Комбинаторика как язык описания математических структур

Комбинаторика как язык описания математических структур. Структуры на конечных множествах, графы визуализаций и графы связей. Фрактальные графы предельных структур на счетном множестве как предел по иерархии графов структур для конечных множеств.

Автор - Арсений Райко (организатор студенческого семинара по геометрическому анализу в г. Москва).

Посвящается А.Л. Городенцеву, у которого я брал курс алгебры.

Данный текст родился в процессе длительного и тщательного осмысления структуры его алгебраического курса.

Текст можно рассматривать как попытку геометризации и формализации осознания устройства математических структур.

1. Опишите всевозможные топологии, отношения порядка, отношения эквивалентности, групповые, кольцевые, полевые и алгебраические структуры на множестве из 2-12 элементов. Работу нужно распараллелить между всеми заинтересованными участниками, по окончании нужно придумать прозрачную простую нумерацию и классификацию таких объектов. Одинаковыми буквами обозначайте серии похожих структур, буквами можно обозначить мощность множества, на котором структура рассматривается. Возможно, что придется использовать кортежи чисел. Классификация должна опираться на визуализацию в виде графов (гиперграфов для алгебраических структур, ориентированных графов для отношений порядка). Таким способом мы получим геометрически обоснованную наглядную классификацию топологических и алгебраических структур на конечных множествах.

Глобальная задача - понять, описать и визуализировать рост и фрактал иерархий усложнения структур на конечных множествах. Найти критерии проверки того, что конкретный граф действительно задает некоторую выделенную структуру на конечном множестве. Найти простые наглядные критерии проверки свойств, которыми могут обладать рассматриваемые структуры.

Вторая задача - описать аналитические формулы, которые будут подсчитывать число структурных объектов данного типа в зависимости от мощности множества. Формулы бывают двух типов - для множеств, нумерованных уникальными именами (числами) и для объектов, факторизованных по отношению эквивалентности, заданному всевозможными перестановками конечного множества. Если получится, то нужно свернуть полученные формулы до производящих функций.

Задача максимум - составить единый глобальный иерархический гиперграф, вершинами которого являются математические структуры, в котором будут отражены все структурные свойства и связи.

Третья задача - составить прозрачный минималистичный удобный электронный каталог структур на конечных множествах, который будет отражать всевозможные связи структур.

Четвертая задача - полностью автоматизировать и алгоритмизировать дальнейший анализ таких структур, их свойств, связей, согласованностей и иерархий на таких структурах.

Пятая задача - продумать и реализовать библиотеку, в которой будут реализованы все вспомогательные алгоритмы проверки, причем оптимальными по времени и памяти способами.

Дерзкая задача на вырост - после всего выполненного анализа рассмотреть, какие лакуны обнаруживаются среди множества конечных графов. То есть выделить те графы, которые не задают никакую структуру из выбранных на конечных множествах, попытаться понять, какие есть препятствия на графах, которые не позволяют рассматривать их как графы структур. Формализовать эти препятствия и научиться эффективно их вычислять (как гомологии или эйлерову характеристику). Попытаться выделить графы из лакунарного пространства, которые похожи между собой, обладают схожей геометрической структурой, связаны между собой. Попытаться найти новую структуру, которую могут задавать такие графы и то, как такие структуры сравнивать между собой, согласовывать с теми структурами, которые имелись у нас ранее. Если удастся реализовать предыдущий шаг, то попробовать обобщить такую структуру на непрерывный случай (с помощью рекурсивного продолжения по множеству кардиналов).

Все структуры, которые мы рассматриваем в математике сейчас исторически возникали как естественные объекты на бесконечных множествах, а потом уже люди строили их дискретные аналоги. Современные технологии позволяют попытаться проделать обратную работу, благо она гораздо более обозрима и гораздо легче поддается формализации, чем попытка поиска новой математической структуры на бесконечных множествах. Каждая структура из рассматриваемых задает целый раздел математики (топологию, алгебру, анализ). Самая смелая задача - выследить новую структуру в дискретном случае, взрастить ее дискретное семя и получить полнокровный бесконечный аналог, с помощью которого можно будет создать новый раздел математики. Еще более смелая задача - создать серии таких новых разделов и понять закономерности и алгоритмы их синтеза.

Задача, которая кажется на данном шаге сверхсложной - найти оптимальные алгоритмы поиска новых математических структур, максимально распараллелить и автоматизировать процесс их поиска.

Таким образом, данный текст можно рассматривать как программу осознанного дизайна и поиска новых отраслей математики. Это глобальная задача, которая стоит перед нашей цивилизацией в данное время, наравне с такими проблемами, как осознанный контроль генома, осознанный контроль климата, осознанный контроль психологии масс, осознанный контроль метеоритных потоков и прочих физических процессов в окрестности орбиты нашей планеты в Солнечной системе, осознанный контроль развития исследований по основным научным направлениям, осознанный контроль соединения разных научных направлений на стыках наук и практических приложений. Осознанная формализация старых и новых научных теорий. Осознанный контроль информационных потоков, в том числе в сети Интернет. Осознанный контроль глобальной политики государств на нашей планете. Осознанный контроль расходования невосполнимых природных ресурсов. Осознанный контроль биосферы. Осознанный контроль мировой экономики. Осознанный контроль культурного развития нашей цивилизации. Осознанный контроль глобального планирования и развития нашей цивилизации в целом.

2. Для топологий опишите, какие аксиомы отделимости выполняются в каждой из топологий.

Для отношений порядка опишите какими свойствами обладает каждое конкретное отношение порядка (линейность, полный ли порядок, строгие неравенства или нет).

Для отношений эквивалентности постройте диаграммы Юнга, отражающие их внутреннюю структуру (высота - число классов эквивалентности, длина строки - мощность класса).

Для групповых, кольцевых и алгебраических структур в классификацию включите какими дополнительными свойствами данные структуры обладают (есть ли единица, коммутативность, целостность и т. д.).

Для каждого правила попробуйте придумать простой геометрически наглядный критерий проверки данного свойства по графу структуры, которую мы рассматриваем. Попытайтесь придумать оптимальный по времени и памяти алгоритм, который на вход получает граф структуры, а на выходе возвращает выполняется ли данное свойство на структуре, которая соответствует этому графу. Каждое из описанных свойств можно представлять в виде определенного цвета вершины глобального гиперграфа иерархий математических структур.

3. Топологию на конечном множестве можно представить в виде отношения порядка на подмножествах данного множества.

Постройте биекцию на множестве топологий и множестве отношений порядка. При построении соответствия учитывайте, что придется рассматривать структуры на множествах, мощности которых не будут совпадать. Ясно, что любое отношение порядка задается по некоторой топологии, возможно на большем по мощности множестве. Продумайте вопрос о том, какого минимальная мощность множества на котором существует топология, задающая данное отношение порядка. Всегда ли единственно такое множество? Попробуйте найти конструктивный способ описания (всех) таких топологий на множествах минимальной мощности.

Найдите все пары топологий и отношений эквивалентности, которые задают топологию на классах эквивалентности.

Найдите все пары топологий и алгебраических структур, которые согласованы (то есть когда алгебраические операции будут непрерывными в данной топологии).

Найдите все пары алгебраических структур и отношений эквивалентности, которые задают алгебраическую структуру того же ранга на классах отношения эквивалентности.

Подумайте какие еще согласованности можно учитывать в нашей классификации. Как можно согласовать отношения порядка и алгебраические структуры? Отношения эквивалентности и отношения порядка?

Согласованности между математическими структурами можно отражать в виде гиперребер глобального гиперграфа математических структур.

4. Опишите всевозможные отображения из конечных множеств в конечные множества, ограничивая число элементов до разумно обозримого. Визуализируйте каждое отображение в виде ориентированного графа. В описание добавьте, когда отображение является биекцией, сюрьекцией, инъекцией.

Для каждого отображения опишите для каких пар топологий данное отображение будет являться непрерывным.

Для каждого отображения и каждой пары алгебраических структур опишите когда отображение сохраняет операции, и является соответственно изо-, моно-, эпи- морфизмом.

Попробуйте сформулировать простые геометрические критерии этих свойств (по графам отображений и графам структур).

Отображения, которые сохраняют математические структуры можно представлять в виде гиперребер глобального графа. На каждом гиперребре нарисован граф отображения, которым оно задается.

5. Опишите иерархию топологий на конечных множествах. Отношение порядка на топологиях - доминирование одной топологии над другой (когда одна из топологий обладает меньшим количеством открытых множеств, чем другая).

Визуализируйте эту иерархию в виде ориентированного графа, вершинами которого являются ориентированные графы конкретных топологий.

Опишите иерархию отношений эквивалентности на конечных множествах. Одно отношение эквивалентности доминирует над другим, если его разбиение на классы является измельчением разбиения, заданного другим отношением. Визуализируйте эту иерархию в виде ориентированного графа, вершинами которого являются ориентированные графы конкретных отношений упорядочивания.

Опишите иерархию отношений упорядочивания на конечных множествах. Одно отношение упорядочивания доминирует над другим, если в нем больше сравнений, чем в первом.

Визуализируйте эту иерархию в виде ориентированного графа, вершинами которого являются ориентированные графы конкретных отношений упорядочивания.

Опишите иерархию алгебраических структур одного ранга. Отношение упорядочивания на алгебраических структурах задается отношением включения (подгруппы, подкольца, подполя, подалгебры). Визуализируйте эту иерархию в виде ориентированного графа, вершинами которого являются гиперграфы конкретных алгебраических структур.

Постройте иерархию алгебраических структур по рангам усложнения. При описании более сложных алгебраических структур укажите какие алгебраические структуры более низкого ранга в них используются (аддитивная группа кольца, поля, алгебры; мультипликативная группа поля, алгебры).

Попробуйте построить визуализацию этой иерархии в виде ориентированного графа, вершинами которого являются гиперграфы конкретных алгебраических структур. Этот пункт является усложнением предыдущего.

Все графы пункта 5 очевидно стратифицируются по числу элементов конечного множества на котором мы задаем математические структуры. Все эти графы можно изображать как усложняющиеся цепочки, которые параллельно растут вниз. Включив все эти цепочки в единый большой граф, можно на этом графе изображать свойства конкретных структур с помощью раскраски вершин в конечное число цветов. С помощью гиперребер можно изображать согласованность между разными математическими структурами.

6. Попробуйте описать как меняются иерархические структуры в пункте 5 при добавлении нового элемента в множество. Попробуйте найти наглядные рекуррентные алгоритмы построения следующего шага в иерархии структур. Попробуйте оптимизировать полученные алгоритмы по скорости и памяти. Попробуйте написать рекуррентные формулы, подсчитывающие число математических структур одного типа в зависимости от мощности множеств на котором эти структуры задаются.

7. Попробуйте, пользуясь пунктом 6, описать предельный граф иерархий математических структур на конечных множествах. Очевидно, что данный фрактальный граф будет задавать полную структуру иерархий и связей математических структур на счетном множестве. Попробуйте визуализировать этот граф (это задача не сложнее визуализации конкретного фрактала, при условии, что пункт 6 проработан).

8. Попробуйте описать всю группу симметрий глобального фрактального графа математических структур. Обратите внимание на то, что (как часто бывает и с обычными фракталами) группа симметрий возрастает с каждым шагом рекурсии. Попробуйте с помощью аналитических инструментов описать рекуррентный алгоритм усложнения групп симметрий математических структур на конечных множествах. Обратите внимание на то, что эти группы симметрий будут уже тщательно проанализированы во время анализа алгебраических структур на конечных множествах. По рекуррентному описанию попробуйте вывести какой будет группа симметрий глобального графа иерархий математических структур.

9. Попробуйте сравнить результаты работы, проделанной для конечных групп по данной программе исследований с результатами, полученными при решении задачи о классификации конечных групп.

Комментарии: