Элементы Теории нечеткостей и Вторая теорема Гёделя

В дополнении к предыдущему посту обсудим некоторые проблемы математики. Прежде всего нечеткость. Что это? Определим это так: пусть у любого объекта есть состояние истинно (1) или ложно (0), тогда нечеткостью будет является состояние объекта, отвечающее любому числу из интервала (0,1). Собственно, Теория нечеткостей и занимается изучением такого рода объектов.

Примеры: Невозможно проверить истинность высказывания «на улице сейчас холодно/тепло.» (для кого-то холодно, а для кого-то тепло или вообще не то и не другое); невозможно дать определения понятиям точка, прямая, красный, желтый (или, когда красный стал желтым и иные цвета), множество и др. Рассмотрим проблемы, которые вызывают нечёткие объекты.

1) Парадокс Рассела.

На неформальном языке парадокс можно описать следующим образом. Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является «обычным», так как само множество — не человек. Примером «необычного» множества является множество всех множеств, так как оно само является множеством, а, следовательно, само является собственным элементом. Можно рассмотреть множество, состоящее только из всех «обычных» множеств, такое множество называется расселовским множеством. Парадокс возникает при попытке определить, является ли это множество «обычным» или нет, то есть содержит ли оно себя в качестве элемента. Есть две возможности. С одной стороны, если оно «обычное», то оно должно включать себя в качестве элемента, так как оно по определению состоит из всех «обычных» множеств. Но тогда оно не может быть «обычным», так как «обычные» множества — это те, которые себя не включают. Остаётся предположить, что это множество «необычное». Однако оно не может включать себя в качестве элемента, так как оно по определению должно состоять только из «обычных» множеств. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это «обычное» множество. В любом случае противоречие.

2) Парадокс лжеца

Дано высказывание: Данное высказывание — ложно. Истинно ли это высказывание или нет? Легко показать, что это высказывание не может быть ни истинным, ни ложным.

3) Парадокс Брадобрея

Пусть в некой деревне живёт брадобрей, который бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей сам себя? Если брадобрей бреется сам, то он принадлежит множеству тех жителей города, кто бреется сам, Но в объявлении утверждается, что наш брадобрей никогда не бреет тех, кто входит в это множество. Следовательно, наш брадобрей не может брить самого себя. Если же брадобрея бреет кто-нибудь другой, то он принадлежит к числу тех, кто не бреется сам. Но в объявлении сказано, что он бреет всех, кто не бреется сам. Следовательно, никто другой не может брить нашего брадобрея. Похоже, что его не может брить никто!

4) Парадокс Бертрана из теории Вероятностей имеющий несколько решений все правильные, а ответы разные! Если моего читателя не заплющело во все стороны от предыдущих парадоксов, то парадокс Бертрана изучите сами. Эти парадоксы вызваны тем, что мы пользуемся нечеткими понятиями и не совершенным математическим аппаратом. Вот мы и подошли ко второй теореме Гёделя, которая формулируется так: «не существует такого необходимого и достаточного набора аксиом, в рамках которого можно было бы доказать его непогрешимость». А теперь представьте если математика - наука точная, и имеет такого рода глюки, то как можно утверждать истинность любого высказывания например в истории? Тем не менее возникающие парадоксы совершенствуют математический аппарат, находятся люди такие как Ньютон, Эйлер, Якоби, которые двигают этот аппарат вперед.

Источник: vk.com

Комментарии: