Парадокс Рассела

МЕНЮ


Искусственный интеллект
Поиск
Регистрация на сайте
Помощь проекту
Архив новостей

ТЕМЫ


Новости ИИРазработка ИИВнедрение ИИРабота разума и сознаниеМодель мозгаРобототехника, БПЛАТрансгуманизмОбработка текстаТеория эволюцииДополненная реальностьЖелезоКиберугрозыНаучный мирИТ индустрияРазработка ПОТеория информацииМатематикаЦифровая экономика

Авторизация



RSS


RSS новости


Парадокс Рассела является одним из самых известных теоретико-множественных парадоксов. Также известный как парадокс Рассела-Цермело, парадокс возникает внутри наивной теории множеств, при рассмотрении множества всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Такое множество содержит себя в качестве элемента тогда и только тогда, когда оно не содержит себя в качестве элемента. Отсюда и парадокс.

Хотя этот результат был также замечен Эрнстом Цермело, он не считался важным до тех пор, пока не был независимо открыт Бертраном Расселом весной 1901 года. Парадокс стал стимулом крупных исследований как в области логики в целом (и теории множеств в частности), так и в философии оснований математики.

  • Что такое парадокс?
  • Сущность парадокса Рассела
  • История парадокса Рассела
  • Ранние ответы на парадокс Рассела
  • Парадокс Рассела в современной логике

Что такое парадокс?

Итак, что же такое парадокс? Для начала несколько слов о том, парадокс не является. Некоторые понимают под словом “парадокс” случай, в котором реальность противоречива, то есть ситуацию, которую вы бы правильно описали, противореча при этом себе. Как мне кажется, от такого словоупотребления стоит воздержаться, потому что оно является попросту неудобным. Некоторые же используют слово “парадокс” просто для обозначения явно или предположительно противоречивого утверждения, типа“Никто больше не ходит по этой улице, потому что там слишком много народу.” Это также не то, как мною будет использоваться слово “парадокс”. Утверждения, подобные вышеописанному, либо ложны, либо просто имеют альтернативный смысл, отличный от поверхностной интерпретации (например, как в утверждении “Я никто”, на самом деле означающем “Я неважен”). В дальнейшем парадокс будет пониматься, грубо говоря, как ситуация, в которой у нас есть, казалось бы, убедительные доводы для противоречивого или же абсурдного вывода. Мы чувствуем, что не можем согласиться с выводом, но и не можем легко обнаружить изъян в рассуждении. Чтобы считаться “парадоксальным”, рассуждение о противоречивом или абсурдном выводе должно иметь широкую привлекательность – то есть оно должно быть во-первых, является убедительным, а во-вторых, валидным; так, идиосинкразические ошибки не будут попадать под этот случай - то есть если некто допускает ошибку при вычислении умножения многозначных чисел, и что приводит к логически невозможному выводу, это не будет считаться парадоксом – даже если сам вычислитель не может найти ошибку после многих попыток. Чтобы считаться “парадоксальным”, часть рассуждений также должна обладать определенной устойчивостью: парадоксы требуют длительного созерцания и обсуждения. Парадоксы могут иметь как успешные, так и неуспешные решения, но правильность того или иного решения будет предметом споров, по крайней мере на какое-то время, даже среди экспертов. Парадокс - это не просто проблема, решение которой, хотя, возможно, и известно экспертам, неизвестно большинству неспециалистов. Итак, подведём итоги: парадокс-это ситуация, в которой строится такое рассуждение, которая имеет широкую и устойчивую привлекательность, но которое приводит к противоречивому или абсурдному выводу, где даже экспертам трудно определить ошибку в рассуждении (отдельным статусом обладает случай, при котором парадоксальная ситуация имеет место благодаря ложной предпосылке — как будет показано ниже, парадокс Рассела отчасти является как раз таким случаем).

Сущность парадокса Рассела

Парадокс Рассела относится (следуя терминологии Рамсея) к логическим парадоксам (т.е. включающим только логические термины — в данном случае множества и отношения принадлежности— и показывающих, что имеется какая-то ошибка на уровне работы исключительно с выбранным нами логическим аспектом теории), в отличие, например, от парадокса лжеца, причисляемого к семантическим парадоксам (т.е. не могущими быть сформулированными в одних лишь логических терминах, ибо сами они содержат некоторую отсылку к устройству самого языка). В чём же заключается парадокс Рассела?

Центральным для любой теории множеств является утверждение условий формирования множеств. В дополнении к простому перечислению элементов множества предполагалось, что любое чётко определённое условие (или точно определённое свойство) может быть использовано для того, что определить множество. Например, если Т - свойство быть чайной чашкой, то множество S, всех чайных чашек, может быть определено как S={x: T(x)}, множество х, таких, что х обладают свойством T. Даже противоречивое свойство может быть использовано для того, чтобы определить множество. Например, свойство быть как Т, так и не Т, определяло бы пустое множество, т.е. множество, не содержащее элементов.

Более точно, наивная теория множеств предполагает так называемую наивную или неограниченную аксиому выделения, заключающуюся в том, что для любой формулы ?(x), содержащей х в качестве свободной переменной, существует множество {x: ?(х)}, все элементы которого - в точности объекты, удовлетворяющие свойству ?(x). Так, если формула ?(x) означает "х - простое число", тогда {x: ?(x)} будет множеством простых чисел. Если ?(x) означает '¬(x=x)', тогда {x: ?(x)} будет пустым множеством.

Однако из допущения этой аксиомы следует парадокс Рассела. Например, если мы положим, что ?(x) означает 'x?x' и R={x: ¬?(x)}, тогда R будет множеством, чьи элементы - в точности те объекты, которые не являются элементами самих себя. Является R элементом самого себя? Если является, значит оно должно удовлетворять свойству "не быть элементом самого себя", т.е. не является. Если не является, значит оно не должно удовлетворять свойству "не быть элементом самого себя", т.е. оно должно быть элементом самого себя. Поскольку в классической логике тот или иной случай должен иметь место: либо R является элементом самого себя, либо R не является элементом самого себя, отсюда следует, что теория допускает противоречие.

Как говорит нам Рассел, именно после того, как он применил тот же тип рассуждения, что и в диагональном аргументе Кантора, к "предполагаемому классу всех мыслимых объектов", он пришёл к противоречию:

«Всеобъемлющий класс, который мы рассматриваем,охватывающий всё, должен охватывать себя как один из своих элементов. Другими словами, если существует такая вещь как "всё", то "всё" есть нечто, что является элементом класса "всё". Но обычно класс не является элементом самого себя. Например, человечество не является человеком. Образуем теперь собрание всех классов, которые не являются элементами самих себя. Этот класс - является ли он элементом самого себя или нет? Если это так, то он один из тех классов, которые не являются элементами самих себя, т.е. он не является элементом самого себя. Если это не так, то он не один из тех классов, которые не являются элементами самих себя, т.е. он является элементом самого себя. Таким образом, из двух гипотез - что он является элементом самого себя и что он не является элементом самого себя, обе приводят к противоречию.»

Нетрудно заметить некоторое преувеличение. Возразить можно было бы следующим образом: противоречие выводится среди прочих посылок из допущения, что объекты типа множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя, существуют. Т.е. резонным является лишь заключение в духе «если R существует, то R является элементом R тогда и только тогда, когда R не является элементом R», и уже из этого заключения вытекала бы ложность допущения, т.е. то, что R не существует. Возражение такого типа справедливо, однако мало способствует уменьшению парадоксальности результата — факт несуществования множества, состоящего в точности из тех элементов, удовлетворяющих чётко определённому условию, является довольно странным, хоть и не прямо противоречивым. Иными словами, вопрос о том, почему такого множества не существует остаётся открытым.

Подобного рода возражение справедливо по отношению парадокса брадобрея, также могущему быть отнесённым к логическим (однако для него такое возражение является решающим). Парадокс брадобрея особенно интересен тем, что между ним и парадоксом Рассела вообще нет существенного различия, и весь цимес последнего явлен более отчётливо. Приведём формулировку:

«Рассмотрим человека, которые по предположению бреет тех и только тех жителей некоторой деревни, которые не бреются сами. Бреется ли брадобрей сам? Брадобрей не может бриться сам, так как он бреет только тех, кто не бреется сам, т.е. если он бреется сам, он перестает быть брадобреем. И наоборот, если брадобрей не бреется сам, то он вписывается попадает в группу людей, которых бы брил брадобрей, и поэтому, он как брадобрей, он должен бриться сам.»

То есть рассуждая совершенно аналогично тому, как это было проделано в парадоксе Рассела, мы приходим к заключению, что брадобрей бреется сам в том и том случае, когда брадобрей не бреется сам. Замечая при этом, что мы в праве прийти лишь к заключению, что, если такой брадобрей существует, то брадобрей бреется сам в том и только том случае, если брадобрей не бреется сам, то не существует такого брадобрея. Возможно, этот результат покажется неожиданным, однако он является не более парадоксальным, чем факт несуществования жителя деревни, который был бы одновременно старше и моложе 30 лет. То есть условие, которому должен по предположению удовлетворять брадобрей, оказывается попросту внутренне противоречивым, и, как следствие, невыполнимым. С другой стороны, условие, фигурирующее в парадоксе Рассела не выглядит внутренне противоречивым (хотя и является таковым), поэтому вывод о несуществовании соответствующего множества представляется неожиданным и внушающим беспокойство.

Стандартные ответы на парадокс пытаются каким-либо образом ограничить условия, по которым формируются множества. Цель обычно состоит в том, что элиминировать R (и похожие противоречивые множества) и в то же время сохранить все остальные множества, необходимые для математики. Это часто делается путём замены неограниченной аксиомы выделения ограниченной, состоящей в том, что, если нам дано непротиворечивое множество S и любая формула ?(x), содержащая х в качестве свободной переменной, то существует множество {x?S: ?(x)}, чьи элементы - в точности те элементы S, удовлетворяющие ?(x). Если мы положим формулу ?(x) такой, чтобы она означала 'x?x', то получим, что соответствующее множество {x ? S: x?x} не является противоречивым, так как оно будет состоять из тех и только и тех элементов, которые находятся внутри S и которые не являются элементами самих себя. Следовательно само множество не будет содержать себя в качестве элемента.

История парадокса Рассела

Рассел, по-видимому, обнаружил свой парадокс поздней весной 1901 года во время работы над своими «Принципам Математики». Когда именно произошло открытие не ясно. Сам Рассел первоначально утверждает, что он столкнулся с парадоксом в июне 1901 года. Рассел написал Фреге о парадоксе 16 июня 1902 года. Парадокс имел важное значение для логической работы Фреге, поскольку по сути он показал, что аксиомы, которые Фреге использовал для формализации своей логики, были противоречивы. В частности, аксиома 5 требует, чтобы выражение, такое как ?(x) следует рассматривать как функцию от аргумента х, так и как функцию от аргумента ?. В сущности именно эта двусмысленность позволила Расселу построить R таким образом, чтобы оно могло быть и не быть элементом самого себя.

Письмо Рассела пришло как раз в тот момент, когда второй том Grundgesetze der Arithmetik (Основоположений Арифметики) Фреге был в печати. Сразу же оценив сложность парадокса Рассела, Фреге добавил в Grundgesetze наспех составленное приложение, в котором обсуждалось открытие Рассела. В приложении Фреге отмечает, что последствия парадокса Рассела не сразу ясны. Например,

"Всегда ли допустимо говорить о расширении понятия или класса? А если нет, то как распознать исключительные случаи? Можем ли мы всегда заключить из того, что протяжённость одного понятия совпадает с протяжённостью другого, что всякий предмет, подпадающий под первое понятие, подпадает также и под второе?"

Из-за тревог по этому поводу Фреге в конце концов вынужден был отказаться от многих своих взглядов на логику и математику. В дальнейшем он почти больше ничего не писал.

Тем не менее, как отмечает Рассел, Фреге встретил известие о парадоксе с поразительной стойкостью.

«Когда я думаю об актах честности и благородства, я понимаю, что в моём знании нет ничего, что могло бы сравниться с преданностью Фреге истине. Работа всей его жизни была на грани завершения, большая часть её была проигнорирована в пользу людей бесконечно менее способных, его второй том должен был быть опубликован, и, обнаружив, что его фундаментальное предположение было ошибочным, он ответил интеллектуальной честностью, явно заглушающей любые чувства личного разочарования. Это было почти сверхчеловеческим и много говорившим свидетельством того, на что способны люди, если они посвящают себя творчеству и знанию, а не более грубым попыткам доминировать и быть известными»

Конечно, Рассела тоже беспокоили последствия этого противоречия. Узнав, что Фреге согласен с ним в отношении значимости результата, он немедленно начал писать приложение к своим собственным вскоре выпущенным "Принципам Математики". Приложение, озаглавленное как "Приложение Б: Учение о типах" представляет собой первую попытку Рассела предложить принципиально новый метод, позволяющий избежать того, что вскоре стало известным как парадокс Рассела.

Ранние ответы на парадокс Рассела

Значение парадокса Рассела хорошо видно при осознании того, что работая в пределах классической логики, мы тем самым пользуемся принципом ex falso quodlibet (принципа, согласно которому из противоречия следует любое высказывание), т.е. имея некоторые P и ¬P, мы можем вывести из них произвольное Q: из P мы получаем P?Q c помощью правила добавления, из P?Q и ¬P мы получаем Q по правилу дизъюнктивного силлогизма. Поскольку теория множеств лежит в основании всех разделов математики, многие начали волноваться о том, что противоречивость теории множеств может означать, что никакое доказательство не может быть достоверным. Следовательно только устраняя парадокс Рассела, математика может устранить свою противоречивость.

Одним из первых, выразивших сомнение по поводу неограниченной аксиомы выделения, был создатель современной теории множеств Георг Кантор. Ещё до открытия Рассела Кантор отказался от неограниченного понимания аксиомы выделения в пользу того, что по сути является различием между множествами и классами, признав, что некоторые свойства (например, свойство быть ординалом) порождают наборы, которые просто слишком велики, чтобы быть множествами, и что любое предположение об обратном приведёт к противоречию.

Ответом Рассела на парадокс была стала его теория типов. Вера, в то, что самоприменимость лежит в основе парадокса, толкнула Рассела на базовую идею, согласно которой мы можем избежать образования множества всех множеств, не являющихся элементами самих себя, организуя все предложения (или точнее, все пропозициональные функции, т.е. функции, которые выдают пропозиции в качестве значений) в иерархию. Тогда можно ссылаться на все объекты, для которых выполняется данное условие (или предикат) только, если все они находятся на одном уровне, т.е являются объектами того же же "типа".

Это решение парадокса Рассела в значительной степени мотивировано принятием так называемого принципа порочного круга. Принцип в сущности утверждает, что никакая пропозициональная функция не может быть определена до указания сферы применения функции. Другими словами, до того, как определить функцию, необходимо сначала точно указать те объекты, к которым она будет применяться (область определения функции). Например, прежде чем определить предикат "являться простым числом", нужно сначала определить набор объектов, которые могли бы удовлетворить этому предикату, а именно множество натуральных чисел.

Как Уайтхед и Рассел объясняют,

«Анализ парадоксов, которых следует избежать, показывает, что они все проистекают из порочного круга некоторого вида. Порочные круги возникают при предположении о том, что некоторое собрание объектов может содержать элементы, которые могут быть определены лишь посредством этого собрания как единой совокупности. Поэтому, например, совокупность пропозиций , как предполагается, содержит пропозицию, утверждающую, что "все пропозиции либо истинны, либо ложны". Казалось бы, однако, что такое утверждение не может быть легитимным, если "все пропозиции" не относились бы к некоторой уже определённой совокупности пропозиций, что невозможно, если создаются новые пропозиции о всех пропозициях. Мы вынуждены поэтому сказать, что пропозиции о всех пропозициях лишены смысла. Вообще, любое данное множество объектов, подобное указанным, если мы предполагаем его всеобъемлющим, будет содержать элементы, которые предполагают эту всеобъемлемость, но тогда такое множество не будет всеобъемлющим. Оборотом речи, что множество «не всеобъемлюще», мы выражаем прежде всего ту мысль, что нет значимого утверждения, которое можно было бы сформулировать о «всех его элементах». Пропозиции, как показывает данная выше иллюстрация, должны составлять множество, не являющееся всеобъемлющим.»

Если Уайтхед и Рассел правы, то из этого следует, что ни одна область применения функции никогда не сможет включать в себя какой-либо объект, предполагающий саму функцию. В результате пропозициональные функции (вместе с соответствующими им пропозициями) в конечном итоге будут организованы в иерархию, которую предлагает Рассел.

Хотя Рассел впервые представил свою теорию типов в 1903 году в "Принципах математики", он сразу же понял, что необходимо проделать большую работу, поскольку его первоначальное объяснение, казалось, разрешило некоторые, но не все парадоксы. Среди альтернатив, которые он рассматривал, была так называемая теория замещения. Это в свою очередь привело к более зрелому выражению теории типов пять лет спустя в статье Рассела "Математическая логика, основанная на теории типов" и к монументальной работе " Principia Mathematica", которую он написал в соавторстве с Альфредом Нортом Уайтхедом. Таким образом, теория типов Рассела появляется в двух вариантах: "простая теория типов" 1903 года и "разветвлённая теория типов" 1908 года. Обе версии подверглись критике за то, что они были слишком ad hoc для того, чтобы успешно устранить парадокс.

В ответ на парадокс Рассела Давид Гильберт разработал программу построения непротиворечивых, аксиоматических оснований математики, включив в неё аксиоматические основания для логики и теории множеств. В основе этого формалистского подхода лежала идея, позволяющая использовать чётко определённые объекты, а также правила вывода, считающиеся абсолютно ясными.

Наконец Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр развил интуиционизм, основная идея которого заключалась в том, что нельзя заявлять о существовании математического объекта, пока не может быть определена процедура его конструирования.

В совокупности все эти ответы помогли сосредоточить внимание на связях между логикой, языком и математикой. Они также помогли логикам развить ясное понимание природы формальных систем и получить важные металогические и метаматематические результаты, которые оказались центральными для исследований в области оснований логики и математики за последнюю сотню лет.

Парадокс Рассела в современной логике

Мне видится, что настоящая глава предполагает большую вовлечённость в вопросы, связанные с математической логикой и философией оснований математики . Неискушённый читатель при желании может её пропустить.

Парадокс Рассела иногда рассматривается как отрицательное развитие - как низвержение Фреге и как один из концептуальных грехов, ведущих к изгнанию из рая Кантора. Так, У.В.Куайн описывает парадокс как "антиномию, тающую в себе неожиданность, которая может быть удовлетворена ни чем иным, как отказом от нашего концептуального наследия." Куайн имеет в виду принцип наивного выделения, упомянутый раннее. Более формально:

(NC) ?A?x(x?A??)

, где вхождение А не является свободным в формуле ?. Он утверждает "Существует множество А, которое для любого элемента х, такое что х - элемент множества А если и только если условие, описываемое ? выполняется". Парадокс Рассела имеет место, когда мы полагаем ? как 'x?x'.

Несмотря на замечание Куайна парадокс Рассела можно рассматривать в более позитивном свете. Во-первых, хотя этот вопрос остаётся спорным, более поздние исследования показали, что парадокс не с необходимостью отменяет вывод Фреге арифметики из одной лишь логики. От версии Фреге NC (его Аксиома 5) можно с лёгкостью отказаться. Во-вторых, например, теория типов Чёрча является более элегантной и, как следствие, оказывается плодотворной даже в областях, далёких от оснований математики (в отличие от теории типов Рассела, которую, как мы упоминали, критиковали за её ad hoc). Наконец, развитие аксиоматических (в отличие от наивных) теорий множеств, которые демонстрируют различные изобретательные как математически, так и философски значимые способы решения парадокса Рассела, проложило путь к ошеломляющим результатам в метаматематике теории множеств. Эти результаты включали теоремы Гёделя и Коэна о независимости аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Итак, давайте посмотрим, в общих чертах, как некоторые из этих методов - в частности, так называемые "нетипизированные методы" справляются с парадоксом Рассела.

Цермело заменяет NC следующей схемой аксиом выделения:

(ZA) ?A?B?x(x?B?(x?A??)).

Опять же, для того, чтобы избежать принципа порочного круга, вхождение B в ? не должно быть свободным. Это требует того, что получения доступа к В, х должен быть элементом существующего множества А. Как можно себе представить, это требует набора дополнительных аксиом существования множеств, ни одно из которых не понадобилась бы, если бы NC не вызывал проблем.

Как ZA избегает парадокса Рассела? Сначала можно подумать, что никак. Ведь если мы позволим А быть универсумом всех множеств V и ? быть 'x?x', опять возникает противоречие. Но в этом случае всё, что показывает противоречие, так это то, что V не является множеством. Всё, что показывает противоречие, - это то, что V -попросту пустое имя (у него нет референта, то есть V не существует), так как онтология системы Цермело состоит исключительно из множеств.

Нетипизированный метод Джона фона Неймана для работы с парадоксами (в частности с парадоксом Рассела) прост и гениален. Фон Нейман вводит различие между множествами и классами. Объект является элементом, если он является элементом некоторого класса; объект является нон-элементом, если он не является элементом какого-либо класса. (На деле фон Нейман развивает теорию функций, взятых как примитивные, а не как классы, где в соответствии с различием элемента/нон-элемента существует различие между объектом, который может быть элементом некоторой функции и объектом, который не может быть таковым.) В своей современно форме вследствие разработок Бернайса и Гёделя, он является односортной теорией классов.

Множества определяются как элементы, а нон-элементы как собственные классы. Так, например, класс Рассела R не может быть элементом никакого класса, а потому он должен быть собственным классом. Если предполагается, что R - элемент класса А, то из одной из аксиом Неймана следует, что R не эквивалентно V, но R эквивалентно V, и следовательно не является элементом А.

Куайн также предлагает нетипизированный метод обхода парадокса Рассела, при этом изобилующий интересными аномалиями. Основная идея Куайна состоит в том, что ввести аксиому стратифицированного выделения. По сути аксиома блокирует цикличность, вводя иерархию (или стратификацию), которая в чём-то похода на теорию типов, а в чём-то отличается.

В отличие от стратегий Цермело, Неймана и Куайна, которые в некотором смысле являются чисто теоретико-множественными, были также попытки избежать парадокса Рассела путём изменения лежащей в его основе логики. Было много попыток, и мы не будем рассматривать их все, но одна из них выделяется как радикальная и несколько популярная (хотя и не у специалистов в теории множеств как таковых): это паранепротиворечивый подход, который ограничивает общий эффект изолированного противоречия на всю теорию). Классическая логика требует, чтобы любое противоречие тривиализировало теорию, делая каждое предложение такой теории доказуемым. Это происходит потому, что в классической логике справедлива следующая теорема:

(Ex Falso Quodlibet) A?(¬A?B)

Теперь практически единственный способ избежать EFQ - отказаться от дизъюнктивного силлогизма, т.е. от обычных определений связок modus ponens. Таким образом, изменение базовой пропозициональной логики действительно радикально, но возможно. К сожалению даже отказа от EFQ недостаточно, чтобы сохранить подобие NC. Нужно также отказаться от следующей дополнительной теоремы пропозициональной логики:

(Сокращение) (A?(A?B))?(A?B)

Иначе можно утверждать, что NC ведёт не просто к изолированному противоречию, а к тривиальности.

Другое предложение могло бы заключаться в том, чтобы заключить, что парадокс зависит от правила исключённого третьего, состоящего в том, что R является элементом себя или R не является элементом себя. Этот принцип отвергается некоторыми неклассическими подходами в логике, включая интуиционизм. Однако можно сформулировать парадокс, не обращаясь к закону исключённого третьего, опираясь вместо этого на закон непротиворечивости. Мы делаем это следующим образом: по определению R R?R?¬(R?R), откуда R?R?¬(R?R). Но мы также знаем, что R?R?R?R. Следовательно R?R?(R?R?¬(R?R)). Из закона непротиворечия мы знаем, что ¬(R?R?¬(R?R)). C помощью modus tollens мы выводим ¬(R?R). В то же время мы знаем, что из R?R?¬(R?R) следует ¬(R?R)?R?R, следовательно R?R. Таким образом, мы можем вывести и то, и другое с использованием только интуиционистски приемлемых методом.

Поэтому кажется, что сторонники неклассической логики не могут утверждать, что сохранили NC в каком-либо значимом смысле кроме сохранения его чисто синтаксической формы, и ни интуиционизм, ни паранепротиворечивость +отказ от сокращения не дадут преимущества перед нетипизированными решениями Цермело, фон Неймана или Куайна.

Стоит также отметить, что парадокс Рассела был не единственным парадоксом, беспокоившим его, и следовательно, не единственной мотивацией для ограничений типов, которые можно найти в Principia Mathematica. В своей более ранней работе "Принципы математики" Рассел посвятил целую главу "Противоречию" (парадоксу Рассела), представив его в нескольких формах и отвергнув несколько нестандартных ответов. Затем он даёт понять, что вкратце обсудит учение о типах. Однако этого не происходит на протяжении нескольких сотен страниц, пока мы не дойдём до самого конца книги, в Приложение Б. Там Рассел представляет зарождающуюся простую теорию типов, а не теорию типов, которую мы находим в Principia Mathematica. Зачем понадобилась более поздняя теория? Причина в том, что в Приложении Б Рассел также представляет другой парадокс, который по его мнению не может быть разрешён с помощью простой теории типов. Этот новый парадокс касается пропозиций, а не классов, и он вместе с семантическими парадоксами привёл Рассела к формулировке его разветвлённой версии теории типов.

Новая, пропозициональная версия парадокса не занимала видного места в последующем развитии логики и теории множества, но она сильно озадачила Рассела. Во-первых, это противоречит теореме Кантора. Рассел пишет:

"Мы не можем допустить, что существует больше рангов (классов пропозиций), чем пропозиций."

Причина в том, что, по-видимому, существуют простые, взаимно однозначные зависимости между классами пропозиций и пропозициями. Например, класс предложений m может быть соотнесёт с утверждением, что каждое предложение из m истинно. Это вместе с принципом индивидуации для предложений (утверждающим, например, что если классы предложений m и n различны, то любое предложение о m будет различаться от любого предложения о n) ведёт к противоречию.

Этот парадокс обсуждался сравнительно мало, хотя он сыграл ключевую роль в развитии логики смысла и значения Чёрча. Хотя у нас есть несколько теорий множеств на выбор, у нас нет ничего похожего на хорошо развитую теорию пропозиций Рассела, хотя такие пропозиции являются центральными для взглядов сторонников Милля и теоретиков прямой референции. Можно было подумать, что такая теория была бы необходима для оснований семантики, если не для оснований математики. Таким образом, в то время как один из парадоксов Рассела привёл к плодотворному развитию оснований математики, его другой парадокс ещё не привёл к чему-либо похожему в оснований семантики. Конечно, Чёрч и Андерсон пытались разработать Расселовскую интенсиональную логику, основанную на разветвлённой теории типов, но можно привести аргумент, что разветвлённая теория типов слишком ограничительна, чтобы служить основой для семантики естественного языка. Кроме того в последнее время предпринимались попытки получить зачатки Расселовской интенсиональной логики, основывающейся на нетипизированной теории множеств.

Парадокс Рассела никогда не был устаревшим и в последнее время наблюдается взрыв интереса к нему со стороны учёных, занимающихся исследованиями в области математической логики, а также её философскими и историческими исследованиями. Беглый взгляд на содержание книги "One Hundred Years of Russell’s Paradox" показывает, что выдающиеся учёные в области математической и философской логики, а также истории логики, изучая этот парадокс, предлагают новые пути решения этой проблемы. Их исследования включают в себя радикально новые пути выходы из дилеммы, новые исследования теорий типов (простых, разветвлённых, и их расширений), новые интерпретации парадокса Рассела и конструктивных теорий парадокса пропозиций.

Всё это напоминает нам, что плодотворная работа может возникнуть из самых невероятных наблюдений. Как сказал Дана Скотт:

"С самого начала стоит понимать, что парадокс Рассела не следует рассматривать как катастрофу. Этот и связанный с ним парадоксы показывают, что наивное представление о всеобъемлющих коллекциях является несостоятельным. Это интересный результат, и в этом нет никаких сомнений.”

Настоящая атья в значительной степени основывается на одноимённой статье из Стэнфордской философской энциклопедии и книги «Основания теории множеств» Френкеля&Бар-Хиллела.


Источник: m.vk.com

Комментарии: