История отрицательных чисел

Этoт рассказ о том, как отрицательные числа были введены в европейскую математику (опускаю непонятную мне историю китайской и индийской математики). Меня всегда удивляла эта глава истории математики и абстрактного мышления вообще. То, что мы сейчас принимаем как данность, потому что нас так научили в школе, было предметом споров и отрицания умнейшими людьми совсем недавно.

16 век

• Карданo (Cardano 1501–1576), который изобрел комплексные числа, https://brilliant.org/wiki/cardano–method/ называл положительные числа цифрами (действительными) и отрицательные числа нумерацией (вымышленными). Он не допускал отрицательных коэффициентов в квадратных уравнениях, поскольку он интерпретировал их как разбиение квадратов на прямоугольники меньшего размера, и отрицательные коэффициенты означали бы, что у этих прямоугольников должны быть стороны отрицательной длины.

17 век

• Декарт (Descartes) отверг отрицательные корни уравнений как «ложные», поскольку они представляли числа меньшие, чем ничто. Уравнение окружности в его (декартовых) координатах изображалась как четверть окружности.

• Паскаль (Pascal) написал, что вычитание 4 из 0 есть полная чушь.

• Валлис (Wallis) принял отрицательные числа, но утверждал, что они «больше бесконечности, но не меньше нуля».

• Антуан Арно (Antoine Arnauld) возражал против отрицательных чисел, используя пропорции; сказать, что отношение –1 к 1 такое же, как отношение 1 к –1, абсурдно, поскольку «как может быть отношение меньшего к большему равно отношению к большего от меньшему?»

18 век

• Лейбниц (Leibniz) принял возражение Арно относительно отрицательных чисел, но сказал, что, поскольку форма таких пропорций верна, с ними все же можно работать. Он был первым, кто стал работать с этими числами.

• Ньютон видимо обходился без отрицательных чисел.

• Maclaurin В качестве примеров отрицательных чисел рассмотрел избыток и дефицит; задолженность и задолженность; линию справа и слева от нуля; и возвышение над горизонтом и положение под ним.

• Эйлер (Euler) использовал долг, чтобы оправдать, что отрицательное число умноженное на положительное дает отрицательное.

• Мазерес и Френд (Maseres and Frend) в 1796 написали книгу Principles of Algebra об алгебре и комбинаторике, отказываясь от использования отрицательных и мнимых чисел, как несуществующих в природе.

19 век

• Гамильтон (Hamilton) в 1837 году работал над алгеброй отрицательных чисел, которые «меньше, чем ничто», используя идею «чистого времени», странным образом полученную из «Критики чистого разума» Канта. Эта попытка помогла ему в разработке кватернионов.

Как видите, 300 лет, от Кардано до Гамильтона, идея отрицательных чисел обкатывалась с разных сторон. В это время комплексные числа уже использовались, но только как средство вычисления. В конце концов было принято, что числа не должны отображать действительность, но они живут своей жизнью. После этого появилась чистая математика: абстрактная алгебра, теория представлений, топология, и прочее. Видимо та же идея абстрагирования от интуиции привела к квантовой теории и к теории относительности. Не она ли также привела к абстрактному искусству и к другим особенностям мышления 20–21 веков.

Наконец, задача: Используя логику Эйлера (отрицательное–положительное = долг–доход) или похожую, попробуйте показать что произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

Источник: brilliant.org

Комментарии: