Теория динамических систем – один из наиболее активно развивающихся разделов современной математики

Теория динамических систем – один из наиболее активно развивающихся разделов современной математики. Возникшая первоначально как часть теории дифференциальных уравнений при исследовании известных проблем механики и статистической физики (таких как задача n тел, эргодическая гипотеза) в работах Пуанкаре, Ляпунова, Биркгофа, она постепенно стала самостоятельной ветвью математики. Сейчас теория динамических систем изучает не только статистические и иные «глобальные» свойства траекторий дифференциального уравнения, но и более общие группы преобразований абстрактного фазового пространства.

Характерной особенностью теории динамических систем является удивительное соседство фундаментальных классических вопросов и абстрактных теорий, привлекающих все многообразие современных математических методов – от анализа, вероятности, геометрии до алгебры и комбинаторики. Динамические системы находят приложения не только в жизни, но и внутри самой математики, например, в теории чисел.

Основные научные направления кафедры теории динамических систем:

•теория особенностей,

•эргодическая теория,

•топологическая динамика,

•математическая теория управления,

•теория чисел и аддитивная комбинаторика.

Теория особенностей – раздел математики, изучающий строение кривых, поверхностей, отображений в окрестности особых точек, то есть точек, в которых кривая, поверхность или отображение устроены "нетипичным" образом (например, не имеют однозначно определенного касательного пространства). Эта наука лежит на стыке различных областей математики – математического анализа, алгебры, топологии, геометрии, теории динамических систем и другими. Она интересна тем, что во многих случаях устанавливает связь между объектами и явлениями совершенно различной на первый взгляд природы. Результаты и методы теории особенностей находят свое применение при решении задач физики, экономики, биологии, медицины.

Эргодическая теория изучает статистические свойства траекторий динамических систем. Она объясняет, откуда берется хаос и случайность в динамических системах, имеющих по своей природе чисто детерминированный характер (траектория однозначно определяется своими начальными условиями). Одно из интригующих направлений – вопросы классификации динамических систем. На кафедре проводятся исследования разнообразных асимптотических и неасимптотических динамических инвариантов/свойств.

Аддитивная комбинаторика – это молодая и активно развивающаяся область, находящаяся на стыке теории чисел и комбинаторики, а также интенсивно использующая инструменты из гармонического анализа, теории графов, эргодической теории, теории вероятностей, алгебраической геометрии, топологии и геометрии чисел. Основной предмет данной науки – это всевозможные комбинаторные утверждения, в формулировке которых присутствуют операции сложения или умножения.

Кафедра ведёт обязательный курс обыкновенных дифференциальных уравнений (совместно с кафедрой дифференциальных уравнений). На кафедре функционируют спецкурсы и спецсеминары по различным аспектам теории динамических систем и эргодической теории

Источник: vk.com

Комментарии: