125 лет назад, 7 мая 1896 года, в Богородске (ныне - Ногинск) Московской губернии родился выдающийся русский советский математик Павел Сергеевич Александров

125 лет назад, 7 мая 1896 года, в Богородске (ныне - Ногинск) Московской губернии родился выдающийся русский советский математик, президент Московского математического общества (ММО) (1932-1964), вице-президент Международного математического союза (1958-1962), лауреат Сталинской премии, Герой Социалистического Труда, академик Павел Сергеевич Александров

Его отец, Сергей Александрович Александров, закончив медицинский факультет Московского университета и отклонив предложение остаться для работы в университете, уехал "нести медицину в народ" участковым врачом в Ярославскую губернию. Позднее работал старшим врачом Богородской уездной и Смоленской губернской больниц, был крупным специалистом-хирургом и в то же время ярким представителем земской медицины. Мать Павла Сергеевича, Цезария Акимовна Александрова (урожденная Здановская), была хорошо образованным человеком, отдавшим все силы на воспитание детей.

В 1913 году Александров закончил с золотой медалью Смоленскую общественную гимназию. В годы обучения в гимназии на его развитие оказал большое влияние учитель математики А.Р.Эйгес. В том же 1913 году Павел Александров поступает в Московский университет, и с этих пор вся жизнь Павла Сергеевича неразрывно связана с Московским университетом.

Уже на первом курсе он принял участие в семинаре Д.Ф.Егорова. На втором курсе он становится учеником Н.Н.Лузина и в 1915 году получает свой первый научный результат: доказывает фундаментальную теорему о мощности В-множеств. Он доказывает, что каждое несчетное борелевское множество содержит совершенное подмножество. Аппарат, созданный Павлом Сергеевичем для доказательства этой теоремы - А-операция (названная так М.Я.Суслиным в честь П.С.Александрова) — оказал очень существенное влияние на дальнейшее развитие теоретико-множественных методов.

Другой фундаментальный результат Александрова из этой области — теорема о гомеоморфизме всякого абсолютного $G_{delta}$-множества полному метрическому пространству. Этот результат стал основой внутренней топологической характеризацией полноты, найденной Павлом Александровым.

Ярчайшим примером остроты математического "видения" является введение Александровым понятия бикомпакта и выяснение им, уже в самом начале развития теории бикомпактных пространств, самых существенных свойств бикомпактов. Павлом Сергеевичем было, в частности, показано, что в классе регулярных пространств бикомпактность тождественна абсолютной замкнутости, откуда была выведена, с помощью теоремы о сохранении бикомпактности при непрерывных отображениях, дальнейшая теорема о непрерывных разбиениях, порождаемых непрерывными отображениями бикомпактов в хаусдорфовы пространства. Созданная Александровым (на предварительном этапе в сотрудничестве с П.С.Урысоном) теория бикомпактных пространств стала основой большинства дальнейших теоретико-множественных исследований и проникла своими идеями в теорию непрерывных групп, функциональный анализ, математическую логику и многие другие разделы математики.

С 1921 года Павел Александров начал работать в качестве приват-доцента в Московском университете. В 1921-1923 годах он прочитал курс теории функций действительного переменного и первый в Московском университете курс общей топологии, а также несколько других курсов, например, курс теории Галуа.

Лето 1922 года Павел Сергеевич Александров и Павел Самуилович Урысон провели вместе вблизи Болшева под Москвой, и именно этим летом ими было положено начало серьезным исследованиям по топологии в нашей стране. Отсюда ведёт начало ныне известная во всем мире московская топологическая школа.

В то время понятие топологического пространства уже существовало - оно наметилось в работах М.Фреше (1906 г.) и в книге Ф.Хаусдорфа (1914 г.). Но это была лишь абстрактная общая схема. Наполнить понятие топологического пространства богатым геометрическим содержанием, сделать его необходимым общим достоянием всех математиков — это и было дело, начатое у нас в стране в июле 1922 г. Александровым и Урысоном. Уже первые результаты были весьма значительны. П.С.Александров и П.С.Урысон начали с построения теории счетно-компактных пространств, далеко развитой затем Александровым в теорию бикомпактных и локально-бикомпактных пространств. Александровым и Урысоном была решена проблема метризации, причем были введены понятия, оказавшие большое влияние на дальнейшее развитие исследований в смежных областях; мы еще скажем об этом ниже. Наконец, Александровым в 1925 г. была дана окончательная, ныне общепринятая форма аксиоматики топологического пространства.

Летом 1923 г. и 1924 г. П.С.Александров и П.С.Урысон были в Геттингене и установили научные контакты со знаменитой Геттингенской математической школой, которую в то время возглавлял Д.Гильберт. Своими учителями П.С.Александров считает Д.Ф.Егорова, Н.Н.Лузина, Л.Брауэра, Э.Нетер и Д.Гильберта, так как именно эти математики оказали наибольшее влияние на формирование научного мировоззрения и на все научное творчество Павла Сергеевича. О научной жизни в этот период в Геттингене Александров писал в своих воспоминаниях о Р.Куранте и в воспоминаниях о Х.Хопфе.

Другое применение построенной гомологической теории - теория двойственности, восходящая к Дж.Александеру и получившая дальнейшее развитие после открытия А.Н.Колмогоровым и Дж.Александером когомологических групп. Предметом двойственности этого типа являются соотношения между группами гомологий компакта в евклидовом пространстве (или, более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка задачи здесь включает определение групп гомологий открытого множества — дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить всю область на твердую основу. На этом пути Л.С.Понтрягин нашел и доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа законы получили после создания Л.С.Понтрягиным теории двойственности локально-бикомпактных групп. Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в единое целое до того совершенно различные ветви топологии — алгебраическая, восходящая к А.Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая от Фреше и Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга Павла Сергеевича Александрова. Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна была служить совместная трехтомная монография П.С.Александрова и Х.Хопфа "Топология". Закончена книга была осенью 1935 г. в Крыму, недалеко от Ялты, где в это время Находились Александров, Колмогоров, Хопф.

Особое место в жизни Александрова занимает его дружба с Колмогоровым, начало которой относится к 1929 г. Вместе с Колмогоровым Павел Александрович много путешествовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу. по Крыму, по югу Франции. С 1935 г. начинается, как говорит Павел Сергеевич, комаровский период в его жизни. С Комаровкой, деревушкой под Москвой, где находится дом, принадлежащий с 1935 г. Александрову и Колмогорову, связано немало событий в истории математики Московского университета за последние 40 лет. Здесь были задуманы и выполнены многие выдающиеся работы. В Комаровке часто бывали, а иногда жили продолжительное время многие ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича. Комаровку посещали выдающиеся зарубежные математики (Адамар, Фреше, Банах, Хопф, Куратовский и другие).

В 1924 г. Павел Сергеевич доказал, что в каждое открытое покрытие сепарабельного метрического пространства можно вписать локально конечное открытое покрытие, т.е. доказал паракомпактность сепарабельных метрических пространств. Через 20 лет этот результат был передоказан Ж.Дьедонне (введшим термин "паракомапктное пространство"), а через 24 года, в 1948 г., А.Х.Стоун показал, что от требования сепарабельности можно отказаться - что составляет содержание его замечательной теоремы о паракомпактности произвольного метрического пространства. Теорема Стоуна явилась главным средством для получения метризационных теорем Бингом, Нагата и Смирновым в 1950-51 гг. Мы видим, таким образом, что у истока современных метризационных критериев и теория паракомпактных пространств находится понятие локально конечного покрытия, введенного Александровым еще в 1924 г.

В 1925 г. Павел Александров в ряде фундаментальных и чрезвычайно целеустремленных работ создает основы гомологической теории общих топологических пространств и общий метод перенесения на теоретико-множественные объекты методов комбинаторной топологии. При этом он кладет в основу своих рассуждений понятие нерва покрытия, введенного им в 1925 г. — чрезвычайно простое, но фундаментальное по значению понятие. В результате возник некоторый синтез комбинаторно-алгебраических и теоретико-множественных методов в топологии, в большой степени определившей развитие топологии в течение ряда лет.

Значение теории, построенной Александровым, не только в том, что она дает новый, мощный инструмент исследования (пример тому - решение Понтрягиным проблемы поведения размерности при перемножении пространств, целиком основанное на гомологической теории размерности). Важный аспект ее состоит в том, что получила прямое потверждение сама теория размерности, созданная, совсем незадолго до этого. Именно, факт совпадения в широком классе компактных пространств гомологической размерности и размерности через покрытия, инвариантов, построенных с абсолютно различных точек зрения, показывает правильность и естественность определения размерности.

Как обычно, большие продвижения в одной области связаны с продвижениями и в соседних областях. Так, для гомологической теории размерности Александрову понадобилось одно утверждение об отображениях полиэдра в сферу. Доказательство этого утверждения было "заказано" Хопфу, и из этого произошла классическая теорема Хопфа о классификации непрерывных отображений $n$-мерного и $n+1$-мерного полиэдра в $n$-мерную сферу, впервые изложенная в письме Хопфа к Александрову, опубликованном в "Математическом сборнике". Работы Павла Сергеевича Александрова в этом направлении были продолжены и развиты многими математиками: А.Н.Колмогоровым, К.А.Ситниковым, К.М.Куратовским, Г.С.Чогошвили, Е.Г.Скляренко, В.И.Кузьминовым, И.А.Шведовым — разумеется, здесь названы не все. Некоторые результаты из этой области получили замечательные чисто теоретико-множественные обобщения. Так, теорема Александрова об $varepsilon$-сдвигах компактов в полиэдры многие годы спустя предстала в новом облачении — в форме теоремы Даукера, характеризующей паракомпакты в терминах $omega$-отображений их в метрические пространства. Этот результат Даукера — один из центральных сейчас в теории паракомпактных пространств.

Другое применение построенной гомологической теории - теория двойственности, восходящая к Дж.Александеру и получившая дальнейшее развитие после открытия А.Н.Колмогоровым и Дж.Александером когомологических групп. Предметом двойственности зтого типа являются соотношения между группами гомологий компакта в евклидовом пространстве (или, более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка задачи здесь включает определение групп гомологий открытого множества — дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить всю область на твердую основу. На этом пути Л.С.Понтрягин нашел и доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа законы получили после создания Л.С.Понтрягиным теории двойственности локально-бикомпактных групп. Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в единое целое до того совершенно различные ветви топологии — алгебраическая, восходящая к А.Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая от Фреше и Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга П.С.Александрова. Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна была служить совместная трехтомная монография П.С.Александрова и Х.Хопфа "Топология". К сожалению, война помешала завершению этого труда, и написанным оказался лишь первый том, известная во всем мире "Топология I", по которой учились все современные топологи. Написанная выдающимися представителями обоих направлений в топологии книга по богатству заложенных в ней идей, по яркости изложения остается непревзойденной. Закончена книга была осенью 1935 г. в Крыму, недалеко от Ялты, где в это время Находились П.С.Александров, А.Н.Колмогоров, Х.Хопф. Особое место в жизни П.С.Александрова занимает его дружба с А.Н.Колмогоровым, начало которой относится к 1929 г. Вместе с А.Н.Колмогоровым Павел Александрович много путешествовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу, по Крыму, по югу Франции.

Следующий большой этап в творчестве Павла Александрова имеет своей кульминацией его так называемую "казанскую" работу, написанную в 1941-1942 гг., посвященную изучению гомологическими методами формы и расположения комплекса (и замкнутого множества) в обьемлющем комплексе (и замкнутом множестве). Не перечисляя конкретных результатов, полученных в эти годы Александровым, достаточно сказать, что в указанной работе впервые были выписаны все элементы точной последовательности, столь сейчас употребительного инструмента во всех разделах математики, использующих алгебраические методы.

Наконец, в конце сороковых - начале пятидесятых годов Александров, а затем его ученики, среди которых прежде всего нужно назвать К.А.Ситникова, занимаются построением гомологической теории незамкнутых множеств в евклидовых пространств, что привело к дальнейшему развитию и самой гомологической теории (работы Г.С.Чогошвили и его учеников). Павлу Сергеевичу принадлежит, в частности, первый общий закон двойственности дли незамкнутого множества, лежащего в евклидовом пространстве, и целый ряд других результатов. Результаты Александрова по гомологической теории и теоремам двойственности для незамкнутых множеств составили знаменитую большую его работу ("Основные соотношения двойственности для незамкнутых множеств", опубликованную в "Математическом сборнике" в 1947 г.

Павлом Сергеевичем была выдвинута гипотеза о диадичиости пространства любой бикомпактной группы, доказанная впоследствии Л.Н.Ивановским и В.Н.Кузьминовым. Доказано также, что метризуемость диадического бикомпакта следует уже из первой аксиомы счетности. Эти исследования были продолжены А.В.Архангельским, В.И.Пономаревым, Б.А.Ефимовым, М.Катетовым, Р.Энгелькингом и многими другими математиками как у нас, так и за границей.

Большую роль в развитии науки и математического образования в нашей стране сыграли книги, написанные Павлом Сергеевичем: "Введение в общую теорию множеств и функций", "Комбинаторная топология", "Лекции по аналитической геометрии", "Теория размерности" (совместно с Б.А.Пасынковым) и "Введение в гомологическую теорию размерности". Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергеевича высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1953 г. — действительным ее членом.

Александров являлся также членом Геттингенской академии наук, Австрийской академии наук, Академии Леопольдина в Галле, Польской академии наук, Академии наук ГДР, Национальной академии наук США, членом Американского философского общества в Филадельфии, почетным доктором Берлинского университета им. Гумбольта, почетным членом Голландского математического общества.

Трудно переоценить ту роль, которую сыграли Павел Сергеевич Александров и созданная им научная школа в развитии отечественной математики, в повышении ее международного престижа.

Телеграм: t.me/ainewsline

Источник: higeom.math.msu.su

Комментарии: