Разбор вступительного экзамена в ШАД Яндекса для трека «Исследования в Data Science»

В школе анализа данных Яндекса помимо направления по классическому машинному обучению и алгоритмам так же имеется относительно новое направление для поступления. Оно рассчитано на разработчиков кто уже имеет опыт промышленного программирования, а так же для тех, кто занимается научной деятельностью в области компьютерных наук и имеет какие либо публикации. Помимо вступительных испытаний так же уделяется внимание индустриальному опыту в целом, научным публикациям (если таковые имеются), а так же проводится стандартное очное собеседование где надо будет показать свой скилл в написании кода и умение решать алгоритмы.

Разбор заданий. В данном треке учитывается хорошее умение решать математические, комбинаторные и логические задачи из разных областей.

Пройдемся по ним ниже:

1. Найдите наибольшее и наименьшее значение, если они существуют, а так же множество всех значений, которые может принимать функция вида: F(x) = (x^4 — 6x? + 5) / | x — 1|
2. Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
3. Докажите что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
4. В ряд выложены 5 красных, 5 синих и 5 зеленых шаров. С какой вероятностью никакие два синих шара не лежат рядом?
5. Докажите что для монотонно возрастающей функции вида F(x), уравнение x = F(F(x)) и x = F(x) равносильные (каждый корень одного имеет корень другого)
6. Доказать необходимые условия того, что матрица является скаляром и имеет частный случай единичной матрицы

Решения:

1. Находим первую производную: f ' = 4 * x? — 12 * x / x — x^4 — 6 * x? + 5 / x?.

Приравниваем к нулю: 3 * x^4 — 6*x? — 5 / x? = 0. Получаем x1 = -1.623 и x2 = 1.623. Вычисляем значения функции f(-1.623) = 1.382 и f(1.623) = -3.382

Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: f '' = 6 * x^4 + 10 / x?.

Вычисляем: f''(-1.623) = -12.076<0 - значит точка x = -1.623 точка максимума функции. f''(1.623) = 12.076>0 - значит точка x = 1.623 точка минимума функции.

Множество всех значений функции интерпретируется следующим образом:

[F ? ?: F > — 8]

2. У данного человека среди остальных пяти есть либо не менее трёх знакомых, либо не менее трёх незнакомых ему. Разберём, например, первый случай. Среди этих трёх людей есть либо двое знакомых – тогда они вместе с выбранным нами исходно человеком образуют нужную тройку, либо они все трое попарно незнакомы.

3. Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.

4. Классическая задача на комбинаторику. Сначала разложим красные и зелёные шары. Для этого надо выбрать пять мест из десяти для красных шаров. Между ними (а также слева и справа) остаётся 11 мест, куда можно ставить синие шары. Из этих мест надо выбрать пять.

По формуле сочетания С(n,k) = n!/(n ? k)!/k! получаем C(n,k) = C(11,5) C(10,5)

5. Если f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x) = x и f(f(x)) = x эквивалентны. Для доказательство эквивалентности достаточно условие f(x) = x и f(f(x)) = x ? 0. В таком случае получаем f(x) =1 + f(f(x)), где lim x ? 0 f(f(x) = 0. Это условие равносильно условию f(x) = (1 + f(x))f(x) = f(x) + (x)f(x)

6. Берем матрицу и проверяем ее на условие. Скалярной матрицей называется вид матрицы где на главной диагонали элементы равны. Верно утверждение, что скалярная матрица — это скаляр умноженный на единичную матрицу: a * E(n) = A(n). Следует утверждение что A(n, -1) = 1/a * E(n), где E(n) — единичная матрица.

В статье были разобраны базовые задачи данного трека. В зависимости от года проведения набора в ШАД, задачи изменяются и варьируются в количестве, но не меняют смысл.

Источник: m.vk.com

Комментарии: