10 Графовых алгоритмов

Графы превратились в невероятно сильное средство моделирования и получения данных из соцсетей, веб-страниц и ссылок, а также определения местоположения и маршрутов в GPS. Любой набор объектов, которые связаны друг с другом, можно сейчас представить с помощью графа.

В статье опишем 10 основных графовых алгоритмов, которые становятся очень полезными для анализа, а также области их применения.

Начнём с того, что приведём определение графа.

Что такое граф?

Граф состоит из конечного множества вершин (узлов) и набора рёбер, соединяющих эти вершины. Две вершины считаются смежными, если они соединены друг с другом одним и тем же ребром.

Ниже приведён ряд базовых понятий, относящихся к графам. Они проиллюстрированы примерами на рисунке 1.

• Порядок: число вершин в графе.
• Размер: число рёбер в графе.
• Степень вершины: число рёбер, инцидентных вершине.
• Изолированная вершина: вершина, которая не связана ни с одной другой вершиной графа.
• Петля: ребро, вершины которого совпадают.
• Ориентированный граф: граф, в котором все рёбра имеют направление, определяющее начальную и конечную вершину.
• Неориентированный граф: граф с рёбрами, которые не имеют направления.
• Взвешенный граф: рёбра такого графа имеют определённый вес.
• Невзвешенный граф: рёбра такого графа не имеют никаких весов.

1. Поиск в ширину

Обход или поиск — это одна из фундаментальных операций, выполняемых на графах. Поиск в ширину начинается с определённой вершины, затем исследуются все её соседи на данной глубине и происходит переход к вершинам следующего уровня. В графах, в отличие от деревьев, могут быть циклы — пути, в которых первая и последняя вершины совпадают. Поэтому необходимо отслеживать посещённые алгоритмом вершины. При реализации алгоритма поиска в ширину используется структура данных «очередь».

На рисунке 2 показан пример того, как выглядит поиск в ширину на графе. Жёлтым цветом помечаются обнаруженные вершины, красным — посещённые.

Применяется для:

• определения кратчайших путей и минимальных остовных деревьев;
• индексации веб-страниц поисковыми ботами;
• поиска в соцсетях;
• нахождения доступных соседних узлов в одноуровневых сетях, таких как BitTorrent.

2. Поиск в глубину

Поиск в глубину начинается с определённой вершины, затем уходит как можно дальше вдоль каждой ветви и возвращается обратно. Здесь тоже необходимо отслеживать посещённые алгоритмом вершины. Для того, чтобы стало возможным возвращение обратно, при реализации алгоритма поиска в глубину используется структура данных «стек».

На рисунке 3 показан пример того, как выглядит поиск в глубину на том же графе, который использован на рисунке 2. Граф обходится на всю глубину каждой ветви с возвращением обратно.

Применяется:

• для нахождения пути между двумя вершинами;
• для обнаружения циклов на графе;
• в топологической сортировке;
• в головоломках с единственным решением (например, лабиринтах).

3. Кратчайший путь

Кратчайший путь от одной вершины графа к другой — это путь, при котором сумма весов рёбер, его составляющих, должна быть минимальна.

На рисунке 4 показан кратчайший путь на графе от вершины 1 до вершины 6.

Алгоритмы нахождения кратчайшего пути:

1. Алгоритм Дейкстры.
2. Алгоритм Беллмана-Форда.

Применяются в:

• картографических сервисах типа Google maps или Apple maps для прокладки маршрутов и определения местоположения;
• сетях для решения проблемы минимальной задержки пути;
• абстрактных автоматах для определения через переход между различными состояниями возможных вариантов достижения некоторого целевого состояния, например минимально возможного количества ходов, необходимого для победы в игре.

4. Обнаружение циклов

Цикл — это путь, в котором первая и последняя вершины графа совпадают. То есть путь, начинающийся и завершающийся в одной и той же вершине, называется циклом. Обнаружение циклов — это процесс выявления таких циклов. На рисунке 5 показано, как происходит обнаружение цикла.

Алгоритмы обнаружения цикла:

1. Алгоритм Флойда.
2. Алгоритм Брента.

Применяются:

• в распределённых алгоритмах, использующих сообщения;
• для обработки крупных графов с использованием распределённой системы обработки в кластере;
• для обнаружения взаимоблокировок в системах с параллельным выполнением;
• в криптографических приложениях для выявления ключей сообщения, которые могут соответствовать одному и тому же зашифрованному значению.

5. Минимальное остовное дерево

Минимальное остовное дерево — это подмножество рёбер графа, которое соединяет все вершины, имеющие минимальную сумму весов рёбер, и без циклов.

На рисунке 6 показан процесс получения минимального остовного дерева.

Алгоритмы поиска минимального остовного дерева:

1. Алгоритм Прима.
2. Алгоритм Крускала.

Применяются:

• для создания деревьев для распределения данных в компьютерных сетях;
• в кластерном анализе с использованием графов;
• при сегментации изображений;
• при социально-географическом районировании, когда смежные регионы объединяются.

6. Сильно связные компоненты

Граф считается сильно связным, если все вершины в графе достижимы из всех остальных вершин.

На рисунке 7 показан пример того, как выглядит граф с тремя сильно связными компонентами, вершины которых окрашены в красный, зелёный и жёлтый цвета.

Алгоритмы поиска сильных компонент связности:

1. Алгоритм Косараджу.
2. Алгоритм Тарьяна.

Применяются:

• для вычисления декомпозиции Далмейджа-Мендельсона, которая представляет собой разделение вершин двудольного графа на подмножества;
• в соцсетях для поиска групп сильно связанных между собой людей и выдачи рекомендаций на основе общих интересов.

7. Топологическая сортировка

Топологическая сортировка графа — это такое линейное упорядочение его вершин, в котором для каждого направленного ребра, например (u, v), вершина u предшествует вершине v.

На рисунке 8 показан пример топологического упорядочения вершин, согласно которому вершина 5 должна следовать за вершинами 2 и 3, а вершина 6 — за вершинами 4 и 5.

Алгоритмы поиска топологической сортировки:

1. Алгоритм Кана.
2. Алгоритм на основе поиска в глубину.

Применяются:

• при планировании выполнения команд;
• при сериализации данных;
• определения порядка выполняемых при компиляции задач в Makefiles;
• для разрешения зависимостей символов в компоновщиках.

8. Раскраска графов

При раскраске графов элементам графа присваиваются цвета с учётом определённых условий. Раскраска вершин — наиболее часто используемый метод окраски графов. При этом вершины графа окрашиваются с использованием k цветов, а любым двум соседним вершинам должны соответствовать разные цвета. Другие методы окраски — раскраска рёбер и раскраска граней.

Хроматическое число графа — это наименьшее количество цветов, необходимых для окрашивания графа.

На рисунке 9 показан пример того, как выглядит раскраска вершин графа с использованием 4-х цветов.

Алгоритмы с раскраской графов:

1. Алгоритмы, использующие поиск в ширину или поиск в глубину.
2. Жадная раскраска.

Применяются для:

• составления расписаний;
• назначения радиочастот мобильных сетей;
• моделирования и решения головоломок типа судоку;
• проверки того, является ли граф двудольным;
• раскрашивания географических карт стран или штатов, на которых соседние страны или штаты имеют разные цвета.

9. Максимальный поток

Можно смоделировать граф в виде сети потоков с весами рёбер в качестве пропускной способности этих потоков. В задаче максимального потока требуется найти такой путь потока, который может обеспечить максимально интенсивность потока.

На рисунке 10 показан пример того, как выглядит нахождение максимального потока сети и определение конечного значения потока.

Алгоритмы нахождения максимального потока:

1. Алгоритм Форда-Фулкерсона.
2. Алгоритм Эдмондса-Карпа.
3. Алгоритм Диница.

Применяются:

• в авиакомпаниях для составления полётного расписания экипажей;
• при сегментации изображений для определения фона и переднего плана изображения.

10. Паросочетания

Паросочетание на графе — это набор рёбер, которые не имеют общих вершин (т.е. хотя бы двух рёбер, не имеющих общей вершины). Паросочетание называется максимальным, если оно содержит максимально возможное число рёбер, сочетающихся с как можно большим количеством вершин.

На рисунке 11 показано получение полного паросочетания в двудольном графе с двумя наборами вершин, обозначенных оранжевым и синим цветами.

Алгоритмы нахождения паросочетаний:

1. Алгоритм Хопкрофта-Карпа.
2. Венгерский алгоритм.
3. Алгоритм сжатия цветков.

Применяются:

• в подборе пары для жениха или невесты (задача о стабильных браках);
• для определения вершинного покрытия;
• в теории транспорта для решения задачи распределения ресурсов и оптимизации перевозок.

Заключение

Надеюсь, статья была полезной и в простой и краткой форме познакомила вас с графовыми алгоритмами.

А с реализациями графовых алгоритмов можно ознакомиться в модулях на Python networkx и igraph.

Источник: m.vk.com

Комментарии: