Сегодня хотелось бы поговорить об одной из известных гипотез теории множеств - о континуум гипотезе.

В конце 19 века немецкий математик Георг Кантор поразил всех, выяснив, что бесконечности бывают разных размеров, называемых мощностями. Он доказал основополагающие теоремы о мощности, которые современные математики обычно изучают на уроках дискретной математики.

Кантор доказал, что множество действительных чисел больше множества натуральных чисел, которое мы записываем как |R|>|N|. Нетрудно было установить, что размер натуральных чисел |N| – это первый бесконечный размер; ни одно бесконечное множество не меньше N.

Реальные числа больше, но являются ли они вторым бесконечным размером? Это оказался гораздо более сложный вопрос, известный как «Гипотеза континуума» (CH – Continuum hypothesis).

Если CH истинно, то |R| – второй бесконечный размер, и нет бесконечных множеств меньше R, но больше N. А если CH ложно, то между ними есть хотя бы один размер.

Так каков ответ? Здесь дело принимает следующий оборот. Было доказано, что CH независимо по отношению к базовым аксиомам математики. Оно может быть истинным, и никаких логических противоречий не последует, но оно также может быть ложным, и никаких логических противоречий не последует.

Это странное положение дел, но не такое уж редкое в современной математике. Возможно, вы слышали об «Аксиоме выбора» – еще одном независимом утверждении. Доказательство этого результата растянулось на десятилетия и, естественно, разделилось на две основные части: доказательство непротиворечивости CH и доказательство непротиворечивости отрицания CH.

Первая половина – благодаря Курту Гёделю, легендарному австро-венгерскому логику. Его математическая конструкция 1938 года, известная как Конструируемая Вселенная Гёделя, доказала совместимость CH с базовыми аксиомами и до сих пор является краеугольным камнем классов теории множеств. Вторая половина решалась еще два десятилетия, пока Пол Коэн, математик из Стэнфорда, не решил ее, изобретя целый метод доказательства в теории моделей, известный как «принуждение».

Каждая половина доказательства Гёделя и Коэна требует определенного уровня теории множеств, поэтому неудивительно, что эта уникальная история оказалась эзотерической за пределами математических кругов.

P.S. Более подробно с проблемой континуума можно ознакомиться в прикрепленных ниже статьях :))

Источник: vk.com

Комментарии: