МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ

Математические способности — сложное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разные его стороны и развившееся в процессе математической деятельности. Эти свойства ума тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, отдельные проявления которой условно называются компонентами математических способностей. Таких компонент разными авторами выделены десятки и даже сотни (логичность, лаконизм, гибкость, точность, критичность мышления, чёткая расчлененность хода рассуждения, способность к обобщениям, способность к переключению с прямого на обратный ход мысли, доказательность и так далее). Отличительных качеств математического мышления выделено столь много, что всякая специфика этого вида мышления теряется.

Наиболее приемлемой и выделяющей является структура математических способностей, предложенная В. А. Крутецким. Общая схема этой структуры исходит из трёх основных этапов решения задачи, которые соответствуют этапам восприятия информации, переработки информации (мышлению) и запоминания информации.

1. На этапе восприятия задачи проявляется способность к формализованному восприятию, схватыванию формальной структры задачи.

2. На этапе непосредственного решения задачи проявляется несколько интеллектуальных качеств:

А. Способность к быстрому и широкому обобщению. Способные школьники, например, без затруднений переходят к решению задач в буквенной форме. Развитие способности к обобщению идёт по линии сокращения количества специальных однотипных упражнений.

Б. Способность к свёртыванию процесса математического рассуждения. При этом часто опускаются отдельные звенья рассуждений, которые могут быть легко восстановлены, например, по требованию учителя. Наиболее ярко это качество проявляется у старшеклассников и студентов.

В. Гибкость мыслительных процессов. Начиная с 10–11 лет способные учащиеся уже демонстрируют известную гибкость в ходе поисков других решений. Развитие гибкости мышления идёт по пути всё более полного освобождения от сковывающего влияния предшествующего хода мысли.

Г. Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решения. Наиболее способные учащиеся решают задачу сразу более простым и экономным способом, ясно видя при этом и другие способы.

Д. Способность к быстрой и свободной перестройке направления мыслительного процесса, переключение с прямого на обратный ход мысли. Способные ученики, устанавливая связи в одном направлении, довольно легко переходят к осознанию связей в обратном направлении. Это, в частности, проявляется в том, что после решения основной (прямой) задачи решение обратной задачи у способных школьников трудностей не вызывает. В то время как у менее способных наблюдается тормозящее влияние первой задачи на решение второй.

Последний этап решения задачи — это этап запоминания. Математическая память весьма специфична. Так, академик А. Н. Колмогоров указывал, что многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью на цифры, числа и формулы. Математическая память — это обобщённая память на математические отношения, схемы рассуждений, методы решения задач и так далее.

В. А. Крутецкий выделяет ещё один общий синтетический компонент математических способностей — математическую направленность ума. Эта способность выражается в стремлении к математизации явлений окружающего мира, постоянной установке обращать внимание на математическую сторону явлений, подмечать пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости.

Ядром математических способностей является математическое мышление. Специфика математического мышления проявляется в том, что для него характерно известное многообразие видов, типов мышления. Существование различных типов мышления есть следствие не только индивидуальных и типовых психологических различий между людьми, но и следствие существенных различий между областями математики. В одной области наиболее плодотворными оказываются алгоритмические способности, в другой — комбинаторные, в третьей — геометрические.

Многие исследователи выделяют абстрактно-аналитический, образно-геометрический и гармонический типы математического мышления. Эти типы характеризуются разным сочетанием словесно-логического и наглядно-образного компонентов.

У представителей абстрактно-аналитического типа преобладает словесно-логическое мышление, они легко оперируют отвлечёнными схемами, очень успешно решают задачи, выраженные в абстрактной форме. Образно-геометрический тип отличается наличием яркого геометрического воображения или «геометрической интуиции», то есть способности извлекать необходимую информацию из заданной конфигурации путем её анализа, включая поиск идеи решения задачи с помощью рисунков, моделей фигур или мысленного представления; способностью к переводу на язык геометрии той или иной задачи и обращение к наглядным образам в процессе решения негеометрических задач. Гармонический тип характеризуется наличием и того и другого компонентов.

Внутри абстрактно-аналитического компонента математических способностей можно выделить несколько составляющих. Так, Э. Ж. Гингулис помимо образно-геометрического компонента рассматривает алгоритмический и логический компоненты. В ряде работ рассматриваются, кроме того, функциональное, визуальное и пространственное мышление. Функциональное мышление характеризуется осознанием динамики, изменчивости, взаимосвязи и взаимозависимости математических объектов и соотношений. Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны быть выполнены над самими объектами. Визуальное мышление определяется как мышление зрительными образами.

Целый ряд исследователей выделяют как отдельный вид комбинаторные способности (комбинаторное мышление, комбинаторный стиль мышления). На особое значение комбинаторных операций, как операций второй ступени, возникающих вместе с рефлексивным мышлением, указывал Ж. Пиаже. Возросшее внимание к комбинаторному мышлению носит закономерный характер. В разные периоды развития математики разные типы мышления играли различную роль. В современный период, когда развились новые разделы математики, в частности компьютерная математика, возросла роль алгоритмического и комбинаторного типов мышления.

Развитие математического мышления — это прежде всего развитие различных типов мышления. Как установлено рядом авторов, в младшем и в подростковом возрасте наиболее эффективным способом развития математического мышления является решение школьниками системы некоторых, специальным образом подобранных задач, в первую очередь нестандартных (поисковых). Математические задачи позволяют быстро и эффективно влиять как на образную, интуитивную составляющую мышления, так и на логическую и алгоритмическую его компоненту, совершенствовать мыслительные операции.

Решение задач является основным видом математической деятельности и поэтому в этой деятельности проявляются специфические математические схемы (методы, приёмы) мышления. Нестандартные математические задачи в наименьшей степени связаны с конкретным математическим материалом и требуют не столько знания каких-то отдельных математических фактов и частных методов, сколько универсальных приёмов математического мышления. Поэтому при решении именно таких задач происходит не только развитие математического мышления, но наиболее ярко проявляется и его сформированность.

Разными авторами предлагаются различные классификации нестандартных развивающих задач. Наиболее известными типами таких задач являются логические, геометрические, комбинаторные, на переливание и взвешивание, арифметические и так далее. В частности, М. Гарднер в своей книге все задачи разделяет на 6 типов: комбинаторные, геометрические, логические, процедурные (алгоритмические), арифметические и словесные (лингвистические). При этом данные категории задач не взаимоисключающие, они неизбежно перекрываются. Задачи последних двух типов имеют специфическое содержание и могут быть отнесены к комбинаторным и логическим задачам. Как наиболее универсальные, будем различать типы логических, алгоритмических, комбинаторных и геометрических задач. Развивающий характер таких задач установлен многими педагогами-практиками экспериментальным путём. Но на этом большинство математиков-исследователей останавливаются и дальше занимаются лишь подбором таких задач.

При рассмотрении вопроса о математических способностях весьма важным является рассмотрение тех видов математических структур, которые в первую очередь являются средством развития и диагностики математических способностей. Для математических способностей определяющее значение имеют когнитивные структуры, которые направляют движения в исследовательскую активность, способствуют образованию новых понятийных структур, обеспечивают линию качественных изменений в функционировании интеллекта.

Такие структуры представляют собой определённые качества математического мышления, которые являются в первую очередь средствами, методами познания. Для таких структур больше подходит термин «схемы», предложенный У. Найссером. Поэтому такие структуры будем называть схемами математического мышления.

Рассмотрим основные виды таких схем математического мышления. Схемы (структуры) математического мышления отличаются от других математических когнитивных структур (алгебраических, порядковых, топологических) тем, что представляют собой, прежде всего, не системы хранения знаний, а средства познания. Значение каждого из отмеченных видов структур для развития математического мышления, математических способностей уже давно было замечено из практики преподавания педагогами-математиками.

Под логическими схемами мышления (или логическим мышлением) будем понимать такие когнитивные структуры, такие средства познания, которые позволяют делать из верных посылок (суждений, утверждений) правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов. Логические схемы проявляются в чёткой расчленённости и последовательности рассуждений, в использовании в рассуждениях законов формальной логики, различных логических таблиц, конструировании целого из заданных частей с заданными свойствами, использовании приёма доказательства «от противного», обращении к контрпримеру и другим приёмам доказательства.

Многочисленные исследования показали, что кратковременное обучение логическим понятиям не даёт заметного эффекта. Такого эффекта можно достичь, если обучение логическим понятиям проводить в течение продолжительного времени, когда эти понятия органически вплетены в курс математики.

Под алгоритмическими схемами мышления (алгоритмическим мышлением) мы будем понимать такие когнитивные структуры, которые позволяют не только применять известные алгоритмы и методы, но и спланировать некоторые действия, приводящие к желаемому результату, то есть построить некий алгоритм, и довести до конца намеченный план решения задачи, выполняя конечную цепочку элементарных преобразований.

Как отмечал А. А. Столяр, формулировка и применение алгоритмов связаны с умением четко формулировать правила и строго придерживаться их. Это умение — одно из качеств математического мышления — важно для каждого человека. Вслед за А. А. Столяром отнесём к алгоритмическому мышлению, прежде всего, умение формулировать и строить алгоритмы. Как следует из результатов ряда исследований, алгоритмические схемы мышления не устойчивы во времени, требуют тренировки, поэтому единовременное их формирование не эффективно.

Понятие комбинаторных схем не имеет чётко очерченных границ. Комбинаторная математика в современном понимании рассматривает задачи на существование, эффективное построение, перечисление и оптимизацию объектов, зависящих от сравнительно большого числа дискретных переменных. В последнее время возможности перебора объектов резко повысились в связи с развитием компьютерной техники, что обусловило рост комбинаторных исследований в различных областях математики.

Комбинаторное мышление характеризуется антиустановочностью; гибкостью (сменой внутреннего плана действий как в процессе поиска решения задачи, так и в процессе её решения); организацией целенаправленного перебора определённым образом ограниченного круга возможностей. Весь опыт преподавания в школе элементов комбинаторики свидетельствует о необходимости их постепенного и систематического привнесения, прежде всего через задачи. Комбинаторные схемы мышления используются при решении не только задач по комбинаторике, но и многих других математических задач. К комбинаторным схемам может быть отнесён и такой часто используемый в математике приём, как принцип Дирихле (хотя он может быть отнесён и к логическим схемам, поскольку в нём используется приём доказательства от противного).

Между тремя рассмотренными видами математического мышления соотношение примерно такое же, как и между тремя видами теоретического мышления, выделенными В. В. Давыдовым (анализом, внутренним планом действий и рефлексией). Уровень осуществления анализа представляет собой первый уровень теоретического мышления; второй уровень — это уровень осуществления планирования, он предполагает наличие анализа; третий уровень — это уровень осуществления рефлексии, он предполагает наличие также анализа и планирования.

Нечто подобное наблюдается и в соотношении между логическими, алгоритмическими и комбинаторными схемами. Так, для построения алгоритма необходимо прежде всего вычленить все частные случаи из некоторого общего положения, а такую способность мы относим к логическим схемам мышления, то есть для формирования алгоритмических схем необходимо уже владеть некоторыми логическими схемами. А для организации перебора (одной из главных комбинаторных задач) необходимо построить некоторый алгоритм, то есть для формирования комбинаторных схем необходимо наличие некоторых логических и алгоритмических схем.

Некоторым особняком стоят образно-геометрические схемы мышления. Они играют незаменимую роль в геометрическом воображении, геометрической интуиции. Эти схемы позволяют наглядно интерпретировать абстрактные математические объекты, выражения и отношения, оперировать наглядными схемами, образами и представлениями. Большинство математиков мыслит не формулами, а образами. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. Да, они не строгие, но они помогают думать. Геометрия является носителем собственного метода познания мира. Геометрическое мышление в своей основе является разновидностью образного, чувственного мышления.

Высшей ступенью развития геометрического воображения является пространственное мышление, его следует рассматривать как разновидность образного мышления.

Из деятельностной теории вытекает, что для развития математического мышления приоритет должна получить не передача готовых знаний, а формирование именно схем (средств, методов) математического мышления, математической деятельности. Из всех математических структур для развития математических способностей особое значение имеют логические, алгоритмические, комбинаторные, образно-геометрические, представляющие собой определённые качества математического мышления.

Источник: m.vk.com

Комментарии: