О Фракталах

Пролог.

Уильям Блейк

"Увидеть мир в одной песчинке

И Космос весь - в лесной травинке!

Вместить в ладони бесконечность

И в миге мимолетном вечность!"

Фракта?л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Является самоподобным или приближённо самоподобным.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую размерность.

Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Самоподобные множества с необычными свойствами в математике

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершённое множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;

треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости;

губка Менгера — аналог ковра Серпинского в трёхмерном пространстве;

примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции;

кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;

траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум[1].

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены первый, второй и четвёртый шаги этой процедуры для кривой Коха.

Примерами таких кривых служат:

кривая Коха (снежинка Коха),

кривая Леви,

кривая Минковского,

Кривая Гильберта

Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

кривая Пеано.

Кривая Мякишева

С помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Свойство самоподобия можно математически строго выразить следующим образом. Пусть {displaystyle psi _{i},,i=1,dots ,n}psi _{i},,i=1,dots ,n — сжимающие отображения плоскости. Рассмотрим следующее отображение на множестве всех компактных (замкнутых и ограниченных) подмножеств плоскости: {displaystyle Psi colon Kmapsto cup _{i=1}^{n}psi _{i}(K)}Psi colon Kmapsto cup _{{i=1}}^{n}psi _{i}(K)

Можно показать, что отображение {displaystyle Psi }Psi является сжимающим отображением на множестве компактов с метрикой Хаусдорфа. Следовательно, по теореме Банаха, это отображение имеет единственную неподвижную точку. Эта неподвижная точка и будет нашим фракталом.

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения {displaystyle psi _{i},,i=1,dots ,n}psi _{i},,i=1,dots ,n — отображения подобия, а {displaystyle n}n — число звеньев генератора.

Для треугольника Серпинского {displaystyle n=3}n=3 и отображения {displaystyle psi _{1}}psi _{1}, {displaystyle psi _{2}}psi _{2}, {displaystyle psi _{3}}psi _{3} — гомотетии с центрами в вершинах правильного треугольника и коэффициентом 1/2. Легко видеть, что треугольник Серпинского переходит в себя при отображении {displaystyle Psi }Psi .

В случае, когда отображения {displaystyle psi _{i}}psi _{i} — преобразования подобия с коэффициентами {displaystyle r_{i}>0}r_{i}>0, размерность {displaystyle s}s фрактала (при некоторых дополнительных технических условиях) может быть вычислена как решение уравнения {displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+dots +r_{n}^{s}=1}r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+dots +r_{n}^{s}=1. Так, для треугольника Серпинского получаем {displaystyle s=ln 3/ln 2}s=ln 3/ln 2.

По той же теореме Банаха, начав с любого компактного множества и применяя к нему итерации отображения {displaystyle Psi }Psi , мы получим последовательность компактов, сходящихся (в смысле метрики Хаусдорфа) к нашему фракталу.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа?

Ещё одно множество Жюлиа

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть {displaystyle F(z)}F(z) — многочлен, {displaystyle z_{0}}z_{0} — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: {displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...}

Источник: vk.com

Комментарии: