Золотое сечение — Алексеи? Савватеев

Математик Алексей Савватеев об иррациональных числах, Леонардо Фибоначчи и правильном пятиугольнике

Золотое сечение, или золотая пропорция, представляет собой отношение двух величин, при котором бо?льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к большей: например, отрезок АС поделен на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ. Чем знаменито золотое сечение и какое отношение к нему имеет задача Фибоначчи о размножении кроликов?

Числа Фибоначчи

Средневековый математик Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи (сын Боначчи) сформулировал знаменитую задачу о размножении кроликов: «В огороженное место помещены два кролика — самка и самец. Эта пара начинает приносить потомство через месяц и дает приплод ежемесячно по паре новых кроликов. Каждая новая пара кроликов становится половозрелой ровно через месяц и тоже начинает приносить ежемесячно по паре кроликов». Вопрос: сколько всего кроликов будет через год? С какой скоростью растет популяция кроликов?

Если это записать, получится следующее: вначале была 1 пара кроликов, затем их стало 2 пары, потом 1+2, то есть те кролики, что к этому моменту стали половозрелыми, размножились, и образовалось 3 пары. Из них 2 пары размножились, и всего стало 5 пар кроликов. Потом размножились 3 пары, и стало 8. Получается, число кроликов по месяцам описывается такой последовательностью чисел Фибоначчи, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Числа Фибоначчи проходят красной нитью через всю математику, и не только через нее, и интересно, как они растут (скажем, чему равно сотое число Фибоначчи?), — если мы имеем какую-то последовательность растущих чисел, то всегда задаем этот вопрос. Ответ: последовательность чисел Фибоначчи растет с экспоненциальной скоростью, то есть как некоторое число в степенях.

Первое число Фибоначчи примерно равно некоторому числу в первой степени — назовем это число z. Второе число Фибоначчи примерно равно z2. Третье число Фибоначчи примерно равно z3. Сотое число Фибоначчи примерно равно z100. Иными словами, каждое число Фибоначчи примерно равно zn. Более того, если числа Фибоначчи домножить на ?5, то совпадение некоторого числа Фибоначчи, домноженного на ?5, с zn оказывается с ростом числа n все более близким, несмотря на то что речь идет о растущей серии огромных чисел.

Правильный пятиугольник

Еще одна задача — как с помощью циркуля и линейки построить правильный пятиугольник? Сложностей с построением правильного четырехугольника (квадрата) и правильного треугольника нет. Правильный шестиугольник особенно приятно строить: проводим окружность, берем радиус, на окружности фиксируем некоторую точку и откладываем радиус 6 раз подряд — получаем правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Если мы соединим все его вершины с центром, то нарисованные отрезки будут одной и той же длины и равны радиусу окружности.

Но как построить правильный пятиугольник и возможно ли это? Для древних ничего невозможного не было, и если они что-то не умели строить, то они просто считали, что пока слишком глупы для того, чтобы это построить. И хотя задача о построении правильных многоугольников сводится к задаче о построении правильных многоугольников с простым количеством сторон, у древних не получалось построить правильный семиугольник, одиннадцатиугольник, двенадцатиугольник, семнадцатиугольник и так далее. (Гаусс им всем поставил мат, построив правильный семнадцатиугольник циркулем и линейкой, — это очень сложно и относится уже к теме комплексных чисел.)

Правильный пятиугольник можно построить, используя циркуль и линейку, с помощью числа z, которое у нас возникло при описании чисел Фибоначчи. Для этого в пятиугольнике нужно построить центральный угол, равный 72° (360°: 5). Такой же угол имеет равнобедренный треугольник, углы в котором равны 72°, 72° и 36°. Нарисуем его, проведем в нем биссектрису угла, равного 72°, и таким образом разобьем исходный треугольник на два других. Очень важно, что оба получившихся треугольника равнобедренные: когда мы поделим угол 72° на два равных угла, то получится треугольник с углами 36°, 36° и 108° и треугольник с углами 36°, 72° и 72°.

Поскольку в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, получаем три одинаковых отрезка. Обозначим их за 1, и теперь задачей будет найти длину боковой стороны большого треугольника, которую мы обозначим тем же самым z, о котором шла речь при рассмотрении последовательности числе Фибоначчи.

Таким образом, число Фибоначчи задается определенной формулой и очень близко к 1/5 от zn, где z — это то самое число, которое определяет отношение боковой стороны к основанию в треугольнике с углами 72°, 72° и 36° и сводится к уравнению z2=z+1. Именно такое z называется золотым сечением и открывает ключ к скорости роста чисел Фибоначчи и построению равнобедренного треугольника, а вместе с ним и правильного пятиугольника.

Золотое число иррационально: z=(?5+1)/2. Иррациональные числа мы раскладываем в цепную дробь, чтобы получить наилучшее приближение в виде дроби. И z раскладывается следующим образом:

Это исключительная цепная дробь, которая состоит из одних единиц. И если взять и отрезать ее по какой-либо единице и привести к обычной дроби, то в приближении мы получим отношение соседних чисел Фибоначчи. Лучшее приближение, полученное с помощью рациональных чисел, то есть дробей для золотого сечения, — это приближение, полученное с помощью отношения соседних чисел Фибоначчи.

Источник: www.youtube.com

Комментарии: