Теорема о запрете клонирования

Возможность копирования информации интуитивно кажется нам очевидной. В конечном счете вся эволюция человечества сопряжена с передачей знаний от одного поколения к другому. Сначала только устно, затем с помощью письменности. Книги копировались с незапамятных времен. С развитием цифровых технологий операция копирования данных стала просто повседневностью. Цифровых копий можно получить сколь угодно много и без потери качества.

Странно, но на фундаментальном уровне природа работает совершенно не так. Оказывается, квантовую информацию (квантовые биты, кубиты) в общем случае скопировать невозможно. Существует теорема, гласящая, что нельзя получить копию даже одного единственного кубита. Она известна как теорема о запрете клонирования.

Такое яркое название принадлежит Джону Уилеру, автору термина «черная дыра» и еще много чего. Как гласит история, Вуттерс и Зурек хотели опубликовать статью под более техническим названием и в менее престижном журнале. Но Уилер сказал им: назовите статью «A single quantum cannot be cloned» и пошлите в Nature.

Теорема доказывается от противного буквально парой строк. Пусть у нас имеется кубит в базисном состоянии |0>. Из предыдущих видео мы знаем, что все изменения, которые могут произойти с кубитом описываются действием на него унитарного оператора эволюции.

Предположим, что существует такой унитарный оператор K, который осуществляет клонирование кубита. То есть можно построить такой квантовый гейт, который на выходе дает две копии исходного кубита. Действие оператора К на базисный вектор |0> по определению должно дать двухкубитное состояние |00>. То же самое должно произойти если подействовать оператором К на базисный вектор |1>.

Но ведь наиболее общий вектор состояния кубита описывается квантовой суперпозицией базисных векторов |0> и |1>.

Подействуем оператором копирования К на такой кубит. По определению мы должны получить две копии кубита. Раскрыв скобки получим выражение для этого двухкубитного состояния в виде суперпозиции базисных векторов.

Но с другой стороны операторы эволюции — это линейные операторы. То есть мы можем сначала раскрыть скобки и подействовать на базисные векторы. Оператор К сделает копии векторов |0> и |1>.

Но мы получили совершенно другое выражение, чем строчкой выше. Данное противоречие говорит нам, что оператор К не существует. Принцип суперпозиции совместно с принципом унитарной эволюции запрещают существование таких операторов. Следовательно нельзя создать гейт, который будет копировать произвольно взятый кубит.

Это однако не означает, что нельзя создать множество кубит в одном и том же квантовом состоянии. Например, просто пропуская электроны через прибор Штерна-Герлаха мы можем отфильтровать те из них у которых спин оказался вверх относительно оси прибора. Все они будут находиться в одинаковом квантовом состоянии.

Теорема говорит, что нельзя построить прибор, копирующий произвольно взятый кубит. Можно построить прибор, копирующий конкретное квантовое состояние, но нельзя создать универсальный квантовый ксерокс.

Долгое время казалось, что из-за теоремы о запрете клонирования, квантовая телепортация тоже невозможна. Однако спустя почти 70 лет после рождения квантовой механики был найден алгоритм квантовой телепортации. Но чтобы соблюсти теорему, исходный телепортируемый объект неизбежно разрушается. Двух копий все равно создать не получится.

Комментарии: