Человек, который придумал Пи

Человек, который придумал Пи

Постоянство отношения длины любой окружности к ее диаметру известно очень давно, с тех пор, как у человека появилось желание измерять; однако обозначение этого отношения, известное сегодня как ? (пи) датируется началом XVIII века. До этого данное отношение жутким образом называлось на средневековой латыни “quantitas in quam cum multiflicetur diameter, proveniet circumferencia (количество, которое при умножении на него диаметра, дает окружность).

Широко распространено мнение, что ввел во всеобщее употребление символ ? великий математик швейцарского происхождения Леонард Эйлер (1707–83). На самом деле, этот символ был впервые использован в печати в современном смысле в 1706 году, за год до рождения Эйлера, учителем математики, самоучкой, Уильямом Джонсоном (1675–1749) в его второй книге Synopsis Palmariorum Matheseos (“Новое введение в математику’’), написанной на основе его конспектов.

До появления символа ? для обозначения данного отношения также использовались приближения, такие как 22/7 и 355/113, что могло создать впечатление, что оно является рациональным числом. Джонс считал, хотя и не доказывал этого, что ? - иррациональное число: бесконечная, не периодическая последовательность цифр, которая никогда не может полностью быть выражена числом. В Synopsis он пишет: “…Точное отношение между диаметром и окружностью не может быть выражено в цифрах…’’. Следовательно, символ должен был представлять идеал, к которому можно приблизиться, но которого никогда нельзя достигнуть. Этому условию, по мнению Джонса, может удовлетворить только чисто платонический символ.

До этого символ ? был использован в другом смысле математиком Уильямом Отредом (ок. 1575–1660) в книге Clavis Mathematicae (впервые опубликованной в 1631 году). Отред использовал ? для обозначения длины данной окружности, так что его ? изменялось в зависимости от диаметра окружности, а не представляло ту постоянную, которую мы имеем в виду сегодня. Длина окружности была известна тогда как “periphery’’, отсюда греческий эквивалент “?’’ буквы “p’’. Использование Джонсом ? имело важный философский смысл, этот шаг Отреду не удалось сделать, хотя он ввел другие математические символы, такие как “::’’ для обозначения пропорции и “х’’—для обозначения умножения.

После смерти Отреда в 1660 г. некоторые книги и документы из его замечательной математической библиотеки были приобретены математиком Джоном Коллинзом (1625–1683), от которого они в конечном итоге перешли к Джонсу.

Иррациональность ? не была доказана до 1761 г., когда это сделал Иоганн Ламберт (1728–77), а затем в 1882 году Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что ? неалгебраическое иррациональное трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения конечной степени с рациональными коэффициентами). Открытие того, что существует два типа иррациональных чисел, однако, не умаляет достижения Джонса, состоящее в признании того, что отношение длины окружности к диаметру не может быть выражено в виде рационального числа.

Кроме первого использования символа ?, Джонс интересен своими связями с рядом ведущих математиков, а также научных и политических деятелей XVIII века. Он также отвечал за создание одной из крупнейших в стране научных библиотек и математического архива, которые оставались в руках его покровителей, семьи Макклесфилд, в течение почти 300 лет.

Происхождение Джонса довольно скромное. Он родился на небольшой ферме на Англси в 1675 г. Единственное формальное образование он получил в местной благотворительной школе, где показал способности к математике, и было решено, что он будет работать в Лондоне, в торговой конторе. Позже он отправился в Вест-Индию и стал интересоваться навигацией. Затем служил на военном корабле. Он участвовал в битве в заливе Виго в октябре 1702, когда англичане успешно перехватили испанский флот с деньгами и товарами, возвращавшийся в порт на северо-западе Испании под охраной французского конвоя. В то время как моряки-победители сошли на берег в поисках серебра и военных трофеев, для Джонса, согласно мемуарам барона Тинмута, написанным в 1707 г., “…литературные сокровища были единственной добычей, которую он желал’’.

По возвращении в Англию Джонс покинул флот и стал преподавать математику в Лондоне, вероятно, сначала в кофейнях, где за небольшую плату можно было послушать лекции. В 1702 г. он также опубликовал свою первую книгу, A New Compendium of the Whole Art of Practical Navigation (“Новый полный сборник искусства практической навигации’’). Вскоре после этого Джонс стал учителем Филиппа Йорка, позже Первого графа Хардвика (1690–1764), ставшего лордом-канцлером и бесценным источником знакомств для своего наставника.

Вероятно, около 1706 г. на Джонса впервые обратил внимание Исаак Ньютон, когда он в своем Synopsis объяснил методы Ньютона, применявшиеся в анализе, а также другие математические инновации. В 1708 году Джонс приобрел обширную библиотеку и архив Коллинза, в котором содержалось несколько писем и статей, написанных в 1670-х годах Ньютоном. Это оказалось весьма интересным для Джонса и полезным для его репутации.

Родившиеся с разницей в половину века, Коллинз и Джонс никогда не встречались, но история навсегда связала их библиотекой и математическим архивом, которые начал собирать Коллинз, а продолжал Джонс, у обоих была страсть к коллекционированию книг. Сын обедневшего министра, Коллинз был отдан в ученики к книготорговцу. По существу самоучка, как и Джонс, он также ушел в море и научился навигации. По возвращении в Лондон он зарабатывал себе на жизнь как учитель и бухгалтер. Он занимал все более прибыльные должности и умело разбирался в сложных финансовых операциях.

Желание Коллинза было скромным—открыть книжный магазин, но ему не удавалось накопить достаточно денег. Однако в 1667 году его избрали членом Королевского общества, где он стал незаменимым помощником официального секретаря Генри Ольденбурга по математическим предметам. Коллинз переписывался с Ньютоном и со многими другими ведущими английскими и зарубежными математиками того времени, составлял математические заметки от имени общества.

Когда Джонс попытался стать преподавателем математической школы Christ’s Hospital Mathematical School в 1709 году, он привез с собой рекомендации Эдмунда Галлея и Ньютона. Несмотря на это, его заявку отклонили. Однако бывший ученик Джонса, Филипп Йорк, теперь начал свою юридическую карьеру и представил своего наставника сэру Томасу Паркеру (1667–1732), успешному адвокату, который на следующий год стал главным лордом-судьей. Джонс вошел в его дом и стал учителем его единственного сына Джорджа (ок. 1697–1764). Это было началом его связи с семьей Паркер, которая продолжалась до конца жизни.

Примерно в то время, когда Джонс купил библиотеку и архив Коллинза, Ньютон и немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646–1716) спорили, кто из них изобрел дифференциальное исчисление первым. В математических работах Коллинза Джонс нашел копию одной из ранних работ Ньютона “De Analyst’’ (1669), которую договорился опубликовать в 1711 году. Ранее эта работа распространялась только частным образом. Бывший Президентом Королевского общества с 1703 г., Ньютон не очень хотел публиковать свои работы и ревниво охранял свою интеллектуальную собственность. Тем не менее, он признал В Джонсе союзника.

В 1712 году Джонс присоединился к комитету, созданному Королевским обществом для выяснения, кто изобрел дифференциальное исчисление. Джонс предоставил в распоряжение комитета бумаги Коллинза с перепиской Ньютона о дифференциальном исчислении, и в результате доклад о споре, опубликованный в том же году, Commercium Epistolicum, базировался в основном на них. Хоть и анонимно, но Commercium Epistolicum был отредактирован самим Ньютоном, и вряд ли можно считать его беспристрастным. Неудивительно, что в нем отстаивались права Ньютона. (Сегодня считается, что Ньютон и Лейбниц открыли исчисление самостоятельно, хотя обозначения Лейбница лучше, чем обозначения Ньютона, и именно они используются в настоящее время.)

К 1712 г. Джонс твердо занял место среди математиков. В 1718 году его покровитель, сэр Томас Паркер, стал лордом-канцлером, и в 1721 году получил дворянство как граф Макклесфилд. К этому времени он приобрел поместье Шерборн с замком за огромную для того времени сумму ? 18 350. Замок Шерборн стал домом и для Джонса, который был уже почти членом семьи. Кроме закона, Паркер имел научный интерес ко многим предметам, включая естественные науки и математику, и был щедрым покровителем искусств и науки. Он повлиял на назначение Галлея королевским астрономом в 1721 г.

Но это внешняя сторона характера графа. Видимо, вместе с большими способностями и амбициями у него была также опасная жажда богатства. Его обвинили в продаже должностей высочайшим покупателям и в злоупотреблении деньгами претендентов. Паркер подал в отставку с поста лорда-канцлера в 1725 году, но дела об отстранении его от должности никогда не было возбуждено. Его наказали штрафом в ? 30 000, и он был вынужден провести шесть недель в лондонском Тауэре, пока не заплатил штраф. Некоторые из его активов были проданы, и его имя было вычеркнуто из списка тайных советников, но он не лишился Шерборна, который остается в семье Макклесфилд по сей день. Частично его достоинство было восстановлено в 1727 году, когда он был одним из тех, кто нес гроб на похоронах Ньютона.

Сын Томаса, Джордж Паркер, стал депутатом от Уоллингфорда в 1722 году и провел большую часть своего времени в Шерборне, где под руководством Джонса он расширил библиотеку и архив, которые Джонс привез с собой. Джордж Паркер интересовался астрономией и с помощью своего друга, астронома Джеймса Брэдли (который стал третьим королевским астрономом в 1742 г. после смерти Галлея), построил в Шерборне астрономическую обсерваторию.

К 1718 г. Джонс делил свое время в основном между Шерборном и Tibbald’s Court, недалеко от площади Красного льва в Лондоне. Он переписывался со многими ведущими математиками, астрономами и физиками, среди которых Роджер Котс (1682–1716)—первый Plumian professor астрономии в Кембридже и, по мнению многих, самый талантливый британский математик своего поколения после Ньютона. Он готовил к публикации второе издание “Начал’’ Ньютона.

Джонс выступал в качестве посредника между Ньютоном и Котсом, когда отношения между ними стали напряженными. Он явно мог влиять на них и был весьма тактичным. В одном письме Котс писал Джонсу: “Я должен просить вашей помощи и руководства в деле, которое я не могу надлежащим образом исполнить сам…’’. Это был тонкий вопрос о предложении Ньютону улучшения в одном из его методов. Ньютон имел трудный характер, и действовать нужно было осторожно. Это Джонс мог сделать. Второе издание “Начал” с изменениями было опубликовано в 1713 году и имело большой успех.

Ньютон был выдающейся знаменитостью своего времени, и многие в научном сообществе жили в его тени. Джонс также вел обширную переписку с астрономом и математиком Джоном Мачином (ок. 1686–1771), который служил секретарем Королевского общества в течение почти 30 лет, начиная с 1718 г. Он также был в комиссии Общества по изучению изобретения дифференциального исчисления. Будучи профессором астрономии в Грешам колледже в течение почти 40 лет, Мачин работал над лунной теорией и считал себя экспертом по этому вопросу. В одном письме к Джонсу, Мачин, используя причудливый язык, жалуется на лунную теорию Ньютона:

“… Она (луна) сообщила мне, что он (Ньютон) оскорблял ее в течение всей ее жизни, выдавая, что она виновна в таких нарушениях и гнусностях во всех ее путях и трудах, что ни один живой человек не в состоянии найти, где она находится в любой момент’’.

Затем он продолжал писать, что он, Мачин, знал местонахождение Луны и, следовательно, мог бы потребовать ? 10,000, которые предлагает “Лорд казначей’’ за открытие долготы на море, потому что его лунная теория улучшит точность лунных таблиц.

Хотя Мачин не получил вознаграждения, его лунная теория, описанная в “Laws of the moon’s motion according to gravity’’ (Законы движения Луны в соответствии с гравитацией) была добавлена в английское издание “Начал’’ в 1729 г., после смерти Ньютона.

Мачин также работал над рядом, довольно быстро сходящимся к отношению длины окружности к диаметру. Результаты его расчетов были напечатаны в книге Джонса (1706 г.), “верны более 100 цифр; вычислено точным и стремительным пером действительно гениального г-на Джона Мачина…’’. Мачин осуществил это с помощью бесконечного ряда, который сходится к ?. В математических терминах это означает, что независимо от того, сколько членов ряда суммируются, всегда есть разница, пусть и небольшая, между этой суммы и иррациональным числом ?. В бесконечных рядах, которые использовал Мачин, чередуются положительные и отрицательные члены, так что сумма поочередно больше или меньше ?.

Джонс также имел корреспондентов за рубежом. Особый интерес представляет квакер и ученый Джеймс Логан (1674–1751), живший в Америке. Логан родился в Ирландии, его пригласил Уильям Пенн, лидер квакеров и основатель Пенсильвании, быть секретарем. Там он процветал и в конечном итоге купил плантацию, Стентон, куда и приехал после отставки в пятьдесят с небольшим лет, чтобы заниматься тем, что его интересовало, в частности, математикой и ботаникой. Его собственная библиотека, состоявшая более чем из 30000 книг, была одной из наиболее выдающихся библиотек XVIII века в Америке. Он завещал ее городу Филадельфия.

В 1732 году Логан написал Джонсу об изобретении “местного молодого человека… превосходного прирожденного гения’’. Это был Томас Годфри (1704–49), стекольщик, который в октябре 1730 г. изобрел инструмент, который мог быть использован для более точных измерений на море, с помощью двойного отражения позволяющий определить высоту солнца над горизонтом. Угол между любыми двумя астрономическими объектами, например, луной и звездой, мог быть найден с помощью перемещения поворотного рычага, содержащего зеркало, и считывания значения на шкале. Это означало, что движение судна не будет мешать измерениям, поскольку как объект, так и изображение двигаются совместно. Это был гениальный инструмент. Логан считает, что он может быть использован и для нахождения долготы на море лунным методом. Инструмент этот мы теперь знаем как квадрант Хэдли, хотя это на самом деле это октант. Одновременно этот важное изобретение было заявлено Америкой и Англией. Английский астроном Джон Хэдли (1682–1744) сделал один из этих инструментов летом 1730 г. и послал его описание в Королевское общество в мае следующего года.

Логан послал личное письмо, описывающее изобретение Годфрида, Галлею, тогдашнему президенту Королевского общества, обращаясь к нему “уважаемый друг’’. Это было дружеское и научное сообщение одновременно, и оно не было прочитано в Королевском обществе, как это было принято. Логан просил Джонса сделать запрос об этом упущении. Джонс впоследствии поднял вопрос в Королевском обществе в январе 1734 г., и Годфри был признан изобретателем прибора, хотя и не первым.

Несколько лет спустя, в 1736 году, Джонс написал Логану, извиняясь за то, что не ответил раньше:

“…Мои дела требуют моего постоянного внимания, и занимают мой ум так, что у меня остается немного возможности думать о чем-то еще, даже о математике, или ее нет совсем. Я мало занимался ей в прошедшие 18 лет, и теперь почти чужой для всех улучшений, которые сделаны этим путем.’’

Однако имеются более поздние письма Джонса, посвященные математике. Возможно, он не хотел, чтобы Логан посылал ему новые открытия. Логан был неутомимым корреспондентом и, кажется, он написал намного больше писем Джонсу, чем тот написал в ответ.

Были, конечно, и другие вещи, которыми занимался Джонс. Как и многие другие люди науки, Джонс был заинтригован проблемой долготы, и он писал письма в Королевское общество по вопросу о часах, продолжающих идти точно при изменении температуры.

Он служил членом совета Общества и стал его вице-президентом в 1749 году. Его доходы выросли благодаря синекуре, созданной его бывшими учениками: он стал Министром мира. Тем не менее, он также не раз испытывал финансовые кризисы, во время крушений его банка, что было частым явлением в те дни.

Джонс женился во второй раз в 1731 году на Мэри Никс, бывшей на 30 лет моложе его, и у них было трое детей. В 1747 году он был избран управляющим Воспитательного дома, когда Джордж Паркер был вице-президентом. Это тот самый Паркер, который заказал Хогарту портрет Джонса. Хотя Джонс на этом портрете выглядит внушительно, он был “валлийцем с широким лицом и обходился со своими друзьями-математиками достаточно резко и свободно’’. Тем не менее, как мы видели, он умел быть тактичным, когда это было необходимо, и мог показать большую доброту.

После того как он умер в 1749 году, в возрасте 74 лет, Джон Робертсон, клерк и библиотекарь в Королевском обществе, сказал, что он “умер в лучших обстоятельствах, чем обычно выпадает математикам’’. Его единственному оставшемуся в живых сыну, также по имени Уильям, было в то время всего три года. Известный как Восточный Джонс, он преуспел как лингвист, филолог и специалист в индийском законе, и в должном порядке стал рыцарем.

В 1750 г. Джордж Паркер написал статью “Заметки о солнечных и лунных годах’’, которая была прочитана в Королевском обществе. Паркер был главным сторонником принятия григорианского календаря и изменения в 1752 году начала года с 25 марта на 1 января. Можно рассматривать вопрос о пересмотре календаря в рамках научного наследия Уильяма Джонса. В том же году Паркер был избран президентом Королевского общества, и эту должность он занимал до своей смерти.

В своем завещании Джонс оставил “изучение книг’’ Джорджу Паркеру “как свидетельство признательности за поддержку, которую я от него получил’’. Научные книги, которые Паркер унаследовал от Джонса, вместе с архивом документов, остались в библиотеке Шерборна. Доступ к ним был строго ограничен, хотя было признано, что они представляли собой наиболее значительную частную коллекцию такого рода. В 2000 г. архив писем и бумаг был предложен библиотеке Кембриджского университета, которая и приобрела его за $ 6370000 с помощью гранта от Фонда Heritage Lottery. Библиотека Макклесфилда была, наконец, продана на аукционе Сотби в 2005 году за шесть массовых продаж, за счет этого были пополнены библиотеки по всему миру.

В жизни Джонса важную роль играла его способность сохранять покровителей, и он верно служил им. С исторической точки зрения Джонс дал Макклесфилдам гораздо больше, чем когда-либо получал от них и, тем самым, он оставил миру большое интеллектуальное наследство.