Матрицы. От китайской алгебры до квантовой механики. Ч.1

Часть I

Все науки начинаются с довольно простых понятий, как правило, понятных на интуитивном уровне. Математика не исключение. Число, предел, матрицы и так далее. Остановимся на последнем понятии. Матрицы – чрезвычайно удобный и мощный инструмент для формализации описания и решения многих задач, как чисто математических, так и моделирующих реальные процессы.

К сожалению, в большинстве курсов не заостряется внимание на том, чем именно являются матрицы и откуда они появились. Нередко можно встретить определение вроде: «Матрица – это таблица чисел». Очевидно, что такое определение хоть и отчасти верно, но совсем не отражает содержание этого математического элемента.

Впервые упоминания о матрицах встречаются еще в древнем Китае. Китайские математики очень серьезно продвинулись в алгебре. Уже в XIII-XIV веках был окончательно разработан метод численного решения уравнений высших степеней, который позднее стал известен как метод Горднера. Создали этот метод китайские алгебраисты Цинь Цзю-Шао, Ли Е, Чжу Ши-Цзе и другие.

Главным сочинением того времени считается «Математика в девяти книгах» - сочинение, весьма насыщенное продвинутыми алгебраическими методами. Наиболее значительным из них является метод решения систем линейных уравнений, описанный в восьмой книге.

Интересным фактом является то, что китайцы не использовали символику или специализированную запись математических алгоритмов. Вместо символики использовалась специализированная терминология. Методы описывались словами, составлялись определенные словесные правила, по которым производились вычисления с конкретными числами на счетной доске.

В качестве примера, рассмотрим первую задачу из восьмой книги:

«Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу [зерна]. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу [зерна]. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого получили 26 доу [зерна]. Спрашивается, сколько [зерна] получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожаев?»

Не составит труда записать систему уравнений для этой задачи:

А теперь посмотрим на инструкцию по ее решению:

«Расположи 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего уро­жая, 1 сноп плохого урожая, составляющие [их] 39 доу [зерна] с правой стороны. [Расположи] посередине и слева [количества снопов] урожаев в таком же порядке, как и с правой стороны»

И что же мы получим, выполнив такую инструкцию? Почти привычную расширенную (то есть включающую в себя кроме коэффициентов свободные члены – в данном случае правые части уравнений) матрицу!

Фактически, китайский алгоритм решения системы идентичен методу Гаусса. Точнее, одному из его вариантов – схеме умножения и вычитания. Рассмотрим китайский метод в современной записи:

1. Заданная произвольная система приводится к каноническому виду;
2. Из коэффициентов этой системы Aij, Bi составляется расши­ренная матрица, первая строка которой (но китайская, т. е. по- нашему правый столбец) соответствует 1-му уравнению, 2-я строка (предпоследний столбец) — второму и далее аналогично;
3. Таблица приводится к треугольному виду при помощи пре­образований, являющихся по своему характеру элементарными, оставляющими систему эквивалентной данной. В результате в ле­вом верхнем углу над диагональю образуются нули;
4. Из полученной треугольной таблицы находится решение системы по рекуррентным формулам последовательно от послед­него неизвестного к первому;

Стоит заметить, что изложенная запись является современной интерпретацией китайского правила, предназначенного не для буквенных уравнений, а для набора чисел на счетной доске. Рассмотрим, как происходил расчет в мастерской древнекитайского математика.

В действительности, первым действием было составление расширенной матрицы, тогда как приведение к каноническому виду было скорее подготовительной работой, проводимой путем специального рассуждения «на ходу». Именно коэффициенты матрицы выкладывались палочками на счетной доске.

Любое правило системы «фан-чэн» начиналось с фразы «жу фан чэн» предположительно обозначавшей выстраивание заданных чисел в направлениях фан в определенном порядке, чтобы получилась таблица чэн.

Как поясняет в записях 3 века н.э. Лю Хуэй: «Пусть в каждом столбце коэффициенты. Число вещей опреде­ляет чэн: если две вещи, то чэн [состоит] из двух [столбцов], если три вещи, то чэн из трех [столбцов]; столбцы примыкают друг к другу рядами, поэтому и называется фан-чэн».

Проблема китайских вычислителей состояла в том, что при выкладывании палочек на доску, все числа, будь то коэффициенты или же свободные члены, становились просто числами и их было необходимо как-то обозначить для понимания, что чем является. Именно поэтому и использовалась жесткая привязка к местоположению на доске уже в момент выкладывания палочек.

Возвращаясь к задаче, мы видим, что в матрице имеется три направления или столбца фан, следующие из того, что в условии даны «три вещи». Так же, имеется четыре строки, первые из трех соответствующие разным сортам урожая, а четвертая отводится для меры зерна, эквивалентного собранным снопам. То есть столбцам ставятся в соответствие уравнения, а строкам неизвестные. Так, коэффициент a11 обозначается как ю хэн шан хэ – верхний урожай в правом столбце. Аналогично, a22 чжун хэн чжун хэ – средний урожай в среднем столбце.

Такая терминология использовалась для матриц порядка 2 и 3, для матриц более высокого порядка (то есть для большего числа уравнений с большим числом неизвестных) терминология неизвестна. В 13 веке Ян Хуэй, разбираясь с методами древних математиков использовал общую циклическую терминологию, где столбцы «нумеровались».

Метод построения таблицы был универсален для любого порядка. Это подтверждает тот факт, что для первой, иллюстративной задачи была выбрана достаточно универсальная как пример система из трех уравнений, тогда как в других задачах порядок получаемой матрицы был от 2 до 5. То есть, после усвоения алгоритма получения канонической системы и записи матрицы предлагалось его расширить на более сложные системы.

Отсутствие символики в достаточной мере компенсировалось наличием специального технического языка в применении к общей схеме. Общность метода достигалась работой с отвлеченными числами, независимо от условия задачи, хоть для описания существующего общего метода и не хватало средств.

Важный момент, касающийся 3 и 4 пункта этого алгоритма, состоит в том, что матрица в китайском методе является расширенной (позволю себе напомнить, что это означает наличие в ней не только коэффициентов, но и свободных членов). Эта особенность не позволяла перейти к решению систем уравнений через определители. Такой переход был осуществлен лишь в 17 веке японским математиком Секи Кова.

Элементарные преобразования в пункте 3 производятся только над столбцами, что исключает равноправие строк и столбцов, необходимое для работы с определителями, хотя попытки уравнять строки и столбцы предпринимались, но безуспешно. Современная теория определителей была разработана лишь в середине 19 столетия и стала развиваться в связи с развитием других областей математики. Задачи же, стоявшие перед китайцами, носили достаточно простой и сугубо прикладной характер и этого метода им было вполне достаточно.

Особенностью данного алгоритма является отсутствие возможности перемещения столбцов, что приводит к определенным неудобствам. В дальнейшем, при распространении бумаги и переходе на нее при вычислениях, этот метод был усовершенствован, но рассмотрение этого, равно как и разбор способа решения неопределенных систем, хоть и является интересной темой, но выходит за рамки данного обзора.

Напоследок приведу изображение счетных палочек древних математиков из Китая:

Источник: m.vk.com

Комментарии: