Простые числа

МЕНЮ


Искусственный интеллект
Поиск
Регистрация на сайте
Помощь проекту
Архив новостей

ТЕМЫ


Новости ИИРазработка ИИВнедрение ИИРабота разума и сознаниеМодель мозгаРобототехника, БПЛАТрансгуманизмОбработка текстаТеория эволюцииДополненная реальностьЖелезоКиберугрозыНаучный мирИТ индустрияРазработка ПОТеория информацииМатематикаЦифровая экономика

Авторизация



RSS


RSS новости


Зачем математики ищут простые числа, как выглядит самое большое простое число и почему в цифровом мире нам не обойтись без этих знаний

Простые числа с древности изучают математики всего мира. С ними связана до сих пор не доказанная гипотеза Римана — одна из величайших математических проблем. Простые числа составляют основу современной кибербезопасности, а в будущем, возможно, найдутся гораздо более экзотические способы их применения: так, в научно-фантастическом романе «Контакт» астрофизик Карл Саган описал попытки наладить связь с внеземными формами жизни с помощью передачи простых чисел по радиоволнам. Объясняем, почему простые числа имеют такое значение.

В музыке простые числа объясняют эффекты, вызываемые повторением сложных ритмических рисунков. В биологии есть гипотеза, что цикады эволюционировали таким образом, чтобы находиться в спячке в течение простого числа лет для получения эволюционного преимущества. В криптографических системах свойства простых чисел обеспечивают безопасность электронных коммуникаций. Возможно, в будущем именно простые числа будут использоваться для коммуникации с внеземными формами жизни, так как они независимы от любого представления о языке, и при этом достаточно сложны, чтобы спутать их с результатом природного физического процесса.

Почему простые числа так важно изучать

Простые числа имеют фундаментальное значение для математики. Они являются структурными единицами теории чисел, своего рода «атомами умножения». Это связано с основной теоремой арифметики, которая гласит, что любое число больше единицы можно представить в виде произведения конечного количества простых чисел, причем такое представление единственно. Например, 6=2?3, то есть это произведение двух простых чисел; 20=2?2?5. Поэтому многие проблемы целых чисел могут быть сведены к проблемам простых чисел — точно так же, как некоторые задачи в химии могут быть решены через обращение к атомному составу химических элементов, вовлеченных в систему.

Простое число — это целое число больше единицы, которое делится только на единицу и на само себя. Таким образом, 6 — это не простое число, так как оно может быть представлено как произведение 2?3, а 5 — это простое число, потому что единственный способ представить его как произведение двух чисел — это 1?5 или 5?1. Если у вас есть несколько монет и вы не можете расположить их все в форме прямоугольника, число монет — это простое число. Простых чисел бесконечное множество, и математики пока с трудом ориентируются в нем.

История изучения

Никто точно не знает, когда человечество стало интересоваться простыми числами. Ранних источников, связанных с исследованиями этого математического явления, практически не сохранилось. Скорее всего, древние люди имели какое-то представление о простых числах. Первым реальным доказательством являются египетские записи на папирусах, сделанные более 3500 лет назад.

Древние греки, скорее всего, были первыми, кто стал всерьез изучать простые числа. В частности, древнегреческий математик Евклид доказал существование бесконечного множества простых чисел. Вот его доказательство.

Предположим, есть конечное множество простых чисел, например p1,… pn. Представим, что существует число p1?… ?pn+1 — то есть число, на единицу большее, чем все простые числа из нашего множества, умноженные друг на друга. Очевидно, что это число не может быть произведением любых чисел ряда p1,… pn и оно больше 1. Поэтому оно должно делиться на некое простое число, не включенное в этот набор. Добавляя новые простые числа в этот список и повторяя те же действия, всегда можно найти по крайней мере одно новое простое число. Поэтому должно существовать бесконечное множество простых чисел.

После греков серьезное внимание простым числам уделили только в XVII веке. В 1637 году французский математик Пьер де Ферма сформулировал великую теорему Ферма: уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений при n>2. Эта проблема связана с простыми числами. Лишь в 1994 году американскому математику Эндрю Уайлсу удалось доказать великую теорему Ферма.

В XVIII веке много теорем, связанных с простыми числами, доказал Леонард Эйлер. Его работа в теории чисел включала в себя множество сведений о простых числах. Эйлеру и Лейбницу удалось доказать так называемую малую теорему Ферма: если p — простое число и a — целое число, не делящееся на p, то ap-1–1 делится на p. Она оказалась частным случаем теоремы Эйлера.

Кроме того, Эйлер опроверг предположение Ферма о том, что все числа вида Fn=22n+1 простые. Эйлер также показал, что бесконечный ряд ?+1/3+1/5+1/7+1/11+… является расходящимся, то есть сумма этих дробей равна бесконечности. И, наконец, в переписке с Эйлером математик Христиан Гольдбах сформулировал знаменитую гипотезу Гольдбаха о представлении любого четного числа начиная с 4 в виде суммы двух простых. Эта гипотеза до сих пор не доказана.

В XIX веке большой прорыв был сделан благодаря Карлу Фридриху Гауссу, Пафнутию Чебышёву и Бернхарду Риману, особенно в отношении распределения простых чисел.

Кульминацией стала до сих пор не решенная гипотеза Римана, которую часто называют важнейшей нерешенной задачей всей математики. Она позволяет очень точно предсказать появление простых чисел, а также отчасти объясняет, почему они даются математикам с таким трудом.

Тайны простых чисел

Несмотря на то что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о них до сих пор известно на удивление мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2. Предполагается, что существует, но это пока не доказано. Это проблема, которую можно объяснить ребенку школьного возраста, однако величайшие математические умы ломают над ней голову уже более 100 лет.

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах как с практической, так и с теоретической точки зрения заключаются в том, какое количество простых чисел имеет то или иное свойство. Ответ на самый простой вопрос — сколько есть простых чисел определенного размера — теоретически можно получить, решив гипотезу Римана.

Существуют способы предположить, каким будет правильный ответ на многие из этих вопросов. Догадки математиков подтверждаются численными экспериментами, и есть теоретические основания полагаться на них. Но для чистой математики и работы компьютерных алгоритмов чрезвычайно важно, чтобы эти догадки действительно были верными, и математики могут быть полностью удовлетворены, только имея неоспоримое доказательство, а для гипотезы Римана его пока нет.

Самым серьезным вызовом для практического применения является сложность нахождения всех простых множителей числа. Если взять число 15, можно быстро определить, что 15=5?3. Но если взять 1000-значное число, вычисление всех его простых множителей займет больше миллиарда лет даже у самого мощного суперкомпьютера в мире. На сложности таких вычислений основаны многие алгоритмы защиты данных, поэтому для безопасности коммуникации важно знать, что никто не придумает быстрый способ находить простые множители у больших чисел.

Применение простых чисел в будущем

Сейчас невозможно сказать, как простые числа будут использоваться в будущем. Для теорий, которые разрабатывались в чистой математике, неоднократно находились самые неожиданные применения. Снова и снова идеи, воспринимавшиеся как причуды математиков, оказывались на удивление полезными для науки и техники. В начале XX века математик Годфри Харольд Харди утверждал, что простые числа не имеют реального применения, но уже 40 лет спустя стал очевиден их потенциал для компьютерной коммуникации, и сейчас без них невозможно повседневное использование интернета.

Поскольку простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел, а целые числа постоянно встречаются в реальной жизни, простым числам найдется повсеместное применение в мире будущего. Это особенно актуально, учитывая, что интернет и другие компьютерные технологии играют все большую роль в нашей жизни.

Комментарии: