ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ

Исследовательская область философии, в которой выявляются основания математического знания, место математики в системе знания, онтологический статус математических объектов, методы математики. Понятая так философия математики оказывается существенной частью почти всех философских систем. Практически каждый философ старался высказать свое отношение к математике и определить место этой области знания. При решении собственно математических проблем философское обоснование математического знания необходимо для выяснения условий достоверности последнего; это послужило поводом для обращения к философии многих ведущих математиков. Кроме того, философия математики связана с использованием математики для прояснения или обоснования философской позиции. Многие философские исследования содержат математические примеры, служащие либо иллюстрацией философского рассуждения, либо даже методологической базой философского исследования. Наиболее яркий пример использования математики в философии дает Николай Кузанский, для которого геометрические образы оказываются едва ли не самым адекватным средством проведения философского рассуждения.

Значимость математики для философии впервые обосновал Платон. Он рассматривал числа и геометрические фигуры как эйдосы и парадейгмы, т.е. принципы и начала вещей, благодаря которым последние обретают смысловую определенность и становятся причастны бытию. Изучающая эйдосы математика важна для Платона прежде всего потому, что переориентирует ум с рассмотрения преходящего и становящегося бытия на подлинно сущее, устойчивое и определенное в себе. Она, поэтому, оказывается подготовительной ступенью для диалектики, т.е. непосредственного знания идеи Блага – высшей реальности, причастность которой и дает бытие математическим предметам.

Иную позицию по отношению к математике занимает Аристотель, согласно которому числа и геометрические фигуры (точнее: линии, поверхности и тела) суть лишь результат отвлечения от чувственно воспринимаемых вещей, их определенных свойств. Математика, как любая другая наука, изучает сущность (см. Сущность и явление), но не всесторонне, а лишь выделяя интересующий ее количественный аспект. Числа и величины и есть тот аспект существования вещи, на который обращает внимание математика.

В философии Нового времени можно выделить два – во многом противоположных – подхода к математике, которые развивались в рамках рационализма и эмпиризма. В рационализме математика рассматривалась как наиболее достоверное основание всякого знания, тогда как эмпиризм пытался вывести ее из опыта. Характерными в этом отношении являются, напр., воззрения Декарта, с одной стороны, и Беркли – с другой. Декарт исходит из того, что всякое знание должно базироваться на фундаменте ясного и непосредственного интеллектуального созерцания, интуиции, дающей возможность прямого усмотрения истины. Такое прямое усмотрение возможно, однако, лишь тогда, когда мы имеем дело с наиболее простыми и вместе с тем фундаментальными понятиями – теми, которые недоступны никакому анализу и представлению через другое. В качестве такого фундаментального и непосредственно ясного понятия Декарт указывает протяженность. Это сразу делает науку, изучающую протяженные конфигурации – геометрию, – основанием для всех остальных наук. Именно сведением к протяженности должна быть обоснована истинность всех научных понятий. Геометрическая интуиция (созерцание протяженных величин) служит основанием и для самой математики. С помощью отношений величин Декарт вводит числа и числовые отношения, а алгебраические уравнения обретают смысл потому, что рассматриваются как уравнения линии. Возможности геометризации в познании природы Декарт считал практически безграничными. Сам он не только пытался выстроить на этой основе почти все естественно-научные дисциплины (включая, напр., физиологию), но и не исключал возможности применения своего универсального метода и к объяснению человеческого поведения.

Оценка математики в философии Беркли противоположна позиции Декарта в том смысле, что он не только не считает математические понятия фундирующими знание, но, напротив, пытается показать, что математика, как никакая другая наука, склонна к заблуждениям и противоречиям. Беркли во многом предвосхитил дискуссии об основаниях математики начала 20 в., указав, что нужно с особой тщательностью подходить к процедуре образования математических понятий, чтобы избежать ошибок и парадоксов в этой науке. Правильно образованным Беркли считал то понятие, которое непосредственно выражает данные чувств. Существует лишь то, что воспринимается, а все остальное есть способ репрезентации воспринятого. Число и геометрическая фигура – именно такие репрезентанты. Однако, комбинируя разные репрезентации, математик может очень далеко уйти от их основы и соорудить такие отвлеченные конструкции, которым не соответствует никакое ощущение. Беркли предлагал очистить математику от беспочвенных абстракций, критикуя прежде всего исчисление бесконечно малых, которое он находил противоречивым и к тому же совершенно бесполезным.

Позиция тех, кто, подобно Декарту, считал математику основой всякого научного знания, оказывается более выигрышной с точки зрения развития математического естествознания, поскольку она объясняет необычайную эффективность математики в исследовании природы. Однако критика математического знания с позиций эмпиризма (в чем Беркли, по-видимому, преуспел больше других) предлагала более трезвое отношение к математике, противопоставляя рационалистическому энтузиазму намерение установить границы ее применимости. Обе названные интенции были реализованы Кантом, который, с одной стороны, поставил задачу обосновать использование математики в естествознании, а с другой – ясно определить границы как математики, так и всего естествознания в целом. Кант определил число и величину как априорные формы знания, помимо которых рассудок вообще не может мыслить ни одного явления. Знание природы состоит в конструировании природных объектов сообразно правилам рассудка, а поскольку число и величина задают такие правила, постольку любой объект оказывается прежде всего математическим. Все в природе измеримо и исчисляемо – по-другому мы просто не можем ее мыслить. Вместе с тем математика всегда остается в сфере чувственности. Ее понятия применимы лишь к тому, что доступно непосредственному созерцанию, которое может быть только чувственным (а не интеллектуальным, как полагал Декарт). Такой подход к математике почти не вызывает трудностей, если речь идет о Евклидовой геометрии, алгебре и арифметике. Однако проблем исчисления бесконечно малых Кант, в отличие от Беркли, почти не касался.

Философское обоснование математического знания постоянно обсуждалось не только философами, но и математиками. Однако пик озабоченности ведущих математиков философскими проблемами пришелся на начало 20 в. и был связан с разразившимся в это время кризисом оснований. Возникшие тогда направления в математике (их обычно выделяют четыре: логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественное направление) различаются прежде всего философскими установками, повлиявшими в свою очередь на структуру развиваемого ими математического дискурса. Впрочем, позиция каждого направления была тесно связана с философской классикой.

Рассел, сформулировавший философскую базу логицизма, во многом солидаризировался с английским эмпиризмом. Он исходил из того, что основание математики лежит вне ее и все математическое знание должно быть фундировано нематематическими посылками. Истинность математических суждений обнаруживается их сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым суждениям о реальности, т.е. эмпирическим фактам. Рассел был убежден в том, что математика будет иметь смысл (и избавится от противоречий), когда будет показано, что она отражает какое-то реальное положение дел. Наибольшую сложность в его концепции представляло объяснение того, что собственно означает это реальное положение дел, т.е. что следует называть фактами и как их устанавливать.

Прямо противоположная позиция была занята основателем интуиционистской школы Брауэром. Он считал математику вполне самодостаточной дисциплиной, основания которой лежат внутри ее самой. Более того, по мнению Брауэра, математика является наиболее чистым выражением фундаментальных интуиций, лежащих в основе всякой когнитивной деятельности. Говоря об интуиции, он прежде всего имел в виду интуицию числового ряда, которая, будучи непосредственно ясна сама, задает априорный принцип любого математического (да и не только математического) рассуждения. Последнее он представлял как последовательность конструктивных действий, осуществляемых одно за другим согласно некоторому закону. Обоснованность математических понятий поэтому оказывалась тождественна их конструктивности. По Брауэру, все неконструктивные абстракции (прежде всего абстракция актуальной бесконечности) должны быть устранены из математики. Идея конструктивности была использована и Гильбертом, предложившим формалистическую программу обоснования математики. Его проект включал два основных пункта: 1) аксиоматизация основных математических дисциплин и 2) доказательство непротиворечивости аксиоматически заданных теорий в рамках метаматематики. Первый пункт означал особую трактовку онтологического статуса математических объектов. Они рассматривались всего лишь как символы или их комбинации, не имеющие никакой сущности и определения. Их определенность возникает только благодаря месту в формулах теории, т.е. благодаря полной совокупности отношений, в которых они участвуют. Второй пункт гильбертовской программы предлагал трактовать математическое рассуждение так же, как объект теории. Доказательство математической теоремы, точно так же как и математические объекты, есть определенная комбинация символов, т.е. объект, сконструированный по заданным правилам. Завершенность и регулярность таких объектов и должна стать гарантией их непротиворечивости. Гильберт считал особенно важным то, что всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию. Здесь Гильберт прямо солидаризируется с Кантом. Более того, программа Гильберта может быть рассмотрена как своего рода апология кантианства именно там, где позиции последнего наиболее уязвимы – в тех областях, которые не имеют дела с созерцаемыми объектами. Дело в том, что в рассуждении (т.е. аксиоматической теории) любой бесконечный объект все равно есть лишь непосредственно созерцаемая символическая конструкция.

В целом можно выделить несколько основных проблем, на которых постоянно концентрируется философия математики. Во-первых, это проблема интуиции или непосредственного чувственного или интеллектуального созерцания. Именно ясность и простота созерцания оказываются критерием обоснованности математического знания. Вторая проблема состоит в том, где следует искать возможность такого созерцания: дает ли ее сама математика, или оно лежит в иных областях, из которых математика должна быть выведена. Обе проблемы по-прежнему остаются в центре внимания философии математики и продолжают в значительной мере определять содержание современных дискуссий.

Г.Б.Гутнер

Комментарии: