В поисках бесконечного

В джайнистском трактате Сурья-праджнапти-сутра, относимом к 400-м годам до н. э., все величины разделены на три категории и три подкатегории — перечислимые, неперечислимые и бесконечные, это разделение было по-видимому первой попыткой не просто различить виды бесконечного, но и измерить соотношение между ними.

У древнегреческих философов бесконечное обычно фигурирует как нечто неоформленное, несовершенное, близкое к хаосу или даже с ним отождествляемое, так, в пифагорейском списке противоположностей бесконечность отнесена к стороне зла. Среди древнегреческих философов, позитивно использующих категорию бесконечного выделяются Анаксимандр, вводящий космологическое начало как бесконечное вместилище — апейрон и атомисты (Демокрит, Левкипп), согласно которым существует бесконечное число миров, образованных из бесконечного числа атомов, содержащихся в бесконечном пустом пространстве.

В трудах схоластов XIII—XIV веков (Уильяма из Шервуда, Хейтсбери, Григория из Римини) явно обозначается различие между понятиями потенциальной и актуальной бесконечности, но сохраняется отношение к актуально бесконечному как божественному, либо постулируется полное отрицание актуальной бесконечности. Однако уже Оккам обращает внимание на возможность признания существования континуума и его частей как актуально существующих при сохранении за ними свойств бесконечного — возможности бесконечного деления на составляющие части, а Суайнсхед в подтверждение своим рассуждениям о бесконечной делимости континуума математически доказывает утверждение о сумме бесконечного числового ряда.

В XV веке Николай Кузанский создаёт учение об «абсолютном максимуме», который он считает бесконечной мерой всех конечных вещей, тем самым давая представление, совершенно не совпадающее с античным: всё конечное рассматривается как ограничение актуально существующей божественной бесконечности (possest), в противоположность господствовавшему представлению о существовании конечных вещей и потенциальности бесконечного.

Представления Николая Кузанского развиты у Спинозы, согласно которому вещи получают своё бытие внутри бесконечной божественной субстанции посредством самоопределения через отрицание. От этих представлений идёт и признание в XVI—XVII веках идеи о бесконечности Вселенной, которые утвердились благодаря гелиоцентрической системе Коперника, просветительской работе Бруно, исследованиям Кеплера и Галилея. Кеплер и Галилей начинают использовать методы бесконечного в математической практике.

Декарт невозможность познания Бога из бытия сотворённого им мира аргументирует несоизмеримостью конечного и актуально бесконечного, непостижимость которого, по его представлению, заключена уже в самом формальном определении бесконечности. Соответственно, подлинно бесконечным Декарт признаёт лишь всемогущего Бога, а такие проявления бесконечности, как «бесконечность человеческой воли», считает проявлениями божественного образа в существе человека.

Наиболее последовательным сторонником существования актуальной бесконечности был Лейбниц, в «Монадологии» он последовательно проводит идею бесконечности монад в универсуме, в каждой его части, выраженной в форме материи, обуславливая устойчивость этих частей законом предопределённой гармонии и особыми принципами подчинения монад, при этом рассматривая и монады, в свою очередь, как бесконечный в пространстве и времени универсум. Эти представления Лейбница нашли отражение в его фундаментальных трудах по исчислению бесконечно малых, представляя инфинитезимали как монады. Созданное Ньютоном и Лейбницем дифференциальное исчисление, явно актуализировавшее инфинитезимали, вызвало широкую и длительную дискуссию среди философов XVII—XVIII веков, наиболее последовательным противником методов, использующих бесконечно малые величины был Беркли, эти дискуссии получили отражение в культуре в фабулах «Путешествий Гулливера» Свифта и «Микромегаса» Вольтера.

Кант в «Критике чистого разума» отказывает в возможности рассмотрения как бесконечных чисел, так и бесконечных величин; на основе анализа антиномий чистого разума Кант характеризует мир ни как конечный, ни как бесконечный, а как «неопределённый».

Наиболее значительным трудом XIX века о бесконечности, в большей степени философским, чем математическим стала монография Больцано «Парадоксы бесконечного», в ней систематически изучаются бесконечные множества чисел, приводятся логические и математические доводы в пользу рассмотрения актуальной бесконечности и предлагается инструментарий для исследования родов бесконечности с использованием понятия взаимно-однозначного соответствия.

На идейной основе работы Больцано и создана в конце XIX века в трудах Кантора со значительным участием Дедекинда теория множеств (сам термин «множество» — в качестве обозначения актуально бесконечного объекта впервые использован у Больцано).

Гегель развивает идею теснейшей связи, почти тождества, бесконечного и абсолютного, особо рассматривает «дурную бесконечность» как отрицание конечного и как диалектическое преодоление антагонизма вводит «истинную бесконечность»; истинно бесконечен по Гегелю только Абсолютный дух.

«Бесконечное в его простом понятии можно, прежде всего, рассматривать как новую дефиницию абсолютного…» Гегель Г. В. Ф.

Символ бесконечности впервые появился в опубликованном в 1655 году трактате английского математика Джона Валлиса «О конических сечениях» (De sectionibus conicis). Предполагается, что символ имеет более древнее происхождение, и связан с уроборосом — змеёй, кусающей свой хвост.

Леонард Эйлер использовал особый, открытый вариант символа бесконечности для того, чтобы обозначить «абсолютную бесконечность» (absolutus infinitus).

Комментарии: