Теорема Эрроу — Алексеи? Савватеев

Математик Алексей Савватеев о невозможности демократии, работе парламента и декартовом произведении

С точки зрения математики утверждение, что теорема Эрроу (Arrow’s impossibility theorem) — это теорема о невозможности демократии, является ложным. Демократия и монархия имеют давние интеллектуальные традиции, и у каждого режима свои плюсы и минусы. На самом деле теорема Эрроу утверждает, что универсальный политический процесс невозможен, то есть не существует универсального ящика, куда можно сложить мнения всех, кто принимает решения, повернуть ручку и выдать то, что называется общественным мнением. 

Требования к правилу коллективного выбора

В парламенте 450 человек. Каждый из них имеет то или иное мнение относительно того, как ранжировать общественные проекты. Допустим, через Берингов пролив планируется построить мост, и я этот проект — назовем его «проект А» — очень поддерживаю, потому что мне хочется, чтобы два континента были соединены железной дорогой. Идея проекта В заключается в том, чтобы предварительно провести железную дорогу на Чукотку. Проект C — это мост на Сахалин, а проект D — туннель от Гузерипля до Красной Поляны, который пробьет Кавказский хребет (этот проект, кстати говоря, обсуждался еще в Советском Союзе).

Парламентарии начинают размышлять: «Если будет благоприятная экономическая конъюнктура на рынке нефти и газа и у нас хватит средств на реализацию двух из четырех проектов, какие же выбрать? Если будет плохая конъюнктура, то хватит средств только на один проект, а значит, нужно понять, какой проект лучший из четырех. А если средств хватит на реализацию трех проектов из четырех, то какие взять?» Универсальный вопрос состоит в том, как ранжировать четыре проекта. Если парламент даст обществу готовый ответ, как он распределил проекты по степени значимости, то все остальное будет делом техники: сколько бюджета выделят, на столько проектов и хватит. 

Формальной задачей является обработка начальных представлений каждого из 450 парламентариев относительно того, как ранжируются проекты A, B, C, D, в «представление общества» на выходе. Каждый парламентарий подает свой список, в котором проекты как-то им упорядочены, и все 450 списков помещаются в «машинку», из которой на выходе автоматически выскакивает список из четырех проектов, ранжированных определенным образом. И общество говорит, что полученный результат — окончательный список, в котором были учтены мнения всех 450 парламентариев, — соответствует общественному мнению.

Чего же, собственно, не существует? Не существует универсальной функции f, которая отображает любые начальные данные в конечные и удовлетворяет требованиям. Первое требование состоит в следующем: если во всех 450 поданных списках проект A стоит выше, чем проект B, тогда и в том списке, который будет означать предпочтения общества (то есть в значении функции от 450 переменных), A тоже должен стоять выше B. Иными словами, если каждый парламентарий считает, что мост на Сахалин лучше, чем мост через Берингов пролив, естественно предположить, что и общество, которое представлено этим парламентом, считает так же. 

Может быть так: один парламентарий считает, что мост на Сахалин — лучший вариант, проект моста через Берингов пролив стоит у него на втором месте, а остальные два занимают третье и четвертое место; а другой парламентарий считает, что на самом деле лучшее — это туннель от Гузерипля до Красной Поляны, на втором месте — железная дорога на Чукотку, потом мост на Сахалин, а в конце — мост через Берингов пролив. Но это уже не так важно, потому что они единогласны в том, что мост на Сахалин важнее, чем мост через Берингов пролив. В этом случае общество тоже должно так считать. Это требование на функционал.

Второе требование сложнее: необходимо, чтобы для оценки пары проектов информация, которая учитывалась функционалом, включала только список оценок конкретной пары проектов всеми членами общества. До этого речь шла о том, что если все считают, что проект А лучше, чем проект В, то на выходе мы получим то же самое мнение. Получается, что первое требование нормативное.

Второе требование позитивное. Я не могу сразу сказать, какой проект лучше — В или С, — но точно знаю, что достаточно проанализировать пару «проект B и проект C» у каждого из 450 парламентариев: для первого парламентария проект В лучше, чем проект С, для второго — проект С лучше, чем проект В, для третьего — В лучше С и так далее. Этой информации достаточно, чтобы понять, какой проект из этой пары общество считает лучшим. 

Если входные данные, списки, а также представления каждого парламентария о ценности проектов меняются, но упорядочение проектов B и C остается прежним (например, те, кто считал, что B лучше C, по-прежнему придерживаются такого мнения), то результат после применения функционала тоже может поменяться, но только относительно остальных двух проектов — A и D. B и C должны остаться в том же порядке, в котором были. Они могут оба перепрыгнуть наверх или вниз, между ними могут влезть проекты A и D. Но если до этого B было лучше C и все изменения не касались этой пары, то и на выходе В тоже будет лучше C.

Функционал коллективного выбора

Существует огромное множество функционалов — отображение декартова произведения множеств, то есть это множество всех ранжирований, в котором 24 элемента, в 450-й степени (24450). Таких множеств множества всех ранжирований, которое можно представить как 24 в степени 24450, то есть таких функционалов тех функционалов, которые удовлетворяют двум нашим требованиям, а именно Парето-оптимальности и независимости от посторонних альтернатив, у нас ровно 450.

Как они устроены? У нас 450 парламентариев. Первый функционал говорит, что общественное мнение совпадает с мнением первого парламентария, а остальные 449 парламентариев всегда и во всех случаях игнорируются: подставляются 450 списков, все выкидываются, а список первого парламентария считается мнением общества. Первые два требования абсурдным образом соблюдаются.

Второй функционал состоит в том, что «диктатором» парламента объявляется второй парламентарий. Тогда все списки во всех случаях всегда выкидываются, а список второго парламентария объявляется мнением общества. Так происходит с каждым парламентарием, и каждому соответствует его собственный диктаторский механизм, когда он объявляется «диктатором», а мнение остальных полностью игнорируется. В этом и заключается утверждение теоремы Эрроу, что по-другому нельзя.

Важно отметить, что теорема Эрроу верна, только если количество альтернатив три и более. В нашем случае их было четыре: A, B, C, D, и теорема Эрроу работала. Но если рассматриваемых альтернатив только две, тогда теорема Эрроу неверна: один из недиктаторских механизмов — это голосование по большинству, которое удовлетворяет обоим требованиям, но дополнительно предполагает, что парламентариев должно быть нечетное количество. 

Таким образом, если альтернатив больше трех, то функционалов общественного выбора, которые удовлетворяют естественным условиям — Парето-оптимальности и независимости от посторонних альтернатив, — ровно столько, сколько парламентариев, а каждый функционал общественного выбора диктаторский: «диктатором» назначается конкретный человек, и его выбор объявляется выбором общества.

Источник: www.youtube.com

Комментарии: