Комбинаторный метод / искусство по Готфриду Лейбницу

Г.В. Лейбниц опубликовал первые главы своей «Диссертация о комбинаторном искусстве отдельным изданием» и под названием: «Арифметическое исследование комплексий».

«Поскольку универсум, по Лейбницу, представляет собой гармоническую совокупность вещей, находящихся между собой в определённых математически исчисляемых отношениях, то комбинаторика является для него фундаментальным методом, позволяющим с формалистической точностью производить две основные операции познания - анализ и синтез. […]

… Следовательно, согласно Лейбницу, задача комбинаторного искусства заключается в том, чтобы:

а) разложить все сложные вещи и понятия на простые элементы, которые сами уже не поддаются дальнейшему разложению и могут быть поняты только через аналогию; найденные таким образом первопринципы и будут представлять собой «алфавит человеческих мыслей», редукция к которому позволяет достигнуть точного знания о вещах;

б) выявить все возможные новые комбинации этих первопринципов, в результате чего будут получены новые, в том числе и производные истины; это и есть задача изобретательной логики.

По мысли Лейбница, комбинаторный метод приращения знания равно применим в самых различных областях, а потому оказывается пригоден для создания той самой «всеобщей науки», над проектом которой работали современники Лейбница - Эрхард Вейгель и Атанасиус Кирхер (1602-1680).

В главе «Применение Задач I и II», где сосредоточено основное философское содержание «Диссертации», Лейбниц обстоятельно аргументирует следующий тезис: подобно тому, как в геометрии Евклида действует закон первоначальных аксиом, так и во всех прочих науках должны быть установлены первопринципы, из которых путем комбинирования по определённым правилам выводились бы все прочие содержания.

«Юриспруденция же, - поясняет он этот тезис на примере, - во всём похожа на геометрию, разве что в одном случае имеются элементы, в другом казусы. Простыми элементами в геометрии являются фигуры: треугольники, круги и пр. В Юриспруденции же - действия, обязательства, право продажи и пр. Казусами являются их комплексий, и здесь и там они изменчивы до бесконечности». Аналогичным образом комбинаторный метод применим, по мысли Лейбница, в медицине, натурфилософии, музыке, военном деле и стихосложении. Лейбниц считал также возможным создание на комбинаторной основе универсального языка.

Однако наиболее существенным нововведением Лейбница в этой области является применение комбинаторики к интерпретации силлогистики. Именно здесь берёт начало знаменитый принцип Лейбница «praedicatum subjecto inest». В соответствии с этой концепцией, сложное понятие всегда содержит в себе простые, из которых оно составлено, точно так же как в суждении субъект содержит в себе все предикаты, которые могут быть ему приписаны посредством высказываний. Истинность предложения состоит в том, что понятие, образующее предикат, содержится в понятии, образующем субъект. Это относится ко всем без исключения предложениям, как необходимым, так и контингентным, как всеобщим, так и относящимся к единичностям. Соответственно, комбинаторика предоставляет логический метод, в котором сложение и разложение понятий могут быть произведены в условиях механического контроля, так что эта методика открывает путь к формализации аналитической теории понятий и суждений, а тем самым и к задуманной «ars demonstrandi» и «ars inveniendi». […]

В «Диссертации о комбинаторном искусстве» Лейбниц не только перечислил все луллиевы термины, но и произвёл те комбинаторные исчисления, которые Луллий представлял сугубо теоретически. Это обстоятельство убедительно свидетельствует о том, сколь основательно Лейбниц был знаком с луллиевым методом. Лейбниц подсчитал общее число комбинаций, которые можно получить из девяти понятий каждого класса и которое составляет: 511 = 29 - 1, а также общее число комбинаций, получающихся при соединении любого термина одного класса с любым термином другого класса: 5116= 17.804.320.388.674.561. Однако, подхватывая общую идею комбинаторики, как её сформулировал Луллий, Лейбниц видит свою задачу не столько в усовершенствовании математического аппарата комбинаторики, сколько в осуществлении философской ревизии изобретённой Луллием комбинаторной машины.

В «великом искусстве» Луллия Лейбниц не мог принять два изначальных допущения: во-первых, то, какие именно понятия были выбраны Луллием в качестве основополагающих и элементарных, а во-вторых, их количество, ради симметрии искусственно ограниченное девятью элементами в каждом классе. Кроме того, Лейбниц оспаривает необходимость обособления некоторых групп, например, класса вопросов, которые дублируют атрибуты, а также класса добродетелей и грехов, которые очевидно не являются элементарными и всеобщими понятиями. Эти замечания позволяют двадцатилетнему Лейбницу сделать вывод, что метод Луллия «скорее подходит для того, чтобы говорить о вещах, чем для достижения полноценного знания о них».

Свою задачу Лейбниц видел в том, чтобы реформировать луллиевскую комбинаторику, не только снабдив её более совершенным математическим аппаратом, но и придав ей характер строгого философского знания. Сущность лейбницевского метода заключалась в следующем.

Все понятия делятся на классы. В первый класс входят простые понятия, схватываемые либо через определения, либо через аналогию. Согласно Лейбницу, этот класс составляют «не только вещи, но также состояния (modi) и отношения (respectus)». Эти элементарные понятия должны быть помечены определёнными знаками, лучше всего - пронумерованы. Во второй класс входят понятия, полученные в результате комбинаций двух понятий первого класса. Третий класс составляют понятия, полученные в результате комбинаций трех понятий (Лейбниц называет это контернацией) первого класса, и так далее. Таким образом, каждое сложное понятие может быть записано в виде формулы, представляющей собой его определение. В целях упрощения этой записи Лейбниц прибегает к форме дроби, где числитель соответствует определённому порядковому номеру простого термина, а знаменатель представляет экспоненту, обозначающую общее число простых терминов, входящих в комплексию, то есть указывает на порядок класса. (Понятия комплексии и экспоненты, а также другая терминология комбинаторного метода вводятся Лейбницем в главе «Определения», вошедшей в состав «Арифметического диспута»). Например, запись 1/2 будет обозначать первый термин второго класса, 2/3 - второй термин третьего класса, и так далее.

При помощи этого метода Лейбниц предполагает возможным определение производных понятий через простые, входящие в него в качестве множителей, точно так же как, например, число 210 может быть представлено в виде произведения чисел натурального ряда 2, 3, 5, 7.

Соответственно, этот метод позволяет найти (логически) все предикаты к заданному субъекту. Действительно, множители записанного в виде дроби понятия как раз и будут представлять собой его предикаты, так как они выражают, все вместе и каждый в отдельности, характеры или качества, входящие в определение понятия. Каждый из этих множителей может быть приписан заданному субъекту, точно так же и каждый, полученный за счёт дальнейших комбинаций простых множителей. Лейбниц также приводит формулу, согласно которой может быть найдено общее число всех возможных предикатов.

Если субъект S составлен из простых понятий, число которых равно к, то ему можно приписывать как предикат любую возможную комбинацию из к элементов, то есть 2к - 1 предикатов. Обратная задача - найти все возможные субъекты для данного предиката - сводится к следующему: необходимо найти все комбинации, содержащиеся в некой данной комбинации. Эти инвариантные элементы в искомых комбинациях и есть то, что Лейбниц называет caput. Если к - число простых понятий, из которых составлен данный предикат, n - число всех имеющихся простых понятий, то число искомых комбинаций, могущих выступать в качестве субъектов, равно 2n-к - 1.

Впоследствии Лейбниц признавал, что математическая ценность его юношеского трактата о комбинаторике невелика. Однако следует учитывать, что это сочинение занимает важнейшее место в формировании философских воззрений Лейбница, которые он развивал и разрабатывал в течение всей жизни. Здесь можно найти первые подступы к учению об универсальной характеристике, или логической алгебре, которая предполагает замещение понятий комбинациями знаков, и, соответственно, предложений - отношениями между этими знаками. Сведя суждение к исчислению, Лейбниц полагает найденный метод универсальным и безошибочным, позволяющим одновременно и устанавливать истинность уже известных высказываний, и производить новые.

«В философии, - писал Лейбниц в третьем письме герцогу Брауншвейгскому и Люнебургскому Иоганну Фридриху, - я нашёл средство осуществить во всех науках то, что Картезий и прочие сделали посредством алгебры и анализа в арифметике и геометрии, с помощью искусства комбинаторики, каковое Луллий и Кирхер хотя и усердно взлелеяли, но далеко не уяснили самую его глубинную сущность. С его помощью пролагается путь к тому, чтобы все сложные понятия всего мира свести к нескольким простым как их алфавиту, а затем из этого комбинаторного алфавита со временем вновь найти все вещи, вкупе с их теоремами, и все, что в отношении их еще может быть изобретено, при помощи правильного метода. Каковое изобретение, поскольку оно, если того Бог пожелает, будет осуществлено, почитается мною за наиважнейшее как мать всех изобретений, хотя в настоящее время оно таким и не кажется. Я уже нашёл с его помощью всё, что должно быть исчислено, и надеюсь дать ход также и многому другому»

Осминская Н. А., Математика и метафизика в «Диссертации о комбинаторном искусстве» Г.В. Лейбница, журнал «Вопросы философии», 2011 г., N 2, с.153-154 и 156-157.

Источник — портал VIKENT.RU

Если публикация Вас заинтересовала - поставьте лайк или напишите об этом комментарий внизу страницы.

+ Ваши дополнительные возможности:

27 сентября 2020 (воскресенье) вечером в 19:59 (мск) пройдёт плановая и бесплатная для всех желающих онлайн-консультация VIKENT.RU № 230:

Создание результативной – а не как обычно – творческой / креативной команды.

Ваша свободная регистрация и вопросы: https://vikent.ru/w0/

#командамечты #творческаякоманда #креативнаякоманда

Изображения в статье

1. Лейбниц, дискурс о метафизике / Public Domain
2. Image by klimkin from Pixabay
3. Image by Bruno /Germany from Pixabay
4. Image by StartupStockPhotos from Pixabay
5. Image from Pixabay

Источник: zen.yandex.ru

Комментарии: