Математические методы классической механики В.И. Арнольда [1] // Тюрин Николай // ЛШСМ

Математические методы классической механики В. И. Арнольда

Николай Тюрин

Если представлять себе выдающиеся произведения научной литературы как горные маршруты, уводящие в небо, то наш небольшой курс — не более чем прогулка с видом на далекие белоснежные вершины. Мы собираемся просмотреть видимые начала одного из красивейших маршрутов, уводящего далеко за облака, к высоким перевалам и вершинам классической механики. Очень скоро вчерашние школьники сами выйдут на этот маршрут, а пока… давайте немного потренируемся.

1. Инфинитезимальная геометрия конфигурационного пространства

Необходимым на маршруте будет знание о том, откуда берутся векторные поля и дифференциальные формы. И поскольку мы готовимся к маршруту, проложенному В.И. Арнольдом, то в понимании этих геометрических объектов (а также в том, что такое дифференциальное уравнение) мы будем следовать ему.

2. От второго закона Ньютона к Гамильтоновой механике

Аристотель считал, что движение описывается дифференциальным уравнением первого порядка, возможно именно поэтому древние греки, прекрасно разбиравшиеся в конических сечениях, описывали движение небесных тел с помощью эпициклов. Ньютон описал движение дифференциальным уравнением второго порядка; понижая порядок и переходя от конфигурационного пространства к фазовому, можно представить все в простой и красивой форме.

3. Скобки Пуассона. Интегрируемые системы

Как нас учили на уроках физики в школе, решать задачи удобно через законы сохранения. В самом общем смысле этот принцип может быть сформулирован так: если физическая величина (= некоторая функция на фазовом пространстве) коммутирует с гамильтонианом (= выделенная функция на фазовом пространстве, определяющая движение системы) относительно кососимметрической операции (называемой скобками Пуассона), то эта величина является инвариантом движения и называется интегралом движения.

4. Классические механические системы на компактных фазовых пространствах

Главное отличие подхода В.И. Арнольда к классической механике по сравнению со «стандартными» физическими курсами в том, что он приложим к любому фазовому пространству, в том числе к случаю компактного фазового пространства (некоторые даже приписывают Арнольду обобщение классической механики на компактный случай, хотя очевидно что Дирак вполне разбирался в этом вопросе, вводя свои системы со связями). Этот путь выводит к началу другого маршруту на соседнюю, еще не пройденную вершину — симплектическую топологию.

Тюрин Николай Андреевич

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна

20-25 июля 2018 г.

#математика #механика #геометрия #Владимир_Арнольд #Николай_Тюрин #ЛШСМ

Комментарии: