянуть руку, снять с полки учебник математики, той самой классификации полупростых групп Ли, о которой я только что рассказал, которая к тому времени была закончена, где ровно тот же самый список: семейства из 8, потом из 15, потом из чего-то еще и так далее. И возникает мысль, что в природе каким-то непостижимым образом реализован один из списков из этого учебника математики. Другое дело, что в учебнике математики таких списков много. Природа выбрала один.

История на этом не закончилась. Достаточно было предположить, что природа действительно выбрала этот список, чтобы увидеть, что соответствие между списком в учебнике математики и тем, что видно на ускорителях, неполное. В учебнике математики присутствует первый элемент списка, которого нет в том, что мы видим на ускорителях. Есть самое маленькое семейство, которое на языке ускорителя означало бы, что в нем всего три частицы из чего-то трех, у которого очень странные свойства, если перевести их на физический язык. Если предположить, что такие частицы существуют — то есть мы видим соответствие между существующими частицами и тем, что написано в учебнике математики (это уже стало учебником к этому моменту), — у них были бы странные свойства. Например, дробный электрический заряд. Никогда до этого дробный электрический заряд не наблюдался...

(...)

...Казалось бы, сидим в башне из слоновой кости — в чем обвиняют математиков, — не смотрим в окно, не выглядываем наружу и занимаемся своим делом.

А потом выясняется, что прошло, может быть, мало, может быть, много лет, и какой-то кусок природы просто описывается, у нас есть готовая теория для этого. Почему-то где-то в природе часть того, что мы построили внутри математики, оказывается реализована — только не сразу, а скрытым образом. И это большая помощь — знать, что есть, взять с полки этот учебник математики. Иногда учебник еще не написан, иногда это какие-то наброски, заметки. Физики и математики ходят и разговаривают друг с другом, пытаясь угадать, каким образом математическое знание может, каким образом ему удается идти параллельно физическому, иногда и часто его даже опережать — это большая-большая загадка.

Самый интересный вопрос такой: все ли, что есть в математике, реализовано во Вселенной? С первого взгляда, конечно, нет. Список полупростых алгебр Ли бесконечный, а в Стандартной модели элементарных частиц какая-то вполне конкретная. Но кто знает? Может быть, либо в других уголках Вселенной, либо в том, что сейчас называют мультивселенной, попробовано все остальное. Меня это не очень бы удивило. Меня бы это удивило не сильнее, чем я уже удивился от того, что есть хоть какое-то соответствие между одним куском из чистой математики и тем, что находится в физике.

Одна из интриг того, как люди сейчас изучают мир, один из способов этого изучения — это попытка ответить на вопрос «Что еще из известных хороших и красивых математических структур реализовано где-то в мире, в каких-то модельных системах, в каких-то кусках этого мира, при каких-то определенных условиях?». Вопрос оказывается удивительно неглупым. Некоторое чудо состоит в том, что это осмысленный вопрос, он приносит осмысленные ответы. Неизвестно, почему так происходит, но это и радостно, и очень интригующе.

Алексей Семихатов

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН

Источник: vk.com

Комментарии: