Узлы и «бублики»: современная топология в Новосибирске

Исследовательский коллектив, возглавляемый Кауффманом, занимается решением как фундаментальных математических задач в области геометрии, топологии и математической физики, так и междисциплинарных, имеющих практическое применение при исследовании топологических свойств химических соединений и ДНК. Луис Кауффман руководит лабораторией топологии и динамики, созданной на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета  при поддержке мегагранта Правительства России.

Если говорить упрощенно, топология — это наука, которая изучает объекты с точностью до их непрерывных деформаций. Например, если взять веревку и завязать из нее узел, то топология разрешает деформации узла — растягивание, скручивание — до момента разрыва или склеивания. Теория узлов, в свою очередь, исследует то, как веревка (узел) расположена и «завязана» в пространстве. Узлы, которые можно превратить один в другой, не разрывая веревку, называются эквивалентными, и одна из задач, решаемая математиками почти с момента возникновения топологии, — найти способ, позволяющий выяснить, являются ли два узла эквивалентными или нет: то есть можно ли один узел непрерывно продеформировать в другой?

Идея решения этой задачи состоит в том, чтобы сложному объекту, допустим такому, как многократно скрученный и «заузленный» участок спирали ДНК, сопоставить математический объект, который не меняется при непрерывных деформациях узла: например, многочлен со специальными свойствами. Таких многочленов, или полиномов, построено уже довольно много — от одной или более переменных, но универсального пока нет. Наиболее известны полиномы Александера, Джонса и Кауффмана.

«Один из широко известных результатов Кауффмана заключается в том, что он придумал полином, который позволяет быстро различать очень много узлов, то есть доказать их неэквивалентость, понять, какие из них нельзя продеформировать друг в друга. В целом же Кауффман внес большой вклад в развитие теории узлов: создал теорию виртуальных узлов, теорию узлов и заузленных графов в трехмерных многообразиях (Упрощенно граф можно представить как множество вершин, соединенных ребрами. Свойства графов изучаются в разделе дискретной математики — теории графов. — Прим. ред.). Мы живем с вами в обычном трехмерном мире, который можно визуализировать как шар. А теперь представьте, что мы изучаем мир, устроенный как трехмерный тор (бублик. — Прим. ред.). Тогда необходимо создавать теорию узлов в торе и других, более сложных трехмерных пространствах. Приезд Луиса Кауффмана в наш город и научное руководство лабораторией важны для расширения тематики проводимых здесь исследований, включая приложения топологии к естественным наукам и робототехнике», — пояснил куратор проекта, профессор кафедры геометрии и топологии ММФ НГУ член-корреспондент РАН Андрей Юрьевич Веснин.

Кто распутает узлы ДНК?

Сочетание геометрических и топологических методов при изучении трехмерных объектов позволяет исследовать уже не только их качественные свойства (эквивалентны они друг другу или нет), но и иметь дело с геометрическими характеристиками: длинами, углами, объемами. Количественная топология обсчитывает эти взаимоотношения. Современные аспекты применения количественной и геометрической топологии — моделирование химических соединений, теория ДНК и робототехника.

«Мой любимый пример применения законов и методов топологии относится к исследованию ДНК. Например, когда происходит рекомбинация ДНК, и две нити ДНК, «лежащие» рядом, «разрезаются» специальным энзимом, а потом «сшиваются», но уже иным образом. При этом нити могут перекрещиваться и образовывать зацепления. Более того, имеет значение, какая нить лежит сверху: разные варианты перекрещиваний будут и топологически отличаться, что, в свою очередь, немаловажно и для формирующейся биологической структуры, — пояснил Кауффман. — В середине 1980-х, благодаря развитию электронной микроскопии биологи обнаружили, что могут наблюдать «узлы», возникающие при рекомбинации ДНК. Но загвоздка в том, что ученые видят лишь начало и конец процесса рекомбинации, но не его детали (они слишком малы для этого). Однако математики могут рассуждать теоретически, и топология здесь выступает как увеличительное стекло, позволяющее разобраться в том, что происходит в микромире. Это похоже на решение уравнения в обычной алгебре или арифметике: у вас есть исходные условия, конечный результат, и вы пытаетесь найти путь между ними — выяснить что произошло. Решений такого уравнения может быть несколько, и в этом случае нужно отбирать те из них, которые могут существовать с точки зрения биологических ограничений. Соответственно, используя методы топологии, мы можем задавать более глубокие вопросы о происходящем».

Работа с российскими учеными

Согласно условиям проекта, руководитель должен находиться в НГУ не менее 120 дней в году и заниматься как научными исследованиями, так и читать курсы для студентов. Американский ученый впервые оказался в столице Сибири, но это не первая его встреча с российскими исследователями.

«В вашей стране традиционно очень сильная наука, и меня всегда восхищали российские математики: после перестройки масса людей (советских ученых. — Прим. ред.) уехали на Запад или начали взаимодействовать с коллегами оттуда, и научные работы, которые до этого делались в изоляции, внезапно стали широко известны и очень многое изменили. Это, например, исследования Николая Решетихина и Владимира Тураева о применении топологии в квантовой физике. Помимо прочего, их совместные работы примечательны тем, что являются примером междисциплинарного взаимодействия между исследователями», — рассказал Кауффман.

Николай Юрьевич Решетихин — физик-теоретик и математик, доктор физико-математических наук, профессор математики в Калифорнийском университете в Беркли и профессор в Амстердамском университете, и главный научный сотрудник физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Владимир Георгиевич Тураев — математик, доктор физико-математических наук, профессор университета штата Индианы в Блумингтоне (США). Ученые работали вместе в Санкт-Петербургском (до 1992 г. — Ленинградском) отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН (ПОМИ РАН) и построили квантовые инварианты трехмерных многообразий, известные как инварианты Решетихина — Тураева. Результаты этих исследований используются для квантовых вычислений, которые, в свою очередь, могут быть полезны для создания квантового компьютера.

«У меня уже состоялась конструктивная встреча с деканом ММФ Игорем Марчуком. Я жду очень многого от работы здесь. В исследовательский коллектив, работающий по гранту, входят прекрасные люди, мы уже запланировали несколько конференций, на которых будут и другие ученые, и все они смогут поговорить друг с другом. В проекте участвуют такие неординарные исследователи, как Андрей Веснин и Валерий Бардаков (Валерий Георгиевич Бардаков — доктор физико-математических наук, профессор НГУ, ведущий научный сотрудник лаборатории обратных задач математической физики Института математики СО РАН. — Прим. ред.), чьи исследования очень близки к моим, и я очень воодушевлен предстоящей совместной работой с ними, их учениками и другими работающими в НГУ специалистами в области топологии и динамики, — отметил профессор.

Надежда Дмитриева

Фото автора