Алгебра логики

Алгебра логики – одна из осн. частей математической логики, основанная на применении алгебраических методов к логике. Возникнув в сер. 19 в. в трудах Буля и развиваясь затем в работах Джевонса, Шредера, Пирса, Порецкого и др., алгебра логики имела своим предметом классы (как объемы понятий), соотношения между классиками по объему и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в 70-х гг. 19 в. множеств теории, поглотившей часть этих задач, предмет алгебры логики значительно изменился. Основным ее предметом стали высказывания (суждения, предложения), рассматриваемые со стороны их логических значений (истина, ложь, бессмыслица и т.п.), и логические операции над ними.

В основе обычной, т.н. классической алгебры логики лежит абстракция высказывания как величины, имеющей одно (и только одно!) из двух значений: «истина» или «ложь» (короче: И, Л), или могущей принимать оба эти значения (но не одновременно). В первом из этих случаев имеем индивидуальное высказывание (высказывание в узком, наиболее принятом смысле этого слова), во втором – высказывание-функцию. Примеры высказываний: «2·2= 4», «0?0», «Сократ – человек», «0=1», «2·2=5», «х2=у», «z – человек», «Если х=у, то у=0», «Если х=2, то x2=4», «x равняется у или x не равняется у». Первые три высказывания имеют значение И (т.е. истинны), 4-е и 5-е – значение Л (т.е. ложны), 6-е, 7-е, 8-е – высказывания-функции (если, напр., значениями буквенных переменных x и у могут быть целые числа, а переменной z – живые существа), 9-е и 10-е имеют значение И (при всех возможных значениях переменных x и у). Последние три из этих высказываний являются сложными, в отличие от предшествующих им простых. Абстракция в алгебре логики идет дальше. Все истинные высказывания отождествляются между собой, т.к. истинное высказывание не отличается от другого истинного высказывания по значению (от других сторон высказываний в алгебре логики отвлекаются). Ложные высказывания тоже отождествляются. При рассмотрении же высказываний-функций в алгебре логики обычно отвлекаются от рассмотрения зависимости их от иных переменных, кроме таких, значениями которых тоже являются высказывания, вводя для их рассмотрения буквенные переменные, которые называют переменными высказываниями. Таковыми являются буквы А, В, С, ..., ?1, А2, А3, ... и т.п. (при этом выбор букв — вопрос не существа, а соглашения) при условии, что они играют роль переменных, значениями которых могут быть всевозможные индивидуальные высказывания, т.е., в силу упомянутых абстракций, «константы» И и Л.

Кроме простых высказываний, обозначаемых отдельными буквами A, В... или И, Л, рассматриваются также сложные высказывания – результат соединения высказываний связками или отрицания их (соответствующего частице «не»). Сложные высказывания рассматривают как функции от входящих в них буквенных переменных А, B, С и т. д. Так появляется понятие функции алгебры логики – функции от аргументов, являющихся переменными высказываниями, т.е. принимающих значения И, Л, которая (функция) может принимать тоже лишь эти значения.

Вводятся алгебраич. операции над высказываниями: конъюнкция A·B (читается «А и В», другие обозначения: AB, A&B, А?В; другие названия: логическое умножение, булево умножение), дизъюнкция А?В («читается А или В»; другое обозначение: А+В; другие названия: логическое сложение, булево сложение), импликация А?В (читается: «Если А, то В» или «А влечет В», или «A имплицирует В», или «Из А следует В»; другое обозначение: A?B; другое название: логическое следование), эквиваленция А~В (читается: «А эквивалентно B» или «А равнозначно В», или «А, если и только если В»: другие обозначения: А?В, А?В; другие названия: эквивалентность, равнозначность, равносильность), отрицание А (читается: «не А», или «А ложно», или «неверно, что А», или «отрицание А»; другие обозначения: ¬А, ~А, A?; другое название: инверсия), а также иногда и другие операции.

Одной из важных сторон формализации, принимаемой в алгебре логики, является то, что знаками этих операций (т.е. по смыслу, соответствующими им связками) можно соединять любые высказывания, без ограничения, в том числе и те, которые сами являются сложными.

При этом удается точно и строго описать класс всех рассматриваемых выражений алгебры логики. В данном случае он состоит из констант И и Л, переменных A, В... и всех тех выражений, которые получаются из них путем конечного числа соединений знаками «·», «?», «?» и «~» и отрицаний.

Это связано с требованием, чтобы операции задавались таблично как функции и значение сложного высказывания зависело только от значений составляющих его простых высказываний. Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в использовании преобразований высказываний на основе алгебраических законов, которые имеют место для операций над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств, т.е. равенств, верных при всех значениях переменных. Важную роль играют тождества:

I. АВ=ВА, A?B=B?A (законы коммутативности),

II. (АВ)С=А(ВС), (A?B?C=A?(B?C) (законы ассоциативности);

III. ?(???)=A, A?AB = А (законы поглощения);

IV. A(B?C) = AB?AC (закон дистрибутивности);

V. А¬А=Л (закон противоречия);

VI. A?¬A=И (закон исключенного третьего).

Эти тождества, устанавливаемые, напр., с помощью таблиц, позволяют получать другие тождества. Тождеств I–VI достаточно для того, чтобы из них по методу тождественных преобразований можно было вывести всякое (верное, конечно) тождество, левая и правая части которого – выражения алгебры логики, состоящие из переменных А, В, .., констант И, Л и знаков «·», «?» «–» (не обязательно включая все из них). Добавление же тождеств VII A?B=¬A?B, A~B=AB?¬A¬B дает возможность выводить и любые тождества, содержащие также знаки «?», «~».

Тождества V, VI, VII показывают, что константы И и Л, импликацию и эквиваленцию, рассматривая их как функции, можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Имеет место теорема, гласящая, что всякая функция алгебры логики может быть представлена через эти три операции, т.е. записана в виде выражения, содержащего лишь знаки этих операций и буквенные переменные. Именно, любую функцию ?(A1, А2, ..., Аn) можно записать как дизъюнкцию всех выражений вида

(a1, a2, ..., аn)·(A1~a1)· (A2~a2)...(An~an),

где а1, а2 ,... an, – набор из значений И, Л.Заменяя в этой дизъюнкции выражения Ai ~И на Аi, а Аi,~Л – на ¬ Аi,, а также стирая «коэффициенты» ?(a1, а2, .... an») равные И (по закону И·А=А) и отбрасывая члены с «коэффициентами», равными Л (по законам (Л·A=Л, Л?A = А), мы и получим (если функция не есть константа) то выражение, о котором говорится в теореме.

Дизъюнктивной нормальной формой (днф) называется выражение, которое есть буква И или Л или имеет вид A1?A2?... ?As, где каждый член Ai, является либо буквенной переменной, либо ее отрицанием, либо конъюнкцией таковых, причем s не обязательно отлично от 1, т.е. знаков «?» может и не быть. Днф называется совершенной, если она есть И или Л или в каждом члене содержит ровно по одному разу все имеющиеся в ней буквы (переменные) и не имеет одинаковых членов. Всякое выражение алгебры логики можно привести к днф. А всякую днф можно привести к совершенной днф, «домножая» члены на недостающие буквы (по закону A=AB?A¬B) и ликвидируя повторения букв в членах (по законам АА=А, А¬А=Л, Л·A=Л, Л?A=A) и повторения членов (по закону A?A=A).

Приведение к совершенной днф позволяет по любым двум данным выражениям А и В решить вопрос о том, одну ли и ту же функцию они выражают, т.е. верно ли тождество А=В.

Важную роль играет т.н. сокращенная днф. Последнюю можно определить как такую днф, в к-рой I) нет повторений букв ни в одном члене, 2) нет таких пар членов Аi, и Aj, что всякий множитель из Аi, имеется и в Аj, и 3) для всяких двух таких членов, из к-рых один содержит множителем некоторую букву, а другой – отрицание той же буквы (при условии, что другой буквы, для которой это имеет место, в данной паре членов нет), имеется (в этой же днф) член, равный конъюнкции остальных множителей этих двух членов.

Кроме днф, употребляются также конъюнктивные нормальные формы (кнф). Это такие выражения, к-рые можно получить из днф путем замены в них знаков «?» на «·», а «·» на «?».

Преобразованием двойственности называется такое преобразование выражения алгебры логики, при котором в этом выражении знаки всех операций заменяются на знаки двойственных им операций, а константы: И на Л, Л на И; причем операция (или функция) ? называется двойственной для операции ?, если таблица, задающая Ф, получается из таблицы, задающей ?, путем замены в ней всюду И на Л, а Л на И (имеется в виду одновременная замена и значений функции, и значений ее аргументов). Если ? двойственная ?, a ? двойственная X, то Ф=Х. Напр., конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константа И (как функция) двойственна константе

Л. Функция ?(A1, А2, ..., Аn) двойственна функции ? (A1, А2, .., Аn),

если, и только если, верно тождество

¬Ф(A1, А2, ..., Аn)=? (¬A1, ¬A2, ..., ¬Аn).

Совершенную кнф и сокращенную кнф можно определить как такие кнф, что двойственные им выражения есть соответственно совершенная днф и сокращенная днф. Совершенные и сокращенные днф и кнф можно использовать для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий данного выражения алгебры логики. Причем под гипотезой выражения А алгебры логики естественно понимать такое выражение В, что В?А тождественно истинно, а под следствием выражения А – такое выражение В, что А?В тождественно истинно.

Еще один, часто употребляемый в алгебре логики шаг абстракции, состоит в отождествлении И с числом 1, а Л – с числом 0. Вводится операция A+B, задаваемая таблицей: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=0. Она называется сложением (точнее сложением по модулю 2; другое название: разделительная дизъюнкция; читается: «А плюс В», или А не эквивалентно В», или «Либо А, либо В»).

Всякую функцию алгебры логики можно представить через умножение (т.е. конъюнкцию), сложение и константу 1 (теорема Жегалкина). В частности, верны следующие тождества:

VIII. ???=??+?+?, ¬А=А+1

IX. А?В=АВ+А+1, А~В=А+В+1.

Обратные представления имеют вид

X. A+B=A¬B?¬АВ, 1=А?¬А.

Тождества VIII позволяют «переводить» выражения «языка» конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (КДО) на «язык» умножения, сложения и единицы (УСЕ), а тождества X – осуществлять обратный «перевод».

Тождественные преобразования можно производить и на «языке» УСЕ. В основе их лежат следующие законы:

XI. АВ=ВА, А+В=В+А (законы коммутативности);

XII. (АВ)С=А(ВС), (A+B)+C=A+(В+С) (ассоциативности);

XIII. A(B+С)=AB+AC (закон дистрибутивности);

XIV. АА=А, А+(В+В)=А

XV. ?·1=А.

Этих тождеств достаточно для того, чтобы из них можно было вывести любое (верное) тождество, обе части которого суть выражения «языка» УСЕ. А добавив к ним тождества VIII, мы сможем выводить и все тождества «языка» КДО.

Выражение «языка» УСЕ называется приведенным полиномом (п. п.), если оно есть 1+1 (т.е. нуль) или имеет вид А1+А2+ ... +Аs где каждый член А, есть либо 1, либо буквенная переменная, либо произведение последних, причем ни в одном члене нет никаких повторений букв, никакие два члена не одинаковы (в том же смысле, что и выше), a s не обязательно больше 1 (т.е. знаков «+» может не быть). Всякое выражение алгебры логики можно привести к п. п. (теорема Жегалкина).

Кроме «языков» КДО и УСЕ существуют и другие «языки», обладающие тем свойством, что через операции (и константы) этих «языков» можно представить всякую функцию алгебры логики. Такие системы называются (функционально) полными. Примеры полных систем: а) конъюнкция и отрицание, б) дизъюнкция и отрицание, в) импликация и отрицание, г) импликация и 0, д) умножение, эквиваленция и 0, е) штрих Шеффера A|B ж) медиана (А, В, C), [определение: (А, В, C)=AB?AC?BC), отрицание и 1, и) медиана, эквиваленция и сложение.

Иногда совершают еще один важный дальнейший шаг абстракции. Отвлекаются от табличного задания операций и от того, что значениями буквенных переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации рассматриваемого «языка», состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значениями буквенных переменных) и системы операций над объектами этого множества, удовлетворяющих тождествам из полной системы тождеств этого «языка».

«Язык» КДО в результате такого шага абстракции превращается в «язык» т.н. булевой алгебры, «язык» УСЕ – в «язык» т.н. булева кольца (с единицей), «язык» конъюнкции и дизыонкции – в «язык» т.н. дистрибутивной структуры.

Важным примером булевой алгебры является алгебра классов, в которой роль элементов играют подмножества (классы) некоторого фиксированного множества (т.н. универсума) U, роль 0 играет пустое множество 0, роль 1 – само U, роль AB, A?B и ¬? – теоретико-множеств. операции пересечения, объединения и дополнения соответственно. Связь между алгеброй классов, алгеброй предикатов и алгеброй высказываний, этими тремя важнейшими интерпретациями абстрактной алгебры логики как «языка» булевой алгебры, состоит в следующем: первая переходит во вторую путем замены множеств (классов) их т.н. характеристическими предикатами (т.е. множества А – предикатом х?А, гласящим: «х принадлежит множеству А»), если при этом соответствующим образом преобразуются также операции и константы 0 и 1, а вторая переходит в третью при подстановке во все предикаты на место их аргументов некоторого фиксированного их значения. Вернее, при таком переходе от алгебры классов к алгебре предикатов получается алгебра одноместных предикатов. Другим важным случаем является алгебра двуместных предикатов, называемых чаще отношениями. С ней тесно связана алгебра отношений, отличающаяся от нее только тем, что в последней, кроме трех операций булевой алгебры, имеются еще две.

Всякую булеву алгебру можно «переделать» в булево кольцо, определив операцию А+В согласно закону X (и отбросив операцию A?B). Напр., в случае алгебры множеств роль А+В играет т.н. симметрическая разность множеств А и В (состоящая из всех тех элементов универсума, которые принадлежат одному и только одному из множеств А или В). Обратно, всякое булево кольцо (с единицей) можно «переделать» в булеву алгебру. Понятия булевой алгебры и булева кольца связываются с именем Дж.Буля. Однако оформились эти понятия (не говоря уже о терминах) значительно позже. Первые работы по алгебре логики были посвящены задачам: а) выражения логических соотношений между объемами понятий (соответственно высказываниями) в виде уравнений (равенств), б) построения алгоритмов решения логических уравнений и систем уравнений с целью автоматизировать способы извлечения из данных посылок содержащейся в них (неявно) информации (того или иного рода).

В настоящее время алгебра логики развивается гл. о. под влиянием задач, встающих в области ее приложений. Она находит широкое применение в технике (особенно при решении задач, связанных с построением автоматов) и, наоборот, развивается сама под влиянием запросов техники (задач автоматизации программирования, уменьшения числа элементов в устройствах релейного действия и др.). Важную роль играют приложения в теории электрических схем, включая первоначально, начиная с работ В.И.Шестакова и К.Шеннона (30–40-е гг. 20 в.), теорию релейно-контактиых схем. Вопросы, касающиеся понятий самой алгебры логики, приводят к проникновению в алгебру логики неалгебраических методов (таких, как табличные, топологические, дескриптивные) и вследствие этого к постепенному выделению из алгебры логики самостоятельной области – теории функций алгебры логики (или иначе, теории булевых функций).

Источник: vk.com

Комментарии: