Теория множеств

До середины 17 века математики в целом занимались непонятно чем и в целом науку никто не двигал. Затем появился Декарт, который задал вектор будущего развития математики – аналитическая математика, из которой в конце вылез анализ Ньютона и Лейбница, алгебра и геометрия Гаусса и Эйлера.

И так продолжалось до начала 19 века, когда все стали задумываться над вопросами оснований математики. Во второй половине века появился Кантор, который при помощи Дедекинда разработал теорию множеств и в принципе до сих пор математика является в основном теоретико-множественной, то есть большинство разделов так или иначе на теорию множеств опираются.

Центральным предметом теории множеств являются множества, которые принято считать неопределяемыми. Как вы все уже знаете из школы, множества можно объединять и пересекать, брать разность и дополнение. До этих пор все вроде бы норм, но дальше начинаются странности. Потому что хочется как-то измерять множества, и если с конечными вроде все понятно, то как измерить величину (она называется мощностью) бесконечного множества? Для этого придуман очень хороший объект - отображения между множествами или функции (хотя лично мне привычнее, что функции - это отображения между числовыми множествами).

Поскольку, как известно, только ситхи возводят все в абсолют, мощность бесконечных множеств - вещь относительная, то есть грубо говоря, математики договорились, какие множества эталонные и с ними и сравнивают все остальные множества. Два самых главных множества - множество натуральных чисел - счетное множество - и множество вещественных чисел - континуальное множество. Можно достаточно просто показать, что между ними нельзя построить отображение, чтобы каждому элементу одного множества сопоставился единственный элемент другого множества.

Несмотря на свою удобность и универсальность, множества были приняты с недоверием, ведь в них частенько возникают парадоксы, такие, как, например, парадокс брадобрея:
на острове живут только мужчины и каждому нужно брить бороду. На острове есть один брадобрей, который бреет только тех, кто не бреется сам. Вопрос: бреет ли он самого себя?
более сложная формулировка этого парадокса известна в математике под названием парадокс Рассела (нет, не чайник Рассела).

Несмотря на кажущуюся простоту данного софизма, оно апеллирует к понятию "множество всех множеств". И, собственно, Бертран Рассел предложил достаточно просто решить проблему таких парадоксов: запретить рассматривать такие общие объекты, как множество всех множеств.

Затем появилась новая болезнь: аксиома выбора. Эта хрень является с одной стороны интуитивно неплохим утверждением, с другой стороны, из нее следуют охереть какие ужасные результаты. Рассел пытался и в эту проблему воткнуть затычку, но у него не вышло, все равно из такого говна ничего хорошего не выйдет.

Тем не менее, при помощи аксиомы выбора доказываются некоторые важные утверждения. Например, ей эквивалентна теорема Цермело: Всякое множество можно упорядочить так, что в любом его подмножестве есть минимальный элемент. (упорядочить - значит для каждых двух элементов сказать, какой из них больше, какой из них меньше, при этом чтобы не возникало противоречий типа а < b, b < c, c < a или a < a). Данное утверждение кажется безобидным и вполне естственным, ведь так? А из него можно вывести, например, парадокс Банаха – Тарского о том, что шар можно разрезать на такие части, что из них можно сложить два таких же шара. А вот это уже совсем непоправимая жесть.

Несмотря на эти минусы, 90% классической математики так или иначе опираются на теорию множеств. Без нее невозможен современный анализ, топология, алгебра, диффуры, хотя в принципе без нее может обойтись геометрия и вычислительная математика, да и теория вероятности не сильно много потеряет, если выкинуть множества.

Источник: retell.in

Комментарии: