Сколько вселенных поместится на 16ти гигабайтную флешку.

Сколько вселенных поместится на 16ти гигабайтную флешку.

Эпиграф:

"Не так уж глубока оказалась ваша кроличья нора", — думал утром Нео, держась за голову и попивая воду из крана.

Сегодня я расскажу как вселенные на флешки записывать, а так же сколько для этого может понадобиться флешек и сколько вселенных. Но не все сразу, для начала, как повелось, вводная теоретическая часть на пальцах™, а потом уже практические расчеты. Ведь для точных численных решений нам понадобится некая дополнительная информация, что это за информация и какие будут расчеты станет ясно из теоретической части, рекомендую ее мимо ушей не пропускать, даже если какие–то вещи по ходу будут не совсем понятны. Как всегда буду стараться оставаться в рамках пальцевых аналогий, а с возникающими вопросами и непонятками пожалуйте в комментарии.

Начнем с определения, как в принципе Вселенную можно записать на флешку? Это же Вселенная! В ней встречаются такие вещи как галактики, звезды, квазары, пылевые туманности, метеоритные потоки, планеты, страны и континенты, пирамиды Хеопса, Эйфелевы башни, кольцевые автодороги, крабы и креветки, столы, мониторы, и даже сайт, на котором вы в эту секунду читаете данный пост, вот эту вот самую конкретную строчку — тоже является частью Вселенной.

Тут многие могут добавить — ведь и сама флешка тоже является частью Вселенной! Как можно флешку записать на флешку, это же рекурсия какая–то получается! Поясню сразу — предположим, что мы будем писать на флешку какую–то другую Вселенную. Или же эта флешка находится вне пределов нашей Вселенной. Можно даже сказать, что это и не флешка вовсе, а мы пытаемся выяснить, какого размера винчестерная стойка на сервере у Бога.

С самим постом вроде бы понятно. Его текстовый размер не превышает 30Кб (если не считать приложенных картинок), а вот со всем остальным вышеперечисленным придется поработать отдельно.

Прежде чем записывать на флешку всю эту груду предметов, вещей и галактик, их необходимо каким–то образом оцифровать. Перевести все встречающееся вокруг многообразие информации в цифру и записать на какой–нибудь носитель. И тут встает вопрос, насколько глубоко придется копать, прежде чем мы доберемся до минимальной единицы информации — бита?

Довольно широко известно (как минимум гуглится), что в обозримой Вселенной находится около 1080 индивидуальных атомов (плюс–минус порядок туда–сюда), означает ли, что для оцифровки всей Вселенной необходимо как минимум 1080 бит информации?

Необходимо — однозначно, но вот достаточно ли? Ведь атомы тоже состоят из набора электронов, протонов и нейтронов, значит для полной оцифровки Вселенной придется использовать много больше бит. И что, кстати говоря, может означать фраза "полная оцифровка Вселенной"?

Сколько в принципе информации теоретически может поместиться в неком объеме пространства?

Для решения этой задачи нам потребуется сделать шаг назад и рассмотреть прямую, но не сильно очевидную связь между информацией и энтропией.

Энтропия является одной из самых непонятых, не интуитивных и не очевидных вещей в современной физике. В смысле, конечно, не очевидных для широкой публики. Хотя на нее завязано большинство известных каждому школьнику законов и явлений, начиная с невозможности построения вечного двигателя (см. второй закон термодинамики) и добираясь до определения понятия "времени" как такового.

Энтропия имеет множество формулировок, в этом тексте удобней всего будет воспользоваться такой:

"Энтропия это мера хаоса, неупорядоченности системы, в конечном итоге определяющаяся количеством различных состояний, которые данная система может принимать".

Не совсем точно, но в нашем случае объяснения на пальцах™ вполне сгодится.

Представим себе сферу, заполненную неким газом. Не будем долго тупить, возьмем обычный воздушный шарик и наполним его воздухом.

Молекулы воздуха (в основном молекулы азота, кислорода, воды и углекислого газа) летают по шарику в совершеннейшем беспорядке, можно сказать, что система находится в состоянии "полной энтропии". Шутка. Так говорить нельзя. Можно и нужно сказать, что энтропия этой системы довольно высока.

Теперь возьмем другой шарик такого же размера и соединим оба шарика трубочкой. Объем системы увеличился в два раза, у молекул появилось в два раза больше пространства занимать свои случайные беспорядочные положения, а значит энтропия системы тоже в целом увеличилась в два раза.

Читатель со звездочкой(*) наверняка знает, что там не все так просто, что для количественной оценки изменения термодинамической энтропии в формуле появляются логарифмы и постоянная Больцмана k, куда же без нее, но вся прелесть формул в том, что при двойном увеличении объема при постоянной температуре логарифмы сокращаются и можно смело говорить, что энтропия увеличилась ровно вдвое.

Увеличим объем втрое, энтропия системы увеличится втрое и так далее. Все довольно просто (ну, так на пальцах™ же!) но все–таки не совсем. Предположим, что мы не станем увеличивать объем системы, а вместо этого в тот же самый объем накачаем в два раза больше воздуха. По идее, раз молекул стало в два раза больше, то и сложность (в конечном итоге, та же самая энтропия) системы увеличилась в два раза. В три раза больше молекул — в три раза больше энтропии, и т.д.

Если считать полной информацией о системе, информацию о том, какое положение и какую скорость имеет каждая молекула в этом воздушном шарике в каждый конкретный момент времени, получается, что если мы увеличиваем объем вдвое (больше места для распределения тех же молекул) или увеличиваем давление (больше молекул в том же самом объеме) энтропия увеличивается в два раза, и, соответственно, полная информация о системе тоже увеличивается в два раза. В три раза повысили количество молекул — в три раза увеличили энтропию, в три раза возрос объем информации…

И так далее вроде бы до бесконечности. Но не совсем. Все знают, что если собрать слишком много массы в ограниченном месте, в конечном итоге все схлопнется в сингулярность и мы получим черную дыру с радиусом горизонта событий равному радиусу изначального воздушного шарика. Дальше увеличивать количество вещества (количество молекул) в системе не получится, невозможно упаковать что–то плотней, чем черная дыра. Если в черную дыру продолжать сыпать материал, она будет расти в размерах, но более плотной от этого не станет, а просто расширится сама, и значит расширит свой горизонт событий.

Получается, что мы нашли предельную плотность вещества, оно же — предельное количество энтропии, оно же предельное количество информации, которая может заключаться в конкретном конечном участке пространства. Больше информации (по сути — частиц и их расположения относительно друг друга) чем те, что помещаются в черную дыру собрать в заданном объеме пространства физически невозможно.

И тут происходит совершенно не интуитивная штука до которой первым докопался Стивен Хокинг в 70х годах прошлого столетия. Точнее первым понял данную штуку физик Якоб Бекенштейн за пару лет до Хокинга, а последний подтвердил догадку коллеги формулами и количественными расчетами.

Теория там весьма сложная, я и сам не все места досконально понимаю, а уж тем более затрудняюсь воспроизвести на пальцах™, но в двух словах по расчетам получается, что максимальное количество энтропии, которое может содержаться в границах горизонта событий черной дыры, пропорционально не объему этой черной дыры, а площади поверхности горизонта событий.

Если совсем–совсем по–простецки, так получается от того, что чем больше мы добавляем молекул в замкнутый объем, тем больше они начинают гравитационно воздействовать друг на друга, связывая систему, и не давая занимать ей такое большое количество свободных беспорядочных состояний, которое бы ей хотелось. Тут вам придется поверить мне на слово, или обратиться к первоисточнику, к публикации Хокинга "The four laws of black hole mechanics" ("Четыре закона механики черных дыр"), но долго ли, коротко, Стивен пришел к такому выводу — полная энтропия не вращающейся незаряженной черной дыры находится по формуле:

Что читается как:

Энтропия черной дыры (SBH) количественно равна площади горизонта событий черной дыры (А) выраженной в маленьких квадратиках планковской длины (l2p).

Ну, там еще постоянная Больцмана k деленная на 4, но это уже чисто математические детали.

"Маленькие квадратики планковской длины" забавная, но вполне очевидная штука. Ученые давно подозревали, что существует некая маааааленькая длина, при которой сами понятия длины и расстояния начинают терять смысл и расплываться в пространстве–времени. Это та самая планковская длина размерами порядка 10–35 метра, о которой вы наверняка что–то слышали. Если взять квадрат размерами "планковская длина на планковская длина" и покрыть всю черную дыру (в смысле сферу горизонта событий) сеткой из этих квадратиков, мы получим количественное выражение энтропии черной дыры, или (внимание!) если умудримся записать в каждый квадратик или 0 или 1, и посчитаем общую сумму этих квадратиков — найдем максимальное количество информации, который может содержаться в этом объеме пространства.

Получается, что максимальный объем информации, который теоретически в принципе может содержаться в каком–то объеме пространства количественно равен площади сферы (а максимальный объем при минимуме площади поверхности из известных фигур бывает именно у сферы), выраженной в квадратиках (на рисунке в треугольничках, что не суть) планковской величины.

Итого. Максимальный объем информации, который может содержаться в обозримой Вселенной пропорционален площади поверхности сферы, которая ее ограничивает, если считать в планковских единицах.

Не забываем, однако, что это максимальный объем информации, который может туда поместиться, в реальности, т.е. на самом деле ее, конечно же, гораздо меньше, мы ведь не в черной дыре живем. Хотя… может и в черной дыре. Тут следует сделать отступление и рассказать про теорию голографической Вселенной, по которой все мы суть не материальные тела и предметы, а лишь голографическая проекция событий, происходящих где–то на гипотетических границах Вселенной, но это как–нибудь в другой раз, итак пост затягивается, а тут целый новый пост потребуется.

Ну, ладно. Один абзац, буквально. Прежде всего следует четко уяснить. Мы не живем в черной дыре! Метрика внутри горизонта событий черной дыры совершенно не такая, как метрика нашей Вселенной. Просто расчеты энтропии очень похожи, поэтому лишь в качестве аналогии можно считать, что все процессы, которые происходят в нашей трехмерной Вселенной математически эквивалентны процессам, которые могли бы происходить на гипотерической(!) двухмерной границе Вселенной (если бы таковая граница существовала). И это не прямое следствие и логический вывод, а лишь повод задуматься — а что если? А вдруг настоящие, реальные физические события происходят там, на границе Вселенной, а все мы здесь лишь объемная голографическая проекция тех событий.

Но тут уже начинается метафизика и гадание на кофейной гуще. То, что формулы похожи, совсем не означает, что существует реальная причинно–следственная связь. Как говорится, I want to believe, т.е. хотелось бы верить...

Возвращаясь к нашим баранам, в смысле к флешкам, все что нам нужно, это узнать радиус обозримой Вселенной, по формуле посчитать площадь поверхности границы ее сферы и поделить на планковскую площадь (~10^–66м2).

Вот тут–то и возникает необходимость дополнительной информации — требуется знать радиус обозримой Вселенной, который, по идее, в световых годах расстояния равен ее возрасту в годах времени (ну, если не считать, что Вселенная расширяется быстрее скорости света и вместо 13 миллиардов световых лет получим 45 миллиардов, все равно расстояния примерно одного порядка).

И конечно следует помнить, что это оценка сверху. Наша Вселенная это что–то среднее между двумя экстримами. С одной стороны у нас был идеальный газ в шарике, совершенно гравитационно не связанный. Энтропия такого газа зависит от его объема. С другой стороны черная дыра, где вещество гравитационно связано максимально возможным образом. Там энтропия зависит от площади поверхности.

В нашей Вселенной гравитация присутствует, но она далека от экстремальных условий черной дыры, значит мы имеем что–то среднее. А расчеты будем делать по максимуму, чтобы объема флешки точно хватило.

Поэтому на вопрос "Сколько вселенных поместится на 16ти гигабайтную флешку?" необходимо отвечать встречным вопросом: "А почему вы спраш…", т.е. тьфу!… — "О вселенных какого возраста идет речь"?

Когда наша Вселенная была маленькая и горячая, а размер ее не превосходил размер ядра атома водорода, площадь поверхности составляла всего около миллиарда квантовых ячеек (планковских квадратиков), а значит на 16Гб–ю флешку можно было бы записать около 16ти таких вселенных. Славные были денечки, это как же в то время можно было разгуляться с 4х–терабайтным винчестером!

Сегодня наша Вселенная уже не такая маленькая, и совсем не такая горячая.

Примем диаметр обозримой Вселенной за 93 миллиарда световых лет или 8.8·1026 метров, тогда площадь поверхности сферы с таким диаметром рассчитывается по формуле S = ?d2 = 2.4·1054 квадратных метров, что в планковских квадратах (2.56·1070) окажется примерно равным 9·10^123 бит.

Ну, или примерно 10^123 байт.

Что примерно равно 10^120 килобайт.

Что примерно равно 10^114 гигабайт.

Что примерно равно 10^108 петабайт, что в свою очередь является 100 миллионов петабайт (примерные объемы, обрабатываемые серверами корпорации Google в день), только еще умноженные на сам гугол — 10100.

Такова максимальная теоретическая информационная емкость нашей Вселенной.

Но на самом деле, как я уже говорил выше — все гораздо меньше. Это, так сказать, оценка сверху, емкость, которая необходима чтобы точно хватило. Так как у нашей Вселенной плотность поменьше плотности черной дыры, и информации потребуется хранить на десятки порядков меньше. Но когда речь идет о гугле (о реальном числе гугле), что порядки, что десятки порядков туда–сюда особой роли не играют.

Читателям со звездочкой(*) в качестве домашнего задания предлагаю самостоятельно рассчитать — когда Гугл, наконец, проснется, осознает себя и получит власть над всеми компьютерами, подключенными к Интернету, какого размера (т.е. какого возраста) Вселенную он сможет полностью обсчитать и Матрицу какого размера, соответственно, воплотить.

Комментарии: