Почему теорема Геделя не то, чем кажется |
||
МЕНЮ Главная страница Поиск Регистрация на сайте Помощь проекту Архив новостей ТЕМЫ Новости ИИ Голосовой помощник Разработка ИИГородские сумасшедшие ИИ в медицине ИИ проекты Искусственные нейросети Искусственный интеллект Слежка за людьми Угроза ИИ ИИ теория Внедрение ИИКомпьютерные науки Машинное обуч. (Ошибки) Машинное обучение Машинный перевод Нейронные сети начинающим Психология ИИ Реализация ИИ Реализация нейросетей Создание беспилотных авто Трезво про ИИ Философия ИИ Big data Работа разума и сознаниеМодель мозгаРобототехника, БПЛАТрансгуманизмОбработка текстаТеория эволюцииДополненная реальностьЖелезоКиберугрозыНаучный мирИТ индустрияРазработка ПОТеория информацииМатематикаЦифровая экономика
Генетические алгоритмы Капсульные нейросети Основы нейронных сетей Распознавание лиц Распознавание образов Распознавание речи Творчество ИИ Техническое зрение Чат-боты Авторизация |
2021-12-06 22:02 Меня давно уже очень раздражает, что в популярной литературе теорема Геделя трактуется каким-то совершенно извращенным образом, и даже в Википедии в связанных статьях есть очень грубые ошибки (просто неверные утверждения). В последние несколько недель я устроил мини-опрос среди коллег и более-менее прошаренных знакомых (не логиков). Вначале я просил их сформулировать утверждение теоремы, почти все отвечали что-то вроде: "Любая достаточно сложная (включающая в себя арифметику) аксиоматическая система, либо неполна, либо противоречива". Так это обычно и формулируется. Но это просто бессмыслица. Почему? Вначале надо ясно понять, что такое полнота и противоречивость. Полнота — это по большому счету синоним категоричности. Система аксиом полна или категорична, если в математическом мире существует один и только один (с точностью до изоморфизма) объект с описываемыми ею свойствами. Система неполна, если существуют неизоморфные объекты, которые ею описываются. Наконец, система противоречива, если подходящих объектов вовсе не существует. Есть, сколько угодно неполных аксиоматик, это не дефект и не порок. Например, общие аксиомы группы или кольца очевидно неполны, потому что существуют неизоморфные группы и кольца. В этом случае мы можем без труда найти утверждения, которые правильно составлены и полностью осмыслены в данной теории, однако ни они, ни их отрицания не следуют из аксиом. Пример: "Порядок конечной группы А четен". Это утверждение не выводится из аксиом группы, поскольку есть группы как четного, так и нечетного порядка. Существуют также и полные системы. Например, аксиоматика евклидова пространства, или пространства Лобачевского. Просто потому, что существует всего одна евклидова плоскость и т.д. (тут важно никаких аксиом не пропустить, типа архимедовости, но это можно сделать). А вот если мы выкинем из числа аксиом пятый постулат, то система станет неполной, т.к. будет описывать не только евклидову плоскость, но и плоскость Лобачевского, а утверждение о сумме углов треугольника не будет из нее уже следовать. Ну а противоречивые системы можно генерировать в любом количестве, достаточно к любой непротиворечивой системе аксиом присоединить любое утверждение, которое в ней неверно. И как только мы разобрались с полнотой и непротиворечивостью, становится сразу же совершенно ясно, что приведенная выше популярная "теорема Геделя" просто не может быть верной. Просто потому, что под носом у нас находится очевидный контрпример — система аксиом Пеано как раз-таки для арифметики. С одной стороны, буквально в две строчки доказывается, что она категорична: если ей что-то удовлетворяет, то это что-то изоморфно натуральным числам. Но, с другой стороны, поскольку натуральные числа все же имеются в наличии, она непротиворечива. Итого: существует полная непротиворечивая аксиоматика арифметики. Значит популярная формулировка "теоремы Геделя" ошибочна. В чем же здесь дело? Ведь не может же быть, чтобы мы так лихо теорему Геделя опровергли? Конечно, не может. Просто приведенное утверждение отличается от настоящей теоремы. В нем пропущен самый важный, ключевой момент. В настоящей теореме Геделя накладываются серьезные ограничения на то, какие аксиоматические системы мы рассматриваем и какими правилами вывода пользуемся. Именно: мы должны пользоваться тем, что называется логикой первого порядка и формулировать аксиомы на языке первого порядка. Это значит, что мы можем навешивать кванторы существования и всеобщности только на индивиды, но никак не на их классы, функции, отношения и т.д. Это очень сильное ограничение. И фишка в том, что аксиоматика Пеано, которая всем хороша, просто не может быть сформулирована на языке первого порядка, так как включает в себя математическую индукцию. Т.е. системы аксиом, которые обсуждаются в теореме Геделя (например, система [Рафаэля] Робинсона) обязательно являются первопорядковыми, т.е. аксиому индукции или ее аналог не включают. Мы сами связываем себе ноги, а потом удивляемся, что не можем сделать ни шагу. (Попробуйте, для примера, без индукции доказать известную сумму арифметической прогрессии 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.) Чего же удивительного, что у нас в таких системах появляются неразрешимые утверждения? Это только ожидаемо. Близко с этим связана гораздо менее известная теорема Левенгейма--Скулема (я всю жизнь думал, что он Сколем, но он норвежец и более новое написание правильнее), которая, грубо говоря, утверждает, что любая система аксиом допускает модели разной мощности (следовательно, неизоморфные). Конечно же в ней тоже допускаются только первопорядковые аксиомы, и суть дела просто в том, что о мощности универсума на языке первого порядка говорить невозможно. Поэтому первопорядковой системе аксиом Робинсона удовлетворяют не только натуральные числа, но и гипернатуральные (насколько я понимаю, именно это наблюдение привело [Абрахама] Робинсона к созданию нестандартного анализа). Я бы сказал, что система Робинсона вообще не является аксиоматикой арифметики, более того из теорем Геделя и Левенгейма--Скулема следует что полной (а с моей точки зренияэто значит — никакой) первопорядковой аксиоматики арифметики не существует. Итак о чем же теорема Геделя? О пределах нашего познания? Вовсе нет. Она о языках первого порядка. Она значит только то, что они настолько ущербны, что даже базовые математические понятия вроде натуральных чисел ими не могут быть ухвачены. (С языками второго и высших порядков имеются свои проблемы, но это уже совсем другая история.) Источник: vk.com Комментарии: |
|