Об истоках аналитической философии

Пожалуй ни в каких иных областях кроме философии нельзя встретить такого щепетильного отношения к собственным первоистокам. Хотя современная аналитическая философия слишком далеко ушла от своих начал, всё же нельзя не проследить даже в новых концепциях отголоски старых логических и эпистемологических систем. По этой причине обращение к прошлому — это не просто дань истории философии, но настоящая возможность обстоятельнее изучить метод решения философских проблем, которые сегодня — не в меньшей степени, чем раньше, — занимают умы людей. В данной небольшой заметке я попытаюсь дать читателю представление о тех столпах, на которых стоит современная аналитическая философия. Определение этой обширной области философии я не буду давать, т. к. во-первых в опубликованной летом статье сей вопрос составлял центральную тему разбора, а во-вторых сам термин «аналитическая философия» довольно условен: некоторых т. н. континентальных мыслителей можно без всяких зазрений совести записать в аналитические философы; к примеру тот же Гуссерль развивал науку о чистых сущностях, придерживался идей антипсихологизма, которыми он проникнулся как раз благодаря общению с выдающимся немецким логиком — Готлобом Фреге, о котором преимущественно и пойдёт речь в этой статье. Единственное, что стоит здесь заметить, — так это то, что аналитическая философия делает большой акцент на логике и на анализе языка (хотя и это не делает её уникальной: герменевтика, обычно относимая к континентальной традиции, также акцентирует своё внимание на лингвистических вопросах, правда не с позиции интенсиональной или экстенсиональной логики).

Логические построения йенского философа

Биография Фреге, как мне кажется, не заслуживает особого внимания в анализе его системы, а потому касаться этой темы я буду лишь вскользь. Поделить философию Фреге можно на три условные части: а) исчисление понятий, т. е. строжайшее рассмотрение формы рассуждения, отметающее всё то, что не относится к выводам, которое создавалось Фреге с целью проследить развитие суждений арифметики из чистой логики; б) логическая семантика — конкретизация понятия функции и выявление основных структурных элементов суждения, получившие в современной логической литературе название «треугольник Фреге»; в) логика: в данном периоде Фреге заинтересовался самим характером разработанной им системы без конкретной привязки к обоснованию математики; как раз именно на этом этапе можно увидеть обоснование собственно гносеологических и онтологических идей, а именно — антипсихологизма, онтологизации мира мыслей, реальности и познаваемости ноуменов и т. д. Стараясь придерживаться именно такого деления, я буду излагать основные положения йенского мыслителя.

I) Исчисление понятий (Begriffsschrift)Следует понимать, что во время научной деятельности Фреге матлогика начала только зарождаться, и стройной теории множеств, алгоритмов, пропозиционального исчисления и логики предикатов ещё не было. Конечно, можно вспомнить таких математиков как Буля, Шрёдера, Пеано и Кантора, которые внесли свой неоценимый вклад в формирование матлогики. Однако их системы не были лишены недостатков, с которыми Фреге и боролся. Также стоит упомянуть, что не было и единого взгляда на происхождение математики: кантовская система — а конкретнее, трансцендентальная эстетика, из которой математика якобы черпала своё чистое содержание, — казалось применимой только в отношении геометрии, но никак не алгебры или математического анализа; гегелевская диалектика, в силу своей масштабности и, по моему скромному разумению, достаточно примитивному и порой неверному освещению математического познания, была малопригодна для целей обоснования математики. В самом деле, высматривать в математике только становление наличного бытия — доказательство — которое исчезает в результате, т. е. в доказанном суждении, и сл-но не составляет единство с ним самим, — значит просто не понимать математику и не иметь возможность исследовать её основу. Что же касается самих математиков, то они по большей части были мало заинтересованы в изучении истоков своей собственной дисциплины, и некоторые из них наоборот стремились алгебраизировать логику, введя в неё чисто арифметические знаки. Фреге был рьяным противником данных тенденций, и его исчисление понятий — прямая противоположность изначальной булевой алгебры.

Искусственный язык, разрабатываемый Фреге, существенно обыгрывал естественный по двум причинам: во-первых, в естественном языке присутствует огромное количество смысловых оттенков, препятствующих ясному пониманию предложений; во-вторых, предложения естественного языка зачастую более громоздки, чем формулы т. н. чистого мышления: там, где для описания сложных отношений между суждениями использовались страницы обыденного текста, в формульной записи требовалось лишь несколько абзацев. Таким образом, исчисление позволяло эффективнее прослеживать выводы — и именно этой цели придерживался Фреге, изучая как далеко в область арифметики могут зайти чисто логические зарисовки. Кроме того, по причине своей большей ёмкости, запись в понятиях позволяла автору замечать прокрадывающиеся в рассуждения эмпирические посылки и тем самым устранять их. Мы видим, что создание такого языка выполняет функции а) эффективного анализатора математических суждений, способного «органически» вливаться в рассуждения и выполнять чисто служебную роль; б) обоснования самой математики.

В связи с вышеуказанным нелишне будет вспомнить lingua characteristica (универсальную характеристику) Лейбница. Сей великий учёный муж, как известно, независимо от Ньютона создал матанализ. Однако главной своей задачей Лейбниц видел не развитие конкретно математической дисциплины, но изобретение метода приумножения научного знания; разум с т. з. рационалистической философии — это фундамент нашего знания, проявляющий себя и в постановке экспериментов. Соотв. разумные средства могут присутствовать не только в стихии чистых мыслей, но и в эмпирических областях, существенно облегчая изучение реальных явлений. Отличие между необходимыми истинами и истинами случайными, очевидно, всё же имеется. Первые редуцируются до тождественных истин, а последние требуют бесконечного анализа. «Любая истина анализа, которая не может быть воспринята и доказана из своих оснований, но получает для себя последнее основание и определённость из божественного разума, не является необходимой.» (Лейбниц, «Об универсальной науке, или философском исчислении»). Случайные истины — это истины факта. (К слову сказать, подобное деление «истин», присутствующее как в рационалистской, так и в эмпиристской традициях, было подхвачено сперва Кантом, а впоследствии и логическими позитивистами, которые определяли осмысленность какой-либо заданной пропозиции с помощью возможности включения её в класс высказываний о фактах или в класс «необходимых», т. е. тавтологических, высказываний.) Поэтому использование некоторого алфавита человеческих рассуждений, благодаря которому можно формализовывать как фактические суждения, так и чисто математические и логические, — это весьма важная задача, способная предотвратить бессмысленные конфликты между философскими школами. Лейбниц даже полагал, что все философские споры сводились бы к банальным вычислениям, а все ошибки в суждениях — к нарушению единой философской «грамматики». Само наше мышление, кажется, побуждает нас к закреплению за предметами знаков и к закреплению знаков за знаками, как это происходит в математике. В самом деле, признаки объектов — это понятийная конструкция, основанная на некотором числе наблюдений. А знаки знаков существенно упрощают нам возможность открывать истины той же геометрии, т. к. сокращают формульные выражения и не заставляют каждый раз перечислять валёры (по Лейбницу — первичные определения данных знаков).

Ниже я вкратце представлю предложенную Лейбницем понятийную запись. Лейбниц предлагает связывать с каждым термином суждения — т. е. с субъектом или с предикатом — его характеристическое число. Термину же, построенному из других терминов, соответствует число, которое является произведением чисел, связанных с образующими данный терминами. Слово «Гегель», например, может образовываться из двух слов — «величайший бумагомаратель» = a и «шарлатан» = b. Таким образом, слово «Гегель» выражается через ab. Формирование суждений в зависимости от их количества и качества строится по следующим принципам:

I. Общеутвердительное суждение истинно тогда и только тогда, когда характеристическое число субъекта делится нацело на характеристическое число предиката (далее — просто «число»), т. е. S/P.
II. Частноутвердительное суждение истинно тогда и только тогда, когда либо число субъекта делится нацело на число предиката, либо число предиката делится нацело на число субъекта, т. е. S/P ? P/S.
III. Общеотрицательное суждение истинно тогда и только тогда, когда ни число субъекта не делится на число предиката, ни число предиката — на число субъекта, т. е. ¬(S/P ? P/S).
IV. Частноотрицательное суждение истинно тогда и только тогда, когда число субъекта не делится на число предиката, т. е. ¬(S/P).

Лейбниц иллюстрирует своё открытие следующим примером. Допустим, имеется суждение «Всякий человек есть животное». Пусть «человек» — это H, а «животное» — А. Тогда должно быть так, что число r, связанное с субъектом, делилось нацело v — число, связанное с предикатом. Пусть теперь r = 6, a v = 2, тогда отношение характеристик выражается через 6/2 или через 3/1. Это значит, что в случае точного деления терминов суждения числитель и знаменатель дроби r/v можно представить в виде простых чисел, т. е. коэффициент v в общеутвердительных суждениях всегда должен равняться единице. Сообразно этому, вырисовывается другая таблица:

1.Все S суть P | vS = rP | v = 1
2.Некоторое S суть P | vS = rP |(v = 1) ? (r = 1)
3.Ни одно S не суть P | vS = rP |(v ? 1) ? (r ? 1)
4.Некоторое S не суть P | vS = rP | r ? 1

Из этой таблицы видно, что из общеутвердительных суждений следуют частноутвердительные, а из общеотрицательных — частноотрицательные. (т. к. (v = 1) ? ((v = 1) ? (r = 1)), а ((v ? 1) ? (r ? 1)) ? r ? 1).

Помимо данного исчисления у Лейбница есть ряд других важных идей, используемых в современной матлогике. В частности представление о возможных мирах ныне активно применяется в модальной логике: «высказывание является необходимым тогда и только тогда, когда оно истинно во всех возможных мирах». Несмотря на все достижения Лейбница, его собственная lingua characteristica и в более общем смысле calculusratiocinator оказались неудовлетворительными для Фреге. Это обусловлено, во-первых, узкой областью вычислимости высказываний — а именно формализовать оказывается возможным лишь субъект–предикатные суждения — а во-вторых смешением арифметических знаков с собственно логическими, что противоречит одной из основных функций фрегевского исчисления понятий. То, что субъектно-предикатные отношения крайне посредственно отражают структуру суждений, доказывается следующим обстоятельством. Пусть у нас имеются два предложения:

а) «Персы были побеждены греками под Платеями.»
б) «Греки победили персов под Платеями.»

Несмотря на небольшое смысловое различие в этих предложениях, значение у них остаётся одним и тем же. То содержание, которое остаётся тем же самым в обоих предложениях, называется понятийным содержанием. Соотв. одинаковое понятийное содержание возможно выражать в суждениях с разными субъектами и предикатами, а потому и нет особой необходимости в том, чтобы выражать то же самое различными средствами. Единственный предикат, который можно встретить во всех суждениях, — это предикат «истинно», названный Фреге штрихом суждения. Штрихом содержания Фреге помечает все те выражения, которое можно преобразовать в суждения — т. е. в то, что может быть оценено как нечто истинное или ложное.

Выражение —А соотв. обозначает некоторое содержание А, а добавление знака | к —А так, что |—А, — то, что данное содержание, истинно. Например, —А есть «Аналитическая философия самая лучшая в мире». В самом —А содержится условия его истинности, однако они ещё не утверждены; в то же время |—А значит: «Суждение «Аналитическая философия лучшая в мире» истинно». Что же касается самого символа А, то он, как сейчас говорят, представляет собой пропозициональную букву. (Т. е. Фреге вводит в множество всех символов своей системы некоторое подмножество пропозициональных букв).

Введя данные знаки, Фреге продолжает обогащать свой словарь посредством добавления логических операторов, в первую очередь — импликации и отрицания, через которые задаются и другие функторы. Если А и В — это суждения, то имеется четыре возможных варианта:

1.А утверждается и В утверждается;
2.А утверждается и В отрицается;
3.А отрицается и В утверждается;
4.А отрицается и В отрицается.

Когда мы говорим, что B ? A, мы исключаем третий вариант. На языке Фреге «B ? A» выглядит следующим образом:

(Чтобы прочесть фрегевскую формулу, необходимо — в случае импликации — читать её снизу вверх, и слева направо — в случае отрицаний).

Соотв. |—(Г ? (B ? A)) означает, что всё выражение ложно, если Г истинно, а (B ? A) — ложно.

Из определения импликации вытекает, что из двух суждений (A ? B) и А следует новое суждение — B. Второй случай возможных значений суждений исключается в силу (A ? B), третий и четвёртый в силу B. Таким образом, мы переходим в область умозаключений, а конкретно — к modus ponens (MP). Другие виды силлогизмов, присутствующие в аристотелевской логике, Фреге не использует в своём исчислении (за исключением разве что modus tollens). Связано это с тем, что, по мнению Фреге, выведение Q из N и M всегда представимо в виде (N ? M)|?Q; т. е. все оставшиеся типы силлогизмов сводятся к MP.

Второй фундаментальной логической операцией в системе Фреге является отрицание. ¬A имеет место тогда и только тогда, когда A не имеет места. На базе отрицания и условного штриха выстраиваются многие функторы фрегевской системы. Антиконъюнкция задаётся через B ? (¬A) (возможность утверждать оба предложения — A и B — отсутствует); нестрогая дизъюнкция — через ¬B ? A (А и B не могут одновременно отрицаться; А или B). Выражение «А или B» может совмещать значения предыдущих выражений и тем самым представлять собой строгую дизъюнкцию. Подобным образом можно получить большое кол-во других знаковых конфигураций вроде ¬(В ? A) и ¬(¬В ? ¬А) и т. д.

Равенство содержаний, однако, отличается от условной связи и отрицания тем, что относится не к содержаниям, а к именам: когда утверждается (A ? B), разумеется, что одно и то же понятийное содержание выражается двумя именами. Так знак равенства содержаний неизбежно вводит раздвоение в значении всех знаков: значение отсылает или к содержанию, или к самому знаку. Может возникнуть вопрос: зачем же философскому языку, претендующему на исчисление содержаний, вдруг требуется подобная операция? Дело в том, что Фреге учитывает помимо экстенсиональной части высказывания также часть интенсиональную (или смысловую), которая, не прибавляя ничего к предметной области, всё же вносит различение в познавательную ценность суждений, имеющих одинаковый экстенсионал. Иллюстрацией сего отличия может считаться классический пример утренней и вечерней звезды — два этих имени имеют один и тот же предмет, однако смысл суждений «Утренняя звезда есть планета» и «Вечерняя звезда есть планета» различается: один человек, не зная, что такое вечерняя звезда, может счесть последнее суждение ложным, а первое — напротив истинным. Одним словом, для логики важны не только взаимоотношения в рамках понятийного содержания, но также способы задания этого понятийного содержания, самое суждение. Это важнейший аспект философии Фреге, который будет подробнее рассмотрен в части о логической семантике.

Ещё одно новшество, которое было привнесено Фреге в философию, — это рассмотрение суждения через призму функционального отношения. Некоторое выражение возможно условно разделить на два момента: один момент мыслится изменяемым, второй же — постоянным. В предложениях «Четыре больше, чем два» и «Три больше, чем два» можно обособить «быть больше, чем два» и индивидную переменную, неопределённым образом указывающим на константу — «четыре», «три», «два» и т. д. «быть больше, чем два» в нашем случае — это функция, а «четыре» и «три» — аргументы. Строгое определение звучит следующим образом: «Если в выражении, о содержании которого незачем выносить суждения, простой или сложный знак встречается на одном или многих местах и мы мыслим его — на всех или на некоторых из этих мест — допускающим замену чем-то другим, причём замену везде, но одним и тем же, то часть выражения, остающуюся при этом неизменной, мы называем функцией, а ту часть, которая может заменяться, — её аргументом». Эта дефиниция, как видно, является сугубо логической; оттого она позволяет использовать понятие функции применительно не только к математическим объектам, но и к естественному языку. Согласно обычному представлению, функция — это отображение, т. е. тройка (Х, f, Y), где X — отображаемое множество; Y — область прибытия функции; а f — это правило, которое сопоставляет каждому x ? X свой y ? Y. Т. е. f(X):= {y ? Y | ?x[(x ? X) ? (y = f(x)]} — это область значения функции, f??(Y):= {x ? X | f(x) ? Y} — область определения, f: X —> Y — собственно сама функция. Если имеется множество M, причём x ? M, то нотация {x ? M | P(x)} задаёт подмножество М, состоящее из тех элементов М, которые обладают свойством P. Однако более полезным является введение функции через отношение R — упорядоченную пару. Пара упорядочена тогда и только тогда, когда (х, y) ? (y, x) при x ? y. Множество, образованное всеми (х, y), называется декартовым произведением множеств (Х ? Y). Для формально-логической записи определения (Х ? Y) необходимо прибегнуть к пятой аксиоме теории множеств — а именно: для любого множества X найдётся множество P(X), состоящее из тех и только тех элементов множества Х, которые являются его подмножествами. Тогда Х ? Y:= {p ? P(P(X) ? P(Y)) | p = (x, y) ? (x ? X) ? (y ? Y)}. Знаки «?» и «?» означают принадлежность элементу множеству и объединение множеств (т. е. A ? B (на множестве M), если х ? М такой, что х ? А и х ? В) соответственно,а знак «?» — то, что некоторое множество является подмножеством другого множества (A ? B:= {?x[(x ? A) ? (x ? B)]}. Возвращаясь к понятию отношения, мы говорим, что R ? X ? Y есть функциональное отношение, или функция, если и только если ((х R y?) ? (x R y?)) ? (y? = y?). График функции — подмножество Т декартова произведения, чьи элементы суть (х, f(x)), — становится тождественным самой функции. Декартова система координат как раз превращает плоскость в декартово произведение множеств, на котором функция находит своё графическое выражение. Этот момент, взятый из математики и основанный соотв. на теории множеств (и на аналитической геометрии), совпадает и с фрегевским исчислением: Фреге полагал, что всем известные оси координат — это отличный способ убедиться во взаимосвязи между неизменной частью выражения и его аргументами. Несмотря на уже обозначенную неприязнь Фреге к «количественному взгляду» на логику, возможно провести большое кол-во параллелей с ZFC, ZF и NBG (различные варианты аксиоматической теории множеств): так, конструирование натурального ряда Фреге осуществляется примерно в том же духе, что и выбор фон Нейманом единственного индуктивного множества, включённого во все другие индуктивные множества, и последующее выстраивание модели N натуральных чисел. Однако это несколько другая тема, к которой я вернусь позже.

Для обозначения функций и аргументов Фреге использует обычные буквы. Так, суждение «А обладает свойством F» формализуется как F(А). n-аргументные функции — встречающиеся в выражениях вроде «В есть результат применения процедуры F к А» — обозначаются через F(A, B) (или F(x?, x?, x?, ... ,x?)).

Но одной из главных особенностей фрегевской философии — в сравнении с существующими на тот момент системами (за исключением, разве что, системы Пеано) — явились кванторы. Перед тем как перейти к непосредственному разъяснению данной темы я предпочту поделиться некоторыми наводящими соображениями. Пусть имеется следующее высказывание: ((х? = 4) ? (х? = m)) ? (m = 16))). Оно истинно не при всяких значениях х и m: поставив на место x число 5, а на место m — число 21, получим истинный антецедент и ложный консеквент; сл-но, в целом ложное суждение. Стало быть, перед нами вовсе нет высказывания, ибо в данном выражении отсутствует фиксированное значение истинности. Это не произошло бы, если бы мы ограничили всеобщность x только этой частью — (х? = 4) ? (х? = m)). Чтобы выразить сие обстоятельство, Фреге прибегал к лунке в штрихе содержания и к готической букве в ней, а современная логика — к квантору всеобщности «?». Итак, наше выражение имеет завершённый вид тогда и только тогда, когда оно формулируется в виде «(?х[(х? = 4) ? (х? = m)] ? (m = 16))». ?xF(x) значит, что F удовлетворены неким х, независимо от того, чем этот х является; или: для любого х F(x) имеет место. Причём говорят, что x в данную формулу входит несвободно, т. к. он связывается квантором. Отрицание всеобщности отрицания F(x) представляет собой не что иное как экзистенциальное предложение: ¬?x¬F(x) = df ?xF(x); — не всякий х не имеет свойства F, или: существует как минимум один х такой, что F(x). Имея в распоряжении кванторы и предикаты, становится возможным представлять на нашем формульном языке причинные зависимости:

x[F(x) ? P(x)] —
независимо от того, чем является х, если он обладает свойством F, то он обладает и свойством P;

¬?x[F(x) ? P(x)] —
не всякий х, обладающий свойством F, обладает и свойством P;

x[F(x) ? ¬P(x)] —
для любого х: если х имеет свойство F, то он не имеет свойства P;

¬?x[F(x) ? ¬P(x)] —
не всякий х, имеющий свойство F, не имеет свойства P; или: есть некоторые х, имеющие как свойство F, так и свойство P.

Более того, теперь мы можем сделать таблицу логических противоположностей. В стандартном фрегевском исчислении она выглядит так:

Оглянемся назад. Почти все логические операции, кванторы и правила вывода (MP и MT) заданы. Осталось немногое — создание, а точнее, как полагал Фреге, открытие логических законов, которые содержатся в основе применения знаков. Как показали в последующем логпозитивисты, любое суждение некоторой формальной системы может быть рассмотрено в качестве закона; таким образом, возможно бесконечное или как минимум крайне обширное множество законов. Такого же мнения придерживался и Фреге. Сл-но, для исчисления понятий чрезвычайно важно отыскать такие законы, в содержании которых находятся все другие, пусть и в нераскрытом виде:

«... полнота законов есть не что иное, как достижимость в ходе поиска тех из них, которые благодаря своей силе включают в себя их все».

Основные законы чистого мышления

I. (а ? (b ? a)) —
а не может одновременно утверждаться и отрицаться.
II. ((c ? (b ? a)) ? ((c ? b) ? (c ? a))) —
если а необходимо следует из двух предложений b и с, а b следует из c, то а следует из с. Если считать, что причинные связи — это не только предрассудок, то мы сможем выразить этот закон и как «если b есть достаточное условие для а и если c есть достаточное условие для b, то c есть достаточное условие для a». Фреге иллюстрирует данное правило следующим примером:

а есть то обстоятельство, что брусок железа E намагничивается;
b есть то обстоятельство, что по проводнику D течёт электрический ток;
с есть то обстоятельство, что ключ T нажат.

Тогда:

«если предложение, что E намагничивается, когда по проводнику D протекает электрический ток, — верно;
если, далее, верно предложение, что электрический ток протекает по D, когда ключ T нажат;
то E намагничивается, когда ключ T нажат».

Собственно, II отражает транзитивность импликации.

III. ((d ? (b ? a)) ? (b ? (d ? a))) —
если предложение является следствием двух других предложений, то порядок последних безразличен. III. является следствием из I и II законов, что указывает на избыточность исчисления понятий. Помимо самих схем аксиом, Фреге приводит формальные следствия из них, которые выглядят в его записи несколько громоздко:

IV. ((b ? a) ? (¬a ? ¬b)) —

это закон, демонстрирующий переход от правила вывода MP к MT: если из b следует a и не a, то не b.

V. (¬¬a ? a) —
из отрицания отрицания а следует а (ничего общего с диалектикой здесь нет).

VI. (a ? ¬¬a).

I – VI схемы аксиом, а также MP образуют пропозициональное исчисление — логику высказываний. VII – IX — логику предикатов.

VII. (c ? d) ? (F(c) ? F(d)).
Из этого следует, что (f(c) ? (f(c ? d) ? f(d)).

VIII. (c ? c).

IX. ?xF(x) ? F(c).
— т. н. снятие квантора всеобщности: из общего суждения выводятся частные.

Учение о последовательностях и применение исчисления понятий.

Удивительно, как из одних только чистых понятий выводятся структуры, описывающие некоторые математические положения. Среди последних можно выделить принцип индукции по Бернулли. Его выведение требует повышения порядков, т. е. квантификации предикатных переменных или, выражаясь языком Фреге, введения функций второй ступени, аргументами которых являются, соотв., функции первой ступени. Но обо всём по порядку.

Важнейшая черта многих последовательностей — это наследуемость некоторого свойства её элементами. Так, например, свойство «быть человеком» наследуется у людей: если родитель является человеком, то и его ребёнок также является человеком. Формульно это выглядит так: ?x[F(x) ? ?a[f(x, a) ? F(a)]]: «если из предложения, что х имеет свойство F, в общем случае — каким бы ни было x — можно заключить, что каждый результат применения процедуры f к х
будет обладать свойством F, то я говорю: "свойство F наследуемо в f-последовательности"». Отсюда заключаем, что (?x[F(x) ? ?a[f(x, a) ? F(a)]] ? (F(x) ? f(x, y)) ? F(y). Если свойство F наследуемо в f-последовательности и если х имеет свойство F и y есть результат применения процедуры f к х, то y имеет свойство F.

Чтобы обозначить то обстоятельство, что y в f-последовательности следует за х, необходимо воспользоваться следующей записью: ?F[(?x[F(x) ? ?a[f(x, a) ? F(a)]] ? (?a[f(x, a) ? F(a)])) ? F(y)]. Здесь Фреге как раз и расширяет своё исчисление до логики второго порядка, т. к. квантор всеобщности используется в отношении F, а не только х или а. Итак, из того, что х обладает свойством F, наследуемым в последовательности, а y идёт за х в этой последовательности, следует, что y обладает свойством F. Это обосновывает принцип индукции. y, говоря современным языком, представляет собой последователь х; и сл-но сама последовательность — это не что иное, как индуктивное множество, коль скоро в нём имеется X и X+= X ? {X} (а также ?).

Помимо прочего Фреге определяет свойство однозначности процедуры: ?e?x[(f(x, e) ? ?a[f(x, a)]) ? (a ? e). Если e — это результат применения процедуры f к х, независимо от того, чем х и e является, и если a — это такой же результат применения данной процедуры к х (что имеет место для любого х и а), то а совпадает с e, а сама процедура f однозначна. Дальнейшие следствия Фреге опять-таки приводит в громоздкой форме:

Напомню, что одной из первоочередных целей создания философского исчисления было умаление роли ест. языка в математике и соотв. организация большей точности в математических рассуждениях. Ниже я представлю несколько примеров использования такой записи:

скажем, что ?F[(?x[F(x) ? ?a[f(x, a) ? F(a)]] ? (?a[f(x, a) ? F(a)])) ? F(y)] =:Х/У f(x, a). (для упрощения записи). Т. е. при помощи X/Y f(x, a) мы утверждаем, что x предшествует y в f-последовательности. z ? Z (z — целое число). Х/У (z + 1 = g), Х/У (z + 1 = e), Х/У (z + 1 = b), Х/У (z + 1 = a) — выражения того, что g, e, b, a суть целые числа. Тогда суждение

((Х/У (z + 1 = c) ? (¬?a?b?e?g[Х/У (z + 1 = g), Х/У (z + 1 = e), Х/У (z + 1 = b), Х/У (z + 1 = a)])) ? ¬(c = a? + b? + e? + g?)))

значит, что каждое положительное целое число можно представить через сумму квадратов четырёх целых чисел.

Высказывание

n[((n > 0) ? (¬?x[X/Y f(B, x) ? ¬?a[X/Y f(x, a)) ? (A - n ? a ? A + n)]]]

гласит: «а принадлежит окрестности точки А, а сам A — предел f-последовательности».

Система Фреге — это первая дедуктивно-аксиоматическая логика, которая состоит из двух частей: пропозиционального исчисления и логики предикатов. Как видно из вышенаписанного, данная система неплохо (для своего времени) справлялась с формализацией высказываний естественного и математического языков. Она также послужила почвой для образования грандиозного проекта Рассела и Уайтхеда; во многом построения Фреге повлияли на Витгенштейна и Карнапа (последние ко всему прочему посещали лекции Фреге). Несмотря на это, притязания Фреге на обоснование математики средствами чистой логики были сокрушены парадоксом Рассела: Рассел вскрыл противоречия в самом базисе логической семантики Фреге, а именно — в понятии «универсальной предметной области». Объяснению этого парадокса и логицистической программы Фреге и будет посвящена следующая статья.

Источник: m.vk.com

Комментарии: