Что, если бы библейские персонажи знали теорию игр и могли принять другие решения? Неизбежно ли было изгнание из рая, так ли хорош в своем деле Змей-искуситель и мог ли царь Соломон ошибаться? Специалист по экспериментальной экономике, профессор Российской экономической школы Андрей Бремзен в своей лекции «Теория игр и Ветхий завет» провел анализ поведения библейских персонажей. T&P публикуют конспект лекции.
Теория игр — это раздел математики, который описывает различные виды стратегического взаимодействия, в которых участвует больше одного игрока или агента. Слово «люди» не используется, так как в роли игрока может выступать группа людей, искусственный интеллект или Бог, как мы увидим дальше.
Главное условие для анализа с помощью теории игр — утверждение, что все участники игры руководствуются рациональными мотивами и стремятся к выигрышу. Покупка товара в магазине не является игрой, поскольку против покупателя никто не играет, но вот покупка на аукционе — это типичный пример подобной игры, где против покупателя играет один и более покупателей. Следующее ключевое условие — это платеж, результат игры для игрока, причем результат не обязательно выражается в деньгах или в
Почему в качестве примера был выбран «Ветхий завет» — эта книга весьма распространена в мире и большинство ее сюжетов хорошо знакомо многим. Примеры взяты из книги американского специалиста по теории игр и политической теории Стивена Брамса «Библейские игры», в ней он применяет теорию игр к анализу мотивов и поведения библейских персонажей. Следует отметить, что разбор ситуации производится строго в рамках теории игр и не затрагивает религиозные, теологические или философские аспекты.
Изгнание из рая
Бог создал человека со свободной волей и запретил ему вкушать от древа познания, а человек все равно вкусил. Не лучше ли было человеку избежать искушения? И не лучше ли бы было Богу не давать человеку свободной воли, раз уж тот все равно собрался нарушить запрет? Мы не знаем точно, что было на уме у Всевышнего, но можем сделать правдоподобное предположение. В рамках теории игр мы должны считать ветхозаветного бога стратегическим игроком, а это значит, что у него была какая-то цель. В теории игр все игроки имеют стратегическую цель, руководствуются рациональными мотивами и не делают ошибок.
Следующие условия, которые мы вводим — у нас два игрока: Бог и Адам + Ева. Это не значит, что у Адама и Евы одинаковые цели, но в данной ситуации нам будет удобнее считать их одним игроком. Понятно, что в Раю не было денег, да и сами платежи явно не измеряются в
Если игроков двое, то обычно схему взаимодействия представляют в виде матрицы. По горизонтали «стратегии» первого игрока — Бога, по вертикали — «стратегии» Адама и Евы. В клеточках пересечения «стратегий» — «платежи», первая цифра в скобках — «платежи» Бога, вторая — Адама и Евы.
Схема 1
Перед Богом стоит задача — запретить ли употребление яблока или нет. Иногда лучше запретить, а иногда лучше не запрещать, надеясь, что люди поступят правильно исходя из
Но если «гражданам Рая» неприятно по
Это типичный пример игры с определенной структурой, в которой сумма платежей человека и Бога одинакова и равна 5. Такой тип игры называется антагонистической игрой или «игрой с нулевой суммой», и это был первый тип игр, который начала разбирать теория игр. Говоря об этой теории, нельзя не рассказать о фильме «Игры разума» с Расселом Кроу в роли одного из известнейших американских математиков Джона Нэша, который ввел центральное понятие теории игры — «равновесие Нэша». Равновесие Нэша — это набор стратегий игроков, при которой ни одному из них не выгодно отклоняться от принятых правил, если другие не отклоняются.
Посмотрим на нашу схему. Левая верхняя ячейка — Бог устанавливает запреты, Адам и Ева слушаются, могут ли они отклоняться? Могут, и получают 3 балла. Левая нижняя ячейка — тут получает больше Бог, Адам и Ева могли бы отклониться и получить 4 балла. Правая нижняя — здесь все понятно. Правая верхняя ячейка является равновесной — Бог может отклониться и получить больше. Эта ячейка и является «равновесием Нэша».
Но мы специально составили матрицу так, чтобы все получилось и сошлось, а теперь подвергнем критике все то, что сейчас было произнесено. Странно рассуждать «соблюдают ли Адам и Ева ограничения», если этих ограничений нет. Эта матрица не является точной моделью для текста «Ветхого завета», той части, которую мы пытаемся анализировать.
В тексте Бог принимает решение установить запреты, а уж потом люди принимают решение нарушать запреты или нет. Вот это уже называется «динамической игрой». Для динамических игр, где игроки делают ходы последовательно, записи делают в виде «дерева». Ситуация изменилась — теперь игроки не принимают решения одновременно. Вначале Бог принимает решение, потом Адам и Ева принимают решения. Платежи остались такие же, какие были в первом примере, это игра также с полной информацией, у игроков нет неопределенности относительно того, что все платежи будут совершены. Типичный пример динамической игры с полной информацией — это шахматы.
Схема 2
Смотрим, что выберут Адам и Ева — они выберут правое ребро правой части, потому что это дает им 4 балла. Что выберут Адам и Ева в левой части? Они также выберут правое ребро. И в левой и в правой части Адам и Ева выберут правое ребро. Для Бога это означает только одно: что бы он ни решил, люди все равно его ослушаются и вкусят плодов с древа познания.
Змей-искуситель
Следующая игра, которую мы разберем, связанна с этими самыми фруктами. И у нас появляется новый игрок — Змей. Как и у прочих игроков, у него есть выбор — искушать Еву или нет. Очевидно, что для Змея наилучший исход — Ева самостоятельно съедает яблоко, а Змей ничего не делает. Для Евы же самый худший вариант — съесть яблоко без искушения. Наилучший вариант для Евы — не подвергаться искушению и не есть.
Эта игра уже не антагонистическая. Здесь появляется доминирующая стратегия: если я змей, то мне нет необходимости делать предположения про Еву и не нужно знать ее платежи. Для змея лучше не искушать Еву, если она собралась съесть яблоко. Если же Ева не собирается есть яблоко, то тоже лучше не искушать, искушение стоит «очков». В любом случае змею выгоднее не искушать — это доминирующая стратегия, если игра статическая. Для Евы, если он знает, что ее не собираются искушать, доминирующей стратегией будет первая строчка.
Рассмотрим теперь эту игру как динамическую. С рациональной точки зрения Еве в левой части выгоднее съесть яблоко. А с точки зрения всей картины, Еве выгоднее есть, если искушают, и не есть, если не искушают. В правой части Еве выгоднее не есть, поэтому Змей будет выбирать, и платежи змея намного лучше в левой ветке. Змей искушает, Ева поддается — и это ровно то, что описано в «Ветхом завете». Тут важно отметить, почему с точки зрения теории игры съесть лучше, чем не есть — искушение увеличивает платеж. Змей явно предлагает что-то стоящее, ведь если он будет предлагать что-то плохое, то он так себе искуситель. А если вы смогли отказаться от искушения, то змей плохо поработал.
Соломоново решение
Попробуем теперь решить обратную задачу. Если на древовидной схеме потихоньку стирать ребра от наихудшего варианта к наилучшему, то можно построить единственную выигрышную стратегию. И обратная задача в этом случае становится такой — мы хотим придумать игру, в которой собираемся проследить стратегии участников с самого начала. Не найти равновесие в заданной игре, а построить игру, в которой равновесием будет заданный исход. И классическим примером является так называемая задача царя Соломона.
Возможно, что кто-то не читал, поэтому приведем текст по Третьей книге царств (3 Царства 3:16-27): «Тогда пришли две женщины блудницы к царю и стали пред ним. И сказала одна женщина: о, господин мой! я и эта женщина живем в одном доме; и я родила при ней в этом доме; на третий день после того, как я родила, родила и эта женщина; и были мы вместе, и в доме никого постороннего с нами не было; только мы две были в доме; и умер сын этой женщины ночью, ибо она заспала его; и встала она ночью, и взяла сына моего от меня, когда я, раба твоя, спала, и положила его к своей груди, а своего мертвого сына положила к моей груди; утром я встала, чтобы покормить сына моего, и вот, он был мертвый; а когда я всмотрелась в него утром, то это был не мой сын, которого я родила. И сказала другая женщина: нет, мой сын живой, а твой сын мертвый. А та говорила ей: нет, твой сын мертвый, а мой живой. И говорили они так пред царем. И сказал царь: эта говорит: мой сын живой, а твой сын мертвый; а та говорит: нет, твой сын мертвый, а мой сын живой. И сказал царь: подайте мне меч. И принесли меч к царю. И сказал царь: рассеките живое дитя надвое и отдайте половину одной и половину другой. И отвечала та женщина, которой сын был живой, царю, ибо взволновалась вся внутренность ее от жалости к сыну своему: о, господин мой! отдайте ей этого ребенка живого и не умерщвляйте его. А другая говорила: пусть же не будет ни мне, ни тебе, рубите. И отвечал царь и сказал: отдайте этой живое дитя, и не умерщвляйте его: она — его мать».
В библейские времена не было ДНК-анализа, поэтому нам нужно придумать такую игру, чтобы в результате нее стало понятно, кто из двух женщин — настоящая мать. Каждая из женщин знает, кто из них кто, но я — дизайнер механизма — не знаю, поэтому я придумываю игру с такими платежами в равновесии, что у меня получается то, что надо.
Соломон не знал, чей это ребенок, но знал точно, что женщины знают, чей. Поэтому он придумал игру с такими платежами в равновесии, что у него получился искомый результат. Из истории видно, что «фиктивная» мать вела себя нерационально. Самой выигрышной стратегией поведения было сделать то же самое, что сделала настоящая мать — точно так же завопить «отдайте ей этого ребенка живого», и тогда бы игра Соломона не сработала бы. Игра Соломона строилась на предположении, что настоящая мать ценит своего ребенка гораздо больше. Прошло 3000 лет, и американские экономисты Леонид Гурвиц, Эрик Маскин и Роджер Майерсон получили Нобелевскую премию по экономике за создание теории «основ оптимальных механизмов», которая в том числе строилась на гипотезе, что нет такой простой игры, которая гарантировала бы возвращение ребенка настоящей матери. С точки зрения экономистов, наиболее эффективным способом было бы устроить аукцион — настоящая мать бы обязательно выиграла, ведь, как мы знаем, она ценит своего ребенка больше.