Теоремы Гёделя

"Двадцатичетырехлетний Курт Гёдель одним ударом вбил кол в самое сердце формализма".

— Марио Ливио, "Был ли Бог математиком?", 2013 г.

Сегодня мы поговорим об одном из самых сложных периодов математики. Вопрос оснований математики является одним из самых фундаментальных и важных в философии математики. В конце XIX – начале XX в. математики всех народов разделились на два лагеря. Первый лагерь – лагерь формалистов, считавших, что математика – это игра, задаваемая правилами, придуманными людьми и не имеющая никакого отношения к физической реальности, то есть сторонники аксиоматического подхода. Этот лагерь зародился в работах де Моргана, Буля и Фреге, а затем развивался Расселом, Пеано и Уайтхедом. Стоит отметить, что не все из этих математиков были строгими приверженцами формализма, а просто занимались им как одним из разделов математики.

Второй лагерь – лагерь идеалистов, которые все еще верили в то, что математика отвечает физической реальности, но существует в своем абстрактном мире и люди ее открывают. Когда Георгом Кантором была придумана теория множеств, идеалисты стали полагать, что теория множеств – это основание математики, которое суть то же самое, что и философская логика, а значит, их точка зрения верна.

Наивная теория множеств Георга Кантора была продолжена Цермело и Френкелем, которые разработали строгую аксиоматику. Однако было два утверждения, подобных пятому постулату, которые нельзя было ни доказать, ни опровергнуть в этой системе аксиом, причем можно было эти утверждения брать и не брать в аксиоматику так, чтобы получались непротиворечивые модели теории множеств. То есть разразился кризис, подобный неевклидову с его пятым постулатом. Это играло на руку формалистам и сильно подвергало сомнению точку зрения иделаистов. А когда Давид Гильберт создал метматематику вообще создалось впечатление, что формалисты победили. И тут, подобно греческому deus ex machina является Курт Гёдель с его двумя теоремами о неполноте.

Первая теорема Гёделя гласит, что в любой непротиворечивой системе аксиом, из которой можно при помощи методов формализма Гильберта вывести определенный объем арифметики, существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Вторая теорема Гёделя гласит, что в любой системе аксиом с вышеперечисленными свойствами невозможно доказать непротиворечивость не выходя за рамки этой системы.

БУМ!

Понадобилось всего две теоремы, чтобы формалисты потерпели фиаско. После этого Гильберт признал свое поражение и принял, что система формализма нежизнеспособна. Доказательство теорем непростое, так что мы его опустим. Несмотря на то, что историческо-философское значение этой теоремы крайне велико, она не является самой центральной теоремой в человеческом познании. Через некоторое время после выхода данной теоремы многие люди стали говорить о том, что человек ограничен в своем познании некоторыми рамками и не может знать всего. Эту теорему бросились использовать чуть ли не как доказательство существования Бога. Вот, что я скажу на этот счет: не торопитесь делать поспешные выводы. Теорема дает лишь ограничение на познание наук при помощи аксиоматики, которую придумывает человек и использование логики при доказательстве.

Таким образом, Гёдель доказал, что как бы сильно вы не заморачивались с придумываем системы аксиом, всегда найдется утверждение, теорема или факт, который вы не сможете ни доказать ни опровергнуть, если будете ограничиваться формализмом и стандартной логикой размышлений.

Источник: retell.in

Комментарии: