Математика Винберга и его теория гиперболических групп отражений.

Американский математик Alex Kontorovich написал «A giant in discrete subgroups of Lie groups, representation theory, etc, he [Vinberg] was an ICM speaker ...», на официальной страничке Springer Винберга назвали лидером в теории групп Ли, многие его просто считали алгебраистом. Так кем же он был в профессиональном смысле? В действительности, на нашей планете лишь единицы в состоянии почти полностью осознать и описать необъятные научные интересы Э.Б., относящиеся на самом деле к самым разным разделам математики: геометрии, алгебре, теории чисел, дискретным подгруппам групп Ли, группам Ли и алгебраическим группам, теории представлений, теории инвариантов, алгебрам Ли, симметрическим пространствам, алгебраической геометрии и т.д. Винберг был автором как полноценных фундаментальных теорий, так и просто классических результатов или ярких наблюдений. Он действительно был математическим гигантом, о науке, которую он знал можно написать десятки толстенных книг, и очень многие его знания ушли вместе с ним, так и оставшись неопубликованными и даже нерасказанными (хотя бы потому, что если он считал что-то не очень заслуживающим отдельной публикации, то он об этом не писал; хотя современное поколение математиков подает такие результаты в крутые журналы).

Немного статистики: по версии MathSciNet Э.Б. Винберг имеет total citation index > 3000 на (примерно) 120-130 публикаций, индекс Хирша примерно 30-31 (на Винберга ссылались почти 2000 авторов — для математической науки это просто фантастика!). Эти числа, наверное, входят в топ-10 или даже топ-5 лучших показателей среди математиков, работающих в России. Число 3000 — это больше, чем (или примерно равно) суммарный индекс ряда математических кафедр и лабораторий. Насколько я понимаю, кандидатская диссертация (1962 г.) Винберга по сути отражена в его статье «Теория однородных выпуклых конусов», 1963г, на которую на данный момент >160 цитирований. (Хороший вопрос к нынешним аспирантам: делаете ли вы в рамках своей диссертации что-то настолько фундаментальное, что к концу вашей жизни будет процитировано 160 раз? Стоит задуматься.. Лично в моем случае это возможно, только если я сам налеплю 160 статеек, где в каждой буду цитировать свою диссертацию.)

Но остановимся мы на самой любимой теории Э.Б., теории дискретных групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского, так как все остальное я совсем не понимаю. Замечательный текст об этих группах для N+1 уже успели написать В.О. Бугаенко (ученик Э.Б.) и В.В. Прасолов, а еще более подробные и доступные (научно-популярные) статьи были у самого Винберга и его учеников в выпуске 2003 г. в Мат.Просв., посвященном группам отражений. Я постараюсь слишком сильно их не повторять, и рассказать о группах отражений в более широком масштабе, почему они интересны с точки зрения «большой» математики.

Группы отражений проходят практически через всю научную жизнь Винберга: пожалуй, не найти ни одной пятилетки, начиная с 1967г., не содержащей ни одной публикации, доклада, брошюры или книги, которые связаны с отражениями. Более того, отражения связаны с математикой Э.Б. в гораздо большей степени, чем просто как многогранники в пространстве Лобачевского. Взять хотя бы системы простых корней, камеры Вейля и схемы Дынкина (это один из учителей Э.Б.), описывающие алгебры Ли; группы автоморфизмов К3 поверхностей; или же совсем недавние работы Винберга по комплексным отражениям, автоморфным формам, и т.д.

Гиперболические группы отражений оказываются на самом деле областью, являющейся пересечением геометрии, алгебры, комбинаторики, теории чисел и т.д. Они являются очень важной частью более общей теории дискретных подгрупп групп Ли, в частности, в теории гиперболических решеток (то есть дискретных подгрупп Г < PO(n,1) = Isom H^n группы Ли движений пространства Лобачевского H^n с факторпространством H^n/Г конечного объема), как арифметических и неарифметических. Очень многие математики, занимающиеся гиперболическими решетками, постоянно обращаются за примерами именно к гиперболическим группам отражений, поскольку элегантная и эффективная теория Винберга позволяет без особого труда эти примеры находить и эксплуатировать в своих целях.

Кому-то может показаться, что изучение групп отражений, да еще и в «воображаемой» (как будто несуществующей) геометрии Лобачевского — это такая математическая забава и вещь в себе. Но это совсем не так: существуют всего 3 классических геометрии (имею в виду пространства постоянной кривизны, т.е. односвязные однородные римановы многообразия с постоянной кривизной во всех двумерных направлениях) — это пространство Евклида E^n нулевой кривизны, единичная n-мерная сфера S^n в E^{n+1} с кривизной 1 и гиперболическое пространство Лобачевского H^n кривизны -1 в своей стандартной модели. Еще совсем недавно физики и другие ученые гадали, является ли наша Вселенная (space-time) многообразием положительной или отрицательной кривизны? Является ли это многообразие компактным, конечного объема или вообще нет? Вот и группы отражений в нашей жизни живут вполне естественным образом, являясь подгруппами группы преобразований Лоренца. Еще 3-4 месяца назад известный французский физик Тибо Дамур (Thibault Damour, IHES) увлеченно рассказывал мне, зачем ему понадобилась в библиотеке книга Винберга про геометрию и дискретные группы движений пространств постоянной кривизны: оказывается, гиперболические группы отражений весьма пригодились ему для изучения космологических бильярдов! Я уже и не говорю про известную всем связь с кристаллами!

У пространства Лобачевского есть несколько изометричных моделей, и в разных ситуациях бывает удобно пользоваться разными: есть две модели в шаре, есть модель на гиперболоиде, а есть в полупространстве. Обо всем этом написано уже немало книг и статей.

Ну и как я говорил выше, группы отражений в пространствах Лобачевского имеют важные приложения для других областей фундаментальной математики: дискретные группы, алгебраическая геометрия, теория чисел и автоморфных форм, геометрия и топология. Даже непосредственно самими группами отражений за эти 60 лет успело позаниматься немалое число математиков со всего мира. И десятки или даже сотни авторов использовали теорию Винберга для своих задач.

Некоторые результаты в этой области, включая теоремы Винберга, используют очень красивые комбинаторные методы: анализ графов/диаграмм Кокстера и раскраски графов и самих многогранников. В частности, кристаллографическая группа отражений дает нам (иногда говорят рефлективный) гиперболический орбифолд конечного объема. Благодаря лемме Сельберга всякий такой орбифолд накрывается гиперболическим многообразием. Фактически это означает, что существует такая раскраска, что при склеивании по граням получается хорошее многообразие. А доказательство теоремы Винберга про отсутствие компактных многогранников Кокстера представляет из себя доказательства отсутствия раскраски/дизайна диаграмм Кокстера.

Гиперболическим группам отражений и связанным с ними вопросам посвящено немало докладов на Международных конгрессах математиков, как минимум сходу вспоминаются такие: Vinberg ICM 1983, Nikulin ICM 1986, Agol ICM 2006, Belolipetsky ICM 2014, и наверняка были и другие.

Вот такую уникальную и очень богатую интересными структурами и приложениями красивую теорию открыл Винберг. Именно открыл, а не создал, как он говорил в своем недавнем интервью Европейскому Матобществу. Возможно, именно через нее Э.Б. особенно отчетливо ощущал симметричность и совершенство мира, о чем он тоже неоднократно упоминал в беседах с учениками и в других интервью.

В наше время, когда многие сидят в узко-специализированных областях и занимаются какой-то технической нудятиной, изобретая велосипед, потеря таких масштабных и фундаментальных личностей как Винберг не может восприниматься иначе как закат эпохи. Нужны новые идеи и открытия, и новые поколения математиков.

Комментарии: