Мир полон вероятностей и неопределенностей, но понять природу случайности дано не каждому

Мир полон вероятностей и неопределенностей, но понять природу случайности дано не каждому. Если подброшенная монета 5 раз выпала орлом, чего следует ожидать при следующем броске? Если ваш ответ “решка”, подумайте снова. Орлы и решки равновероятны, у случайных событий нет памяти о том, что случилось прежде.

Даже лучшие математики заблуждались относительно закономерностей случайных явлений. Понадобились века, чтобы в них разобраться.

Простая задача: в семье два ребенка и известно, что хотя бы один из них - мальчик. Какова вероятностей, что в семье два мальчика? Многие ответят, - ?, потому что с такой вероятностью второй ребенок окажется мальчиком. Но правильный ответ - ?: из четырех равновероятных исходов (два мальчика; старший мальчик, а младшая - девочка; и т.д.) один вариант (две девочки) по условию задачи исключен.

Казино зарабатывает на нашем недопонимании случайности. А те, кто в курсе, применяют свои знания и в поиске новых спасительных лекарств, и в расчетах выигрыша на гонках.

? Нераскрываемый код

Использование случайных чисел позволяет решить ключевую для нашего времени задачу обеспечения информационной безопасности. Ее роль в этом деле впервые оценил во время Первой мировой войны дешифровщик американской армии майор Джозеф Моборн (Joseph Maugborgne). Вместе со своими коллегами он расшифровывал секретные сообщения, отыскивая едва заметные закономерности в закодированных сигналах, позволяющих сопоставлять из с буквами и словами. Именно Моборн сообразил, что все закономерности исчезнут, если перед трансляцией сигнал смешать со случайной последовательностью символов (к коду каждого символа добавлять случайное число). Расшифровать такой поток может лишь обладатель ключа - единственной копии той самой последовательности, переданной заранее. Перед сеансом связи отправитель и получатель вскрывают припасенный блокнот с кодами, используют нужную страницу, а после использования обязательно ее уничтожают.

В 1940-х годах было математически доказано, что такой “одноразовый блокнот” является единственным абсолютно невзламываемым кодом. Конечно, ключевой поток при этом должен быть истинно случайным и известным только отправителю и получателю. И использовать его можно лишь однократно.

Опасности, вызванные нарушением этих правил, проявились во время “холодной войны”, когда американские дешифровщики обнаружили ошибки советских шифровальщиков, использовавших одни и те же ключевые потоки. Это позволило прочесть перехваченные сообщения и раскрыть крупную сеть советских шпионов, в том числе высокопоставленных агентов в Белом доме и Великобритании.

Сегодня ученые считают, что абсолютно случайные одноразовые последовательности можно получать на основе субатомных процессов. В 2010 году группа из германского Института квантовой оптики общества Макса Планка объявила, что научилась генерировать одноразовые ключевые потоки, пользуясь непредсказуемостью окружающих нас квантовых флуктуаций. Такие ключевые потоки истинно случайны и совершенно уникальны, так что их невозможно воспроизвести вновь. На них строится абсолютно невзламываемая система шифрования.

? Как выбрать кратчайшую очередь

Попадание в пробку - тот случай, когда случайность разрушает наши планы. Если на загруженном шоссе всего один автомобиль неожиданно резко затормозит, это порождает “джамитон” - волну уплотненного трафика, идущую навстречу движению со скоростью около 15 км/ч и вызывающую пробки, а с ними и недоумение и раздраженность водителей.

Случайность может создать проблему в очереди, даже если все ведут себя корректно. С одной стороны, кажется, что кассирам в супермаркете достаточно обслуживать людей с той же скоростью, с какой те заходят в магазин. Но с другой, - математика случайности показывает, что если люди не обслуживаются быстрее, чем они приходят, очередь растет до бесконечности.

Как избежать нервотрепки при попадании в самую медленную очередь? Предсказать что-либо тут невозможно. У каждой кассы возникает свой набор случайных задержек, а значит, в двух случаях из трех очередь, в которой вы стоите, отстанет от одной из двух соседних. Чтобы меньше волноваться, при прочих равных выбирайте очередь у крайней кассы: с ней, по крайней мере, соседствует лишь одна очередь, что увеличивает ваши шансы прийти первым до 50%.

? Моделирование будущего

Китайцы говорят, что предсказывать трудно, особенно будущее. Однако есть метод, помогающий в решении этой задачи. Забавно, что основан он как раз на случайности. В 1940-х годах метод Монте-Карло изобрел поправлявшийся в госпитале польский математик Станислав Улам (Stanislaw Ulam), пытавшийся предсказать исход карточных игр. Ему в голову пришла идея использования счетной машины для воспроизведения большого числа партий. Это позволяет разобраться, какие исходы наиболее вероятны. Метод получил название в честь места, где случайность правит бал, - казино Монте-Карло, а первые его применения связаны с созданием водородной бомбы. Сегодня метод Монте-Карло широко используется для моделирования множества вероятностных событий. Например, команды “Формулы-1” отыскивают наилучшие пути стратегии путем анализа большого количества гонок. В каждом прогоне немного меняются вероятности наилучших событий - от замены шин до успешного обгона.

? Как тасовать колоду карт

Невозможно оторвать взгляд от зрелища, когда заядлый картежник тасует колоду карт: он быстро пролистывает их края, заставляя карты чередоваться. Однако итог тасовки врезкой часто не столь уж впечатляющ и далек от случайного. Фактически после семикратного повторения карты вполне могут лечь в исходном порядке. Этим способом перемешивать колоду могут пользоваться шулеры, чтобы не сдвигать с места подготовленные для шулерства карты.

Забавно, что самый эффективный способ перетасовать колоду столь прост, что с ним справится даже двухлетний ребенок. Он называется “мытьем колоды” и состоит в сваливании всех карт в кучу на столе с последующими круговыми перемешивающими движениями обеими руками. Это выглядит не так эффектно, зато хорошо работает.

? Испытание лекарств с помощью случая

Когда появляется новый метод лечения, есть лишь один способ доказать его эффективность - испытав на людях. Однако испытатели могут быть введены в заблуждение из-за влияния неучтенных факторов. Чтобы их исключить, ученые-медики применяют так называемые рандомизированные клинические исследования. Пациентов разделяют на две группы: одна получает новое лечение, а дргуая - старое (или безвредное плацебо). Тут принципиально то, что распределение по группам производится случайным образом - для уверенности, что в каждую группу попала одинаковая доля пациентов, которым станет лучше или хуже по неизвестным причинам, не связанным с лечением. Тогда разные результаты, наблюдаемые в двух группах, можно приписать единственному фактору, по которому они различаются - применению нового метода лечения.

? Фантомный порядок

Среди уловок случайности нет более опасной, чем способность дурачить нас, заставляя видеть вещи, которых попросту не существует. Впрочем, виноваты в этом мы сами, люди, так как развили в себе удивительные способности замечать закономерности даже там, где их нет. Явление, называемое апофенией, приводит к тому, что человек видит изображение Христа на свежеподжаренном тосте или лица инопланетян на фотографиях Марса. Но не менее важна и другая малоизвестная черта случайности: ее способность приводить к кластеризации. Представьте себе город, в котором в среднем происходит 12 убийств в год. Если за месяц вдруг случится три убийства, - втрое больше ожидаемого числа, - легко поверить, что в городе появился серийный маньяк. Однако законы случайности говорят, что такая кластеризация весьма вероятна; в действительности, строго по одному убийству каждый месяц произойдет лишь раз в 19 тыс. лет. В абсолютном же большинстве случаев в одни месяцы случится по крайней мере пара убийств, а в другие их не будет вообще. Эта кластеризация случайных событий стоит за множеством страшных историй - от эпидемий загадочных самоубийств до так называемых “раковых зон”. Иногда объяснение сводится к обычной теории вероятности. Например, в 1980 году более 20 работников крупного оборонного подрядчика в Великобритании совершили суицид или погибли от насилия, что вызвало серьезные подозрения и колоссальный скандал. Но любители теорий заговора не обратили внимания на то, что в штате подрядчика числятся десятки тысяч сотрудников, что делает всплески “необычных” смертей статистически неизбежными.

Иногда кластеризацию нельзя списать только на случайность. Один такой случай проявился в очень высокой частоте редкого типа рака - мезотелиомы, отмеченной в 1960-х годах среди рабочих фабрики, выпускавшей огнеупорные материалы. При детальном расследовании этого кластера выяснилось, что причиной является асбест. С тех пор он был запрещен.

Отличить настоящий кластер от того, что порожден случайностью, непросто. Эпидемиологи сравнивают число событий в подозрительном кластере с тем числом, которое ожидалось бы для такой же выборки людей с тем же возрастом, образом жизни и другими характеристиками. Если расхождение между наблюдаемым и ожидаемым числом случаев слишком велико для случайной флуктуации, стоит начать поиск вероятных причин.

Большинство таких кластеров совершенно точно являются флуктуациями, подтверждая тем самым склонность случайности к розыгрышам. К счастью, не все из них неприятные, о чем говорит так называемый парадокс дня рождения. Согласно его формулировке, в группе всего из 23 случайно выбранных людей с высокой вероятностью (более 50%) хотя бы у двоих будет совпадать день рождения. Большинству трудно в это поверить, но это так. Объяснение этого факта состоит в том, что даже из такой небольшой группы, как коллектив из 23 человек, можно составить пары людей 253 способами. Такое их количество дает большой простор для случайных совпадений.

? Случайный шум помогает услышать

Добавление определенного уровня случайного шума парадоксальным образом помогает расслышать слабые сигналы. Хитрость заключается в стохастическом резонансе, когда случайный шум приподнимает громкость сигнала выше порогового уровня обнаружения. Это напоминает переворачивание блинов на сковородке: при слишком малом усилии блин не поднимется достаточно высоко, чтобы перевернуться; а при слишком большом - упадет на пол. Строго рассчитанное усилие поднимает блин ровно настолько, чтобы выполнить идеальное сальто.

Стохастический резонанс может помочь людям с ослабленным слухом: подавая случайный шум на имплантат в улитке уха, можно за счет стохастического резонанса значительно повысить чувствительность устройства.

? Как трудно поймать случайность

Генерация случайных чисел оказалась сложной задачей. Дело в том, что такие числа должны быть совершенно не связаны друг с другом и при этом не тяготеть ни к какому конкретному множеству чисел. Скажем, бесполезно просить людей выписывать случайные цифры от 0 до 9: исследования профессора психологии Нормана Гинзбурга (Norman Ginsburg) из университета Макмастера в Канаде показали, что многие люди думают, что “случайные” означают “равномерно распределенные” и выдают мало цепочек повторяющихся или последовательно идущих цифр. Истинная случайность гораздо более подвержена кластеризации, чем кажется людям: например, почти в половине тиражей национальных лотерей выпадает хотя бы пара последовательных номеров.

Для получения рядов чисел, похожих на случайные, выведены специальные математические формулы, но у них есть свои недостатки. В 1970-х годах ученые обнаружили, что одна из формул, применяемых в компьютерах и известная как RANDU, дает небольшое систематическое отклонение. Это поставило под вопрос итоги исследований, использовавших RANDU для получения наборов случайных чисел.

Прорыв в генерации истинно случайных чисел произошел в 1949 году, когда Алан Тьюринг (Alan Turing) показал, как можно использовать электрические цепи для получения абсолютно случайных флуктуаций, вызванных тепловым движением электронов. В 1955 году корпорация RAND в Калифорнии опубликовала самую скучную в мире книгу - “Миллион случайных цифр со стандартным отклонением 100000”. Весь ее текст - это пятизначные случайные числа, сгенерированных устройством, имеющим особую электрическую цепь, поедверженную случайным флуктуациям. Книга была востребована учеными, которые нуждались в надежном источнике случайных чисел для таких задач, как, например, проведение рандомизированных клинических исследований.

Электронная случайность используется и сегодня. Ernie (Electronic Random Number Indicator Equipment) служит для генерации номеров в лотерее Premium Bond.

“Псевдослучайные” ряды, генерируемые компьютерами, вполне хороши для повседневных целей, - например, для интернет-лотерей. Но тем, кто в них играет, лучше использовать опцию “мне повезет” (“lucky dip”), - выдаваемый по ней случайный набор номеров минимизирует вероятность того, что большим выигрышем придется делиться с миллионами тех, кто по незнанию выбирает более упорядоченные наборы чисел.

Источник: «Наука в фокусе»

Комментарии: