Колчаны и их представления

Колчан - это ориентированный граф; представление колчана - это сопоставление каждой его вершине некоторого (обычно конечномерного) векторного пространства над полем K, а каждой стрелке - линейного отображения между соответствующими пространствами. Морфизмами представлений называют наборы отображений между пространствами в каждой вершине, делающие все возникающие диаграммы коммутативными. Основная задача теории представлений колчанов - это классификация представлений данного колчана с точностью до изоморфизма. Нетрудно видеть, что она естественным образом обобщает широкое семейство классификационных задач линейной алгебры: линейные отображения, линейные операторы, наборы подпространств - всё это допускает переформулировку в колчанных терминах.

Теория представлений колчанов обнаруживает тесные связи с многими разделами алгебры: теорией представлений конечномерных алгебр (для которой колчаны в каком-то смысле являются фундаментальным кирпичиком), алгебраической геометрией, теорией групп, порождённых отражениями. Она также оказалась удобным полигоном для тестирования методов теории инвариантов. При этом зачастую один и тот же, казалось бы, чисто колчанной природы объект может быть проинтерпретирован по-разному в разных теориях и даёт нетривиальные расширения и обобщения в них.

В своём докладе я планирую рассказать о нескольких основных результатах про представления колчанов и дать некоторое представление о перспективах. Я расскажу о том, для каких колчанов задача классификации в принципе разрешима и для таковых кратко сформулирую соответствующие теоремы. В частности, мы обсудим замечательный результат о том, что число параметров неразложимых представлений не зависит от ориентации рёбер колчана, и для ациклического случая попробуем разобраться, почему так происходит. Далее я планирую остановиться на связи с представлениями конечномерных ассоциативных алгебр (где, между прочим, окажется, что каждая "достаточно хорошая" алгебра изоморфна факторалгебре алгебры путей некоторого колчана). Вооружившись алгебраической терминологией, мы попробуем понять, как можно в некотором смысле классифицировать не только сами представления, но и морфизмы между ними для достаточно простых колчанов. Если останется время, я коротко расскажу о том, как можно бороться с "дикими" колчанами с помощью теории инвариантов.

Комментарии: