Изомонодромные деформации

Математик Владимир Побережный об уравнениях Шлезингера, интегрируемости и полиномиальных функциях

Что такое изомонодромные деформации? Это деформации, сохраняющие монодромию. Мы деформируем дифференциальные уравнения или системы дифференциальных уравнений. А что такое их монодромия? Это характеристика, описывающая ветвление решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. С каждым уравнением, особенно с линейным, связано понятие асимптотики. Есть особые точки уравнения, полюса коэффициентов, где происходит «сложная жизнь». И есть гладкие точки, где в каких-то координатах горизонтально, гладко и не очень интересно. В окрестностях особых точек решение может расти полиномиально, экспоненциально или с какой-то конкретной скоростью. Это и есть асимптотики. Что такое ветвление? Ветвление — это очень важная характеристика для линейных уравнений, для них она особенно хорошо определена. Линейные уравнения отличаются тем, что множество решений для них устроено линейно, то есть это векторные пространства с определенными базисами, по которым можно конечным образом представлять все возможные решения.

Поскольку наши уравнения комплексные, то при аналитическом продолжении по путям, окружающим нашу особую точку, наше решение может меняться. У нас было одно решение, мы продолжили его непрерывно гладким образом, и если уравнение с хорошими коэффициентами довольно разумного общего класса (формально говоря, мероморфными), то решение опять перейдет в решение, но необязательно в исходное. В окрестности точки было решение уравнения, мы проделали с ним некоторое преобразование, и оно превратилось в другое решение уравнения. Здесь был применен оператор монодромии, или с нашим решением произошло ветвление. С каждым уравнением, линейным или комплексным, можно связать действие этих «петель», которые представляют обходы вокруг особых точек: как они меняют наши решения, как они действуют в конечномерном пространстве решений. Если есть уравнение, то посчитать его монодромию мы не можем. Можно сказать что-то приблизительно, написать какие-то выражения, но, строго говоря, прямо вычислить или найти ее нельзя. То есть по уравнению найти монодромию довольно сложно, почти безнадежно, по монодромии найти уравнение, у которого ветвление было бы именно таким, совсем нет шансов.

Это немного связано с изомонодромными деформациями. Но, допустим, такая задача: у нас есть уравнение с монодромией, которую мы не знаем; давайте теперь будем деформировать уравнение, то есть как-то менять входящие в него параметры. Мы будем хотеть, чтобы уравнение оставалось в таком же классе, который мы рассматриваем (например, с полюсами первого порядка или решениями, растущими полиномиально). Давайте менять параметры так, чтобы монодромия при этом сохранялась. Казалось бы, эта задача должна быть сложной: если мы не умеем ее считать, то сохранять ее совсем непонятно как. Но, оказывается, эта задача проще. Посчитать монодромию мы не можем, но проверить, что она сохраняется, мы можем. Такая деятельность была особенно актуальна и популярна в начале ХХ века, в частности относительно формулировки проблемы Римана — Гильберта. Проблема Римана — Гильберта просит построить систему первого порядка в фуксовых дифференциальных уравнениях (то есть в уравнениях с коэффициентами, имеющими полюса только первого порядка) с особенностями в заданном наборе точек и с заданным ветвлением монодромии. Примерно тогда же возникла задача: давайте теперь немного двигать точки. Как надо менять коэффициент и систему, чтобы монодромия сохранилась? Тогда же было найдено решение этой задачи.

Оказалось, что это некоторый набор дифференциальных уравнений, но уже в частных производных. Это куда более сложный объект, чем обыкновенные дифференциальные уравнения, даже комплексные. Это называется уравнения Шлезингера, или шлезингерский анзац. Было получено общее сложное нелинейное уравнение, а Шлезингер предложил некоторую подстановку, то есть искать решение в некотором специальном виде. Как оказалось, для довольно разумного общего случая, а именно для неприводимых представлений, других деформаций и не бывает. Итак, у нас есть общее уравнение, есть шлезингерская подстановка. Оказалось, после этой подстановки уравнение принимает совсем хороший вид, оно становится так называемым уравнением Шлезингера. Оно просто идеально, оно в частных производных. Во-первых, это система уравнений, оно многомерное. Переменных уравнений там намного больше, чем переменных. Такие, как правило, не должны решаться даже локально. Она решается локально. Само уравнение имеет очень хорошую геометрию: оно гамильтоново, переписывается разным образом, имеет многочисленные смыслы, много разных интерпретаций. Такая задача была решена в начале века и отложена на довольно долгий срок, до конца 1970-х годов, когда внезапно оказалось, что эти обратные задачи монодромии (а задача изомонодромной деформации также относится к обратным задачам монодромии) имеют приложение во вполне современной математической физике, в частности в квантовой теории поля.

Японские математики Джимбо и Мива выпустили ряд работ, в которых показывалось, как эти задачи построения уравнений с заданными ветвлениями из специального класса асимптотик имеют приложение в актуальных и современных физических задачах, к ним приводятся, в них переформулируются. Их интерес и деятельность начались с того, что они решали проблему Римана, то есть им нужно было построить уравнение с заданными ветвлениями и асимптотиками. Но по их построению решение автоматически оказалось изомонодромным, то есть не зависело от положения точек, иными словами, их можно было двигать, и все при этом работало. Это был конец 1970-х годов, а примерно в то же время (может, чуть позже, в 1980 году) французский математик Бернар Мальгранж выпустил работу, в которой показал, что уравнение Шлезингера обладает свойством Пенлеве. Что это значит? Дифференциальные уравнения в частных производных устроены сложнее, чем обычные, и, как правило, не решаются. Есть теорема существования, условия интегрируемости. Это локальные результаты. Если выполняются некоторые условия совместности, то в окрестности любого начального положения есть решение с любыми начальными данными. Это похоже на дифференциальные уравнения, но локально.

Оказалось, нелинейный мир устроен так, что, продолжая это решение аналитически (как мы делали с линейными уравнениями, чтобы изучать ветвления), мы можем получать все что угодно: страшные особенности, страшные перемешивания. Внезапно оказалось, что решения уравнений Шлезингера ведут себя фантастически хорошо. У них есть свои особенности, но эти особенности очень простые, они полиномиальные. Это был неожиданный и фантастический результат, способ его получения был довольно сложным. Мальгранж сейчас говорит, что он смотрит на свою работу с ужасом и не понимает, как он смог это сделать. Она действительно непростая, но симпатичная: геометрический смысл, подход и взгляд. Мало того, что это уравнение оказалось интегрируемым, оно еще и очень хорошее. Соответственно, этим стали пользоваться в физических задачах. Оказалось, что такой важный и популярный раздел современной математической физики, как интегрируемые системы, интегрируемые задачи, — это очень расплывчатое и нечеткое понятие. Вообще интегрируемость означает хоть в каком-то смысле регулярность, а не хаотичность. С нелинейными уравнениями в общем случае ничего такого гарантировать нельзя. Если вы каким-то чудом нашли решения, про какие-то близкие решения или про его поведение вдали, как правило, сказать нельзя ничего.

Есть много формальных определений интегрируемости: интегрируемость по Фробениусу, по Лагра, по Лиувиллю и так далее. Они частные. Но есть общая область, называемая интегрируемыми системами. Довольно известный курс обзорных лекций по интегрируемым системам — Хитчин, Сегал, Уорд — начинается с эпиграфа из Армстронга: когда у него спросили, что такое джаз, он сказал, что если вам нужно задавать такой вопрос, то вы никогда не поймете. Примерно это же они хотели сказать про интегрируемые системы. Это хорошее уравнение оказалось универсальным. Практически любая интегрируемая задача всегда сводится к тому, что мы каким-либо образом пытаемся изомонодромно продеформировать что-то. Задачи, в которых нет ни систем, ни монодромии. Из школьной или, может быть, из университетской физики мы представляем, что интегрируемость связана с существованием интегралов, законов сохранения. Как мы знаем, центр тяжести системы при отсутствии внешних тел движется равномерно прямолинейно. Закон сохранения момента, импульса, заряда и так далее. Оказывается, что все эти законы сохранения в более сложных ситуациях всегда переформулируются как сохранение монодромии в какой-то задаче изомонодромной деформации.

Казалось бы, монодромия — нечеткая и непонятная характеристика, набор каких-то ветвлений какой-то задачи. Действительно, оказалось, что каждой такой хоть в каком-то смысле разумной, решаемой и исследуемой задачей можно подобрать эквивалентную формулировку, в которой условие изомонодромности будет давать именно эту исходную задачу. Это одно замечание. Второе замечание тоже очень важное, оно устроено так: если мы рассматриваем линейные системы уравнений с тремя особыми точками 2x2, то там все жестко, решений никаких нет, все тривиально, все делается в рамках классической науки. Если мы добавляем всего одну точку, то есть 4 точки и уравнение 2x2, то уравнение Шлезингера превращается в шестое уравнение Пенлеве. Мы добавили всего одну точку, минимально усложнили уравнение, и это оказывается едва ли не самым сложным уравнением во всей науке. Оно не решается, является категорически трансцендентным, но оно все равно очень хорошее. Оно не решается явно, но мы знаем его свойства: свойство Пенлеве, гамильтоновость, особые точки, редукции. Исследование уравнений Пенлеве — это сейчас очень популярная деятельность, причем во многом даже больше у физиков, чем у математиков, потому что практически все известные задачи (это эмпирическая формулировка, не может быть такого строгого утверждения), которые мы хоть как-то умеем решать, мы умеем переформулировать к изомонодромным деформациям и уравнениям Пенлеве. Все известные, популярные и обсуждаемые задачи в каком-то смысле редуцируются к уравнениям вроде уравнений Пенлеве. Это универсальный объект, эти уравнения сложные, но хорошие, интересные. Они описывают буквально все на свете.

Деятельность устроена так: у нас есть уравнение в частных производных, оно сложное. Но нас интересуют простые вещи: интегрируемость, поиск решения. Эквивалентная задача — это простой объект линейной системы (необязательно первого порядка). У нас есть сложный объект с простыми вопросами, и есть простой объект со сложными вопросами. Люди пытаются перепрыгивать туда-сюда: здесь мы немного продвинулись, переформулировали туда, здесь продвинулись, перешли туда. Такая интересная деятельность. Системы уравнений в частных производных — это сложный объект. Вопросам их интегрирования отвечают простые линейные системы, но со сложными свойствами. Переход часто позволяет достигнуть какого-то прогресса, это вполне актуальная сейчас деятельность. Поэтому изомонодромные деформации, сами по себе интересные для математики, являются популярным видом и для современной физики.

Источник: postnauka.ru

Комментарии: