Основы формальной и математической логики.

Малое предисловие от автора:

1) В данной статье я разберу основы математической и формальной логики.

2)Прежде всего статья направлена на людей не знакомых с логикой и далеких от математики.

3)Может когда-нибудь этот цикл перейдет в основы аналит.философии

4)Длинное вступление, но желательного дочитать его до конца

Предисловие к новой статье.

Не очень я люблю говорить тирады, но сейчас придется. В данной статье я решил объяснить принципы формальной логики. Весь цикл статей по моим ±расчетам будет состоять из двух частей. В первой части следует рассказать о как таковой формальной логике (Аристотель, операторы, законы, etc), а позже, когда дойду математической — вести диалог о Расселе и прочих. На повестке дня — истоки и становление формальной логики. Кстати, если в монологе о классической музыке я мог предоставить свою неподкупность и объективность, лишь указав пальцем на пуфик от фортепиано, то в данной ситуации следует сказать, что у меня шизо-математическое образование(если можно так выразиться) можете не беспокоиться за объективность и качество контента.

Содержание статьи

Изначально я хотел опираться только на учебник по формальной логике, но вспомнил о старой лекция по формальной логике Марго. С некоторыми стейками из его лекции я не согласен, да и выглядит она не до конца полной(законы Моргана, закон Дунса Скота об импликации чего угодно из противоречия, лог.квадрата, etc), но мне понравилась последовательность рассуждений. Сама статья будет опираться на учебник, а глава про предикатную логику будет основана тезисах из «альтернативного учебника» ? если нашли ошибку/противоречие, то, скорее всего, вам придется спорить с учебником, но в тексте будут мои рассуждения и примеры(я вас сразу оповещу об этом).
Если вы в них найдете противоречия, то готов дискутировать.

Пару слов о книгах

Всю логику я изучал в унике, когда рейдил пары молодых людей с кафедры прикладной шизы, т.к сам учусь на химическом, а знание лишь одного высшего матана [без теории множеств, дискретной шизы, etc] маловато для экстраполирования математических операторов на какие-либо области знания. Кстати, матан (в отличие от логики) не интенционален в любом дискурсе, а логические законы всегда верны почти в любом движе. Однако из-за того, что мне нужно писать статью по логике, я решил найти какой-нибудь хороший учебник для молодых людей, т.к не у всех есть время рейдить пропащих андедов с соседней кафедры. Мой взгляд пал на 2 учебника(Ивина и Челпанова). Скажу так — учебник Челпанова ±неплох, но там маловато «гуманитарной» информации. Если вы собираетесь использовать логику в корыстных целях(в философско-аналитическом движе), то данного произведения будет маловато. Кстати, если вы хотите изучать логику ради матана, то сразу стоит изучать учебники по мат.логике, но прочитать работы по формальной логике лишним не будет. Произведение Ивина мне более понравилось, т.к там много полезной информации именно для философского движа(Парадокс Рассела, апории Зенона, стейки о неклассической логике, многое другое). Есть и минусы — многовато лишнего. Если будете читать, то скипните 3-5 главы(книжной версии), т.к данные главы понравятся лишь тем, кто не испытывает экзистенциальный ужас перед текстом. Еще очень странное перечисление законов, т.е там кроме трех классических законов и принципа Лейбница в законы записали почти все. Просто, если вы назовете кроме трех «классических» законов формальной логики что-либо еще вышеперечисленное в диалоге с оппонентом, то вашу преонтологическую дескрипцию насадят на метафизический кукан. Будьте аккуратнее при чтении. Еще странно, что там нет предикатной логики первого порядка, а есть лишь логика предложений, т.е о кванторах там ни слова[Объяснить основы данной шизы я смогу, можете не переживать]. Некоторые тезисы я буду брать прямиком оттуда. Кстати, если вы гуманитарий, то можете спокойно читать данное произведение, т.к 10-ти этажных формул там не будет. Редко можно увидеть настолько «лояльное» произведение к читателям.
Кстати, есть еще одна работа — «Математическая логика и теория алгоритмов»(приложение 2)… Данная работа очень специфическая, и я не рекомендую её, вообще, никому, но для статьи она идеально подходит.

Вступление

Если говорить о появлении формальной логики, то, как дисциплина, она появилась в Древней Греции и отцом-основателем ее является — Аристотель. Долгое время она несильно дополнялась (Кант сравнивал логику с Евклидовой геометрией и считал, что эти дисциплины уже полностью окончены и не подлежат дополнению). За всю историю всего было три крупных дополнения в формальной логике: Готлиб Фреге(кванторы), Курт Гёдель(теорема о неполноте) и Готфрид Лейбниц(ПДО, мат символика, т.п). Если говорить о «классической» логике, то отец-основатель назвал её — ???????(Органон, т.е инструмент или метод). Сейчас будет малое отступление.

«O??????»(Аристотель)

Изначально я хотел сделать отдельную статью по данной вещи, но посвящу ему отдельную главу. Итак, зачем в 4 веке до нашей эры Аристотель придумал Органон? Кто читал диалоги Платона, помнят о софистах (Протагор, Фрасимах и прочие букашки). Эти негодяи учили выступать и выступали на Агоре (Т.е вели речи на заседаниях анкапского суда и прочее). Однако этих злодеев мало волновало истинность высказываний, им главное было отстоять свою позицию с помощью своих грязных трюков. Своими убеждениями они часто ставили под сомнения этические концепции и учения глубоких старцев(Космологические стейки могли быть опрокинуты). Совокупность этих и прочих вещей побудила Аристотеля к созданию своего «инструмента». Сам Органон состоит из 6 частей:

1) «Категории»— Если кратко, то «философ» подводит каждую вещь, (которая интенциональна) под одну из десяти категорий. Данные категории предназначены для перечисления всего, что может быть выражено без структуры(т.е всего, что может быть или предметом или свойством предмета суждения.)
2) «Об истолковании»— «Философ» ведет монолог о соотношение между языковым выражением и объективным положениями вещей.
3) «Первая аналитика» — Аристотель разбирает основы силлогизмов(дедуктивные[от общего к частному] умозаключения)
4) ««Вторая Аналитика» — «Философ» противопоставляет бумерской диалектике в качестве более достоверного науч­ного метода аналитику.
5) «Топика» и «Критика софистских убеждений» — данные трактаты нужны, чтобы ловить всяких букашек за руку. Объясняет, что классический(диалектический) спор нужен не для поиска истины, а для победы в диалоге с помощью грязных трюков. Параллельно объясняет из каких критериев должен состоять логический диалог.

Если говорить о назначении «инструмента», то помимо метода устранения всяких софистических негодяев, сам «философ» предполагал своему детищу быть каркасом любой дисциплины. Какая-либо наука(по Аристотелю): умосозерцательная(первая философия, вторая философия, арифметика, геометрия), практическая(политика, этика, экономика), ну и поэтическая (риторика и эстетика). Любые из данных дисциплин должны быть основаны на логике, чтобы в этих учениях не было противоречий и прочего(мы же не в диалектике). Т.к учение без логики — континентальная философия(шутка с долей правды, но шутка). Ну, так или иначе, любая наука должна базироваться на логике, ведь совершенствуя какую-либо дисциплину без логики, ничего толкового не получится, чаще всего будет казуистика, а не четко выверенная дисциплина. К слову, насчет Органона, я дал самую необходимую информацию о нем, когда-нибудь я посвящу отдельную статью данному «инструменту», а сейчас продолжим говорить о становлении логики.

Глава 1. Логика первого порядка

Далее речь пойдет лишь о логике высказываний, т.е о логике предложений.
Кстати, логика — инструмент, которым мы преобразуем высказывание или деконструируем его полностью с целью преодоления неопределенности, не теряя его изначальную суть. А логика высказываний является теорией тех лог.связей высказываний, которые не зависят от структуры простых высказываний. Фактически простые высказывания берутся как неделимые «атомы», из которых мы получаем более сложные высказывания.

Данная логика исходит из двух допущений:
1) Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным
2) Истинное значение сложного высказывания зависит только от истинных значений, входящих в него простых высказываний. Это необходимо понимать, когда мы дойдем до разбора операторов формальной логики, но перед этим мы разберем виды рассуждений.
Т.к позже придется кратко разобрать логику предикатов.

Изначально необходимо разобраться, что именно мы должны изучать. Если рассматривать методы рассуждений в логике, то их можно разделить на две категории: Дедуктивные и индуктивные.

Дедуктивный метод размышления — это метод мышления, следствием которого является логический вывод, истинность которого гарантируется истинностью посылок. Теперь разберем на винтики эту вставку из википедии. Если говорить коротко, то, как было написано выше, — это просто метод размышления от общего к частному, в котором истинность условия обуславливает истинность умозаключения. Возьму пример дедуктивного умозаключения из произведения «Смерть Ивана Ильича» Толстого:

Тот пример силлогизма, которому он учился в логике Кизеветера: Кай — человек, люди смертны, потому Кай смертен.

Мы с помощью грязных(от общего к частному) трюков смогли получить новое утверждение, комбинируя уже имеющиеся общие истинные предпосылки для получения новых знаний.
Далее в статье пойдет речь лишь о силлогизмах(=дедуктивный метод размышления), т.к индуктивный метод смысла нет разбирать, но объяснить различие стоит.

Индуктивный метод размышления — это метод мышления, следствием которого является логический вывод, который не всегда является истинным, даже при условии верных предпосылок. По сути — это тоже самое, но есть различие в том, что верные предпосылки не всегда гарантируют верный вывод. Данный момент очень важен. Для более наглядного понимания приведу пример: В Макондо месяц идет дождь ? следующий месяц в Макондо тоже будет идти дождь.Если кратко, то из данных предпосылок не всегда можно вывести истинный вывод. Абдуктивную шизу Пирса я разберу в разделе «неклассической логики»

Законы формальной логики.

Изначально я думал разобрать операторы формальной логики(т.к сразу бы формально их записал), но без понимания основных принципов будет сложно объяснять механизм работы некоторых операторов, под медленно проплывающую картинку из википедии. Если говорить о назначении законов, то они необходимы, чтобы устранять противоречия в силлогизмах, иначе можно будет доказать все что угодно, но об этом потом. Кстати,
можно добавить, что лог.законам необходимо следовать всегда и в любом (здравомыслящем) движе, а принципу необязательно. Еще нужно сказать, что основные законы — это наиболее очевидные из всех возможных утверждений логики, которые являются аксиомами данной(и любой) науки, т.е их доказывать не нужно. Сами же они ниоткуда не выводимы(и не сводимы к законам других дискурсов), да и не требуют никакой опоры в силу своей очевидности. Кстати, скажу еще одну вещь. Есть определенные «неклассические логики» куда всякие негодяи вносили «поправки» в логические законы или даже убирали их по тем или иным причинам(как закон исключенного третьего в интуиционистской логике), но уверяю вас — относитесь к данным «логикам» с большим скепсисом, т.к эти разбойники(отнюдь не шиллерского толка) создали великое множество несвязанных с друг другом систем, которые не редуцируются к друг другу, но если вы хотите почитать что-нибудь подобное, то наверните работы Майнонга, хотя о неформальной логике я буду говорить в главе ниже.

Всего есть три закона и один принцип:

Закон тождества
Закон непротиворечия
Закон исключенного третьего
Принцип достаточного основания

Далее подробно разберем каждый из них.

Закон тождества

Сам закон записывается — «A?A» или же — «A тогда и только тогда, когда A», подробнее о записи буду говорить, когда разберу все операторы, но скажу сразу, что запись через двухстороннюю импликацию будет правильнее, чем через обычную импликацию, но об этом позже. Теперь разберем, что означает данный закон, и как его всякие негодяи нарушают.
Нарушение закона тождества ведет к двузначности, данным трюком часто пользовались софисты, когда пытались доказать какую-либо точку зрения.
К слову, хоть в главе выше я описывал софистов, но нужно пояснить, что софизм – это внешне правильное доказательство ложной мысли с помощью специального нарушения одного(или нескольких) логических законов. Необходимо это обговорить, т.к данный термин можно везде увидеть.
Разберем какой-нибудь пример: «Что лучше: вечное блаженство или гегельянство? Конечно же, вечное блаженство. А что может быть лучше вечного блаженства? Конечно же, НИЧТО! А гегельянство ведь лучше, чем НИЧТО, следовательно, оно лучше вечного блаженства». Из данного примера видно, как «ничто» употребляется в двух разных контекстах — ничто как отрицание и ничто как отсутствие всего. Еще закон тождества можно интерпретировать как —«Если утверждение истинно, то оно истинно» или «Если утверждение ложно, то оно ложно»(я записываю его через двухстороннюю импликацию). Данное описание нам пригодится, когда я буду говорить о материалистической импликации.

Закон непротиворечия

Сам закон выглядит формально «¬(A ?¬A)» или же — «Неверно, что A и не A»;
Тоже очень простой закон, который гласит о том, что — «Два противоречащих суждения (взятые в одно время, об одном субъекте, etc) не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными».Нарушение данного закона приводит к очень плачевным последствиям, об этом более подробнее я буду говорить, когда разберу закон Дунса Скота.
Думаю, закон очень простой для понимания, но пример какой-нибудь дам:

—Так вы говорите: никаких убеждений нет?
—Нет и быть не может.
—Это ваше убеждение?
—Да

Данный стейк взят из романа Тургенева(«Рудин»), можете почитать на досуге.

Закон исключенного третьего

Сам закон записывается формально — «A V¬A» или же — «A или не A»;
Тоже простой для понимания закон, который очень похож на закон о непротиворечии(даже запись похожая), но дополненный. Данный закон гласит от том, что — «Из двух противоречащих суждений(отрицающих друг друга) одно обязательно является истинным, а другое ложным(третьего не дано), т.е два суждения, один из которых является отрицанием другого, не могут быть одновременно ложными или одновременно истинными, какое-то из этих суждений должно обязательно быть истинным, другое ложным, а чего-либо «посередине» быть не может.Приведу какой-нибудь пример:

Фридрих фон Харденберг умер в возрасте 29 лет из-за того, что заразился туберкулезом от Шиллера
Фридрих фон Харденберг умер в возрасте 29 лет не из-за того, что заразился туберкулезом от Шиллера

Как можно увидеть из примера выше — из двух противоречащих утверждений, одно из них будет истинным(1), а другое всегда будет ложным(2), третьего не дано. Я просто так подробно акцентирую на этом внимание, т.к скоро я дойду до логического квадрата и там нужно очень хорошо понимать данный закон.

Принцип достаточного основания

Данный принцип тяжело формализовать, можно попробовать через импликацию, но особо смысла не вижу. Тут главное объяснить смысл, нежели запись. Еще он не является законом, т.е всегда следовать ему необязательно, но лишним не будет. Сам принцип гласит о том, что каждое осмысленное утверждение может считаться достоверным лишь только в том случае, когда были приведены достаточные основания, в силу которых его можно считать истинным. Не вижу смысла приводить пример, т.к принцип очень понятный для обывателя, но если все же вы собираетесь траить логику (или же до вас просто медленно доходит), то пример какой-нибудь следует дать:

Сегодня поступило в продажу новое кофе без кофеина.(после данных слов вы должны кинуть вотум недоверия баристе)

Если законы формальной логики придумал Аристотель и описал в своем «инструменте», то ПДО ввел в логику всеми любимый — Лейбниц в своей работе «Монадология»(32 глава). Советую почитать данную работу Готфрида, т.к она очень маленькая и там много полезной информации по атомизму. Дам маленькую выдержку оттуда, где впервые был сформулирован данный принцип: «И на принципе достаточного основания, в силу которого мы усматриваем, что ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе, хотя эти основания в большинстве случаев вовсе не могут быть нам известны».Мы разобрали все законы формальной логики, далее следует приступить к операторам.

Глава 2.Операторы формальной логики

Перед тем, как мы разберемся с операторами, нужно понять, что существует два типа высказываний — простые и сложные. Простым называется высказывание, не содержащие другие высказывания в качестве своих частей(ничего не напоминает?). Еще Фреге в своем «О смысле и значении» упоминал высказывания, которые не могут раскладываться на составные части(не теряя при этом смысл). Например, простыми являются высказывания: «Берлин — столица Германской империи», «Вода кипит при 100 градусах», «Гегель — шарлатан с лицом трактирщика»; Как бы мы не деконструировали данные высказывания на бинарные оппозиции, но по отдельности они не будут представлять собой что-либо внятное.
Сложным называется высказывание, содержащие другие высказывания в качестве своих частей. Например, высказывания: «Изучение философии не трудно и не бесполезно», «Иммануил Кант родился в Кенигсберге, либо он родился в Йене».
Как видно из высказываний выше — сложными являются те высказывания, которые состоят из нескольких простых (Иммануил Кант родился в Кенигсберге, Иммануил Кант родился в Йене). Теперь самое главное отличие — сложные высказывания образуются с помощью логических операторов: «и», «или», «если, то», «если и только если», etc. Данные операторы помогают рассматривать логические конструкции, и они же обладают своими значениями, которые зависят от ложности или истинности, входящих в них высказываний. Далее разберем все важные операторы.

Таблица истинности

Кстати, необходимо разобраться с важной «аналитической» вещью. Если кратко, то данная таблица позволяет здраво рассуждать о любой логической функции(т.е о любом сложном высказывании, которое содержит в себе переменные). Хоть мы и пропустим булевую логику(не от слова булла), но все равно следует разобрать важный принцип, который в ней есть. В данной таблице есть два значения 1(true) и 0(false). Они нужны, чтобы при подстановке переменной в высказывание, мы смогли здраво рассмотреть все возможные значения и сделать правильный вывод. Сейчас будет монотонная вставка из pain'tа, где я разберу все на примере. Например, самое простое утверждение — «A?B»(А равносильно B)[Эквивалент].

Так, теперь разберем по винтикам каждое утверждение.
I. Если A(ложно, т.е 0) тогда и только тогда, когда B(ложно, т.е 0).Данная операция верная. Теперь наложим данную функцию на какое-нибудь предложение для более наглядного примера:
Если Ницше родился в России(ложь), то Ницше — русский(ложь).
Однако при этом сама логическая конструкция является правильной, т.к в ней предпосылка(Ницше родился в России) ложная и вывод
(Ницше — русский) ложный. Думаю понятно, почему так.
Разберем, когда конструкция неверна. Использую тот же самый пример:
II. Если Ницше родился в Рёккине(истинна, т.е 1), то Ницше — русский(ложь, т.е 0). Данное высказывание будет ложным, т.к предпосылка верная, а вывод из нее ложный.
Кстати, если итоговые значения таблицы истинности совпадают с итоговыми значениями другой таблицы истинности, то это значит, что они равнозначны.

Отрицание

Для данного оператора делать таблицу истинности не буду, т.к будет намного проще объяснить принцип. Самый простой оператор для понимания. Отрицание (записывается «¬») означает лишь то, что можно брать все что угодно, кроме «А». Например, «¬А?B»(Если не А, то это B). Я вернусь к отрицанию, когда буду говорить о законах Дунса Скота.

Конъюнкция.

Конъюнкция или связка «и». С помощью данного оператора мы два высказывания объединяем в одно более сложное. Запись у данного оператора выглядит вот так — «?», но иногда можно встретить и такую запись — «&», «•»; Последними двумя примерами редко кто пользуется, т.к «?» более привычнее.
Теперь разберем, когда данная конструкция является верной. Кстати, важно понять, что КОНЪЮНКЦИЯ УЧИТЫВАЕТ, ТОЛЬКО ИСТИННОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ, НО НЕ УЧИТЫВАЕТ СМЫСЛОВЫЕ СВЯЗИ МЕЖДУ НИМИ. Необходимо сразу обговорить данную вещь, чтобы далее не было недопонимания, этим данный оператор отличен от обычного союза «и» в повседневной речи(пример IV).
Рассмотрим таблицу истинности для данной шизы.

Конъюнкция — это самый простой оператор для понимания, т.к данная конструкция истина лишь в тех случаях, когда верно утверждение А и утверждение B, в других случаях конъюнкция — ложна. Например:
II . «Диоген жил в бочке и Штирнер был сторонником идей Маркса» — как видно из данного высказывания, даже если есть одно верное утверждение(Диоген жил в бочке) конъюнкция все равно будет ложной. Я бы изобразил это на кругах Эйлера, но думаю, что лучше этим буду заниматься, когда дойду до лог.квадрата.
IV «Вольтер был заключен в Бастилию и 7+5=12» — это верная конъюнкция, т.к все члены в ней являются истинными. Кстати, без разницы, что данные утверждения семантически не связаны.

Дизъюнкция(строгая и нестрогая)

Более сложный оператор, т.к его подразделяют на два вида: строгую дизъюнкцию «?»(исключающую) и нестрогую «?» (включающую). Данный оператор равносилен союзу «или», только есть одна загвоздка. Отличие состоит в том, что во «включающей» дизъюнкции можно взять два высказывания, а в исключающей лишь одно. Например, «Ты читал работы Платоны или Аристотеля?», в данной дизъюнкции могут быть истинными сразу два утверждения(что я читал и Платона, и Аристотеля), и дизъюнкция будет верной. Данная уловка является очень специфической, т.к в разговорной речи мы не предполагаем сразу два истинных(не противоречащих друг другу) варианта. Исключающая дизъюнкция предполагает, что мы возьмем лишь одно утверждение. Далее рассмотрим таблицу истинности и поговорим, когда дизъюнкция является верной.

Как видно из таблицы — если в дизъюнкции хотя бы один оператор является истинным, то вся дизъюнкция является истинной.
Однако исключением является «строгая» дизъюнкция в которой при двух истинных высказываниях А и B дизъюнкция является ложной. Пример не вижу смысла приводить, т.к данный оператор хоть и сложнее, чем конъюнкция, но чего-то трудного для понимание в нем нет.

Материалистическая импликация

Один из самых сложных для понимания операторов. Сама связка «если, то…» называется условной связью, или материалистической импликацией.
Важно уточнить, что в любой импликации можно различить основание импликации — это высказывание, идущее за словом «если», и следствие — высказывание, идущее за словом «то». Теперь важно запомнить, что основание импликации называется — «антецедентом»(предшествующий), а следствие высказывания — «консеквент» (последующий). Например, в высказывании «Если Амадей родился в Зальцбурге, то он австриец» антецедентом является — «Амадей родился в Зальцбурге», а консеквент — «он австриец».
Запись выглядит так —«A?B» и читается —«Если А, то B». Данный оператор устанавливает, что одно состояние, событие, т.п. является, в том или ином смысле, основанием для другого. Кстати, данная монотонная вставка из википедии может отсылать нас на ПДО Лейбница, но как говорилось выше — формализовать его не получится. Далее рассмотрим таблицу истинности для импликации.

Перед тем, как мы будем рассматривать все случаи, приведенные в таблице, давайте добавим одно маленькое нововведение в запись. Если когда-нибудь мы будем рассматривать Фреге, то в его работе —«О функции» он добавил пробег значения(все возможные значения функции). Я хочу сделать ±также для упрощения разбора примеров. «A?B»=f(A,B). [Где f(A,B)=1 или 0].
В этой записи ничего революционного нет, просто представил высказывание в виде функции, которая зависит от утверждений А и B.
Пример: «Если А (истина, т.е 1), то B(истина, т.е 1)»=1[т.е f(A,B) истина].
Т.е все, что стоит после равно — это само положение импликации, которое верно или же не верно в зависимости от истинности А и B. Теперь разберем на примере предложения:
«Если за окном идет дождь, то земля мокрая»=1. (предпосылка верная, вывод истинен, то и сама конструкция правильная, «1» и гласит о том, что импликация верная.)
Думаю все понятно с записью, далее разберем все по винтикам.Разбираем таблицу:
Как видно из таблицы — импликация ложна лишь в том случае, когда антецедент истинен, а консеквент ложен, далее разберем все случаи, т.к есть одна загвоздка.
Рассмотрим предложение: «Если пойдет дождь, то мы останемся дома».

I. «Если пойдет дождь(истина), то мы останемся дома(истина)»=1
(имп. истина). Здесь все понятно, т.к подобный пример я разбирал выше.
II. «Если пойдет дождь(истина), то мы останемся дома(ложь)»=0, т.к предпосылка истина, а консеквент ложен, то сама импликация не является правильной, об этом я уже писал выше.
IV. «Если пойдет дождь(ложь), то мы останемся дома(ложь)»=1.Смотрите — «Дождь не пошел, и мы не остались дома»=1. Сама конструкция является правильной, т.к если предпосылка ложная, то и вывод ложен.
III. «Если пойдет дождь(ложь), то мы останемся дома(истина)»=1, тут нужен детальный анализ. Именно из-за данной причины мне не нравится писать закон тождества через импликацию. Иногда ложность антецедента не гарантирует ложность консеквента. Например:
«Если я прослушаю аудиолекцию Рябова по Хайдеггеру, то я буду разбираться в философии деда-фашиста». Вы можете не прослушивать лекцию Рябова, а сразу прочитать заБиВ (Бытие и время) и также разбираться в философии Хайдеггера, именно к этому я подвожу, и именно из-за этого мне не нравится запись закона тождества «А?А», т.к может случится как с парадоксом Рассела, о котором вскоре поговорим. Еще у импликации есть проблемы с семантической связью между предложениями(как и у конъюнкции), т.е если «Если Солнце — куб, то Земля — треугольник»=1, такая импликация тоже будет истинной(хоть и по смыслу не будет связана). Важно понять, что в импликации не предусматривается, что входящие в него высказывания связаны по смыслу, именно из-за этого данная вещь неочевидна, т.к в разговорной речи мы такого не предполагаем. Держите это в голове, когда мы будем вести речь о «неклассических логиках».

Эквивалент

Эквивалент — это более «строгая импликация», записывается она — «?» или — «??». Эквивалент еще можно назвать двухсторонней импликацией, но так мало кто делает. Сама связка «Если и только если» или «Тогда и только тогда, когда», фактически — это значит, что два утверждений равноценны. Например, «Треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда все его углы равны между собой», следовательно, можно вывести, что «Если углы треугольника равным между собой, то треугольник равносторонний». Думаю, ничего сложно в этом нет, далее разберем таблицу истинности для него.

Как видно из таблицы выше — эквивалент будет равен «1» лишь тогда, когда оба члена данного оператора будут или истинны, или ложны. Именно из-за этой причины я формализую закон тождества как «A??A», а не «A?A»;

«Также надо сказать пару слов о тавтологии»Тавтология в логике — это всегда верные или всегда ложные конструкции, не зависящие от утверждений, которые вы подставили в данную систему. Рассмотрим 3 основополагающих примера.

Все это я уже описывал, когда рассказывал о законах форм.логики, здесь я просто все формализовал, еще следует разобрать те места, которые вызывают противоречия.? данный символ — это пустое множество, т.е множество, не содержащее ни одного элемента, разбирать подробнее будем в следующей части статьи. В данном контексте символ указывает на то, что подобного заключения быть не может/неопределенность.
I. Например, если подставить любой силлогизм(и его отрицание) в закон непротиворечия, то он всегда даст ложное утверждение, т.к одновременно не может существовать два верных(или два ложных), противоречащих друг другу, утверждения, которые дали бы в свою очередь истинную конъюнкцию, т.к данная конструкция правильная, лишь в том случае, когда оба члена, входящих в нее, являются верными.
II. Например, если подставить силлогизм(и его отрицание) в закон искл.третьего, то дизъюнкция всегда будет верной, т.к если хоть один член дизъюнкции является верным, то вся конструкция будет верной, а в законе о непротиворечии мы уже обговорили, что два противоречащих утверждения не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными.
III. Третий пример очень простой, т.к закон тождества говорит лишь о том, что А всегда равняется А, следовательно, в данной конструкции не может быть такого, что антецедент — ложен, а консеквент — истинен(и наоборот).

Глава 3. Правила формальной логики

Далее пойдут некоторые своеобразные законы. Их не следует воспринимать как «классические» три закона формальной логики, данные конструкции более похожи на формулы сокращенного умножения в математике [(a+b)?=a?+2ab+b?] — по сути, данные правила служат для таких же манипуляций, когда необходимо из одного утверждения перейти к другому(и наоборот).
Не знаю, нужно ли давать модусы, т.к о них никто не говорит, но я объясню их для любознательных, особо ничего сложного там нет, но данный подпункт будет необязательный.

Закон двойного отрицания и транзитивности.

Сначала нужно разобрать два простых правила — двойного отрицания и переходности.
Закон двойного отрицания гласит о том, что «отрицание отрицания дает утверждение», записывается формально — «¬(¬A)=A». Из таблицы истинности видно, что если «A» — истина, а отрицание «¬A» — ложно, то «¬(¬A)» принимает такие же значения, которыми обладает утверждение «А». Кстати, держите в голове закон о непротиворечии, чтобы в один момент утверждение и его отрицание не стали одновременно истинными. Приведу какой-нибудь пример.
«Если НЕВЕРНО, что Иоганн Вольфганг Гёте НЕ написал трагедию “Фауст“, то Гёте написал трагедию “Фауст“.»
Думаю все ясно с данной конструкцией.
Закон транзитивности — это очень простой закон, присмотритесь ко второй формуле (A?B)?[(B?C)?(A?C)], она может напугать молодого человека, который впервые видит подобную логическую шизофазию, но поверьте, не всегда огромная дескрипция является залогом чего-либо сложного. Например, данные две формулы идентичны, но вторая более простая для понимания. Приведу пример: «Если [A?B], а [B?C], то [A?C].»
«Если сегодня пойдет дождь(А), то я пойду в кофейню(B).
Если я пойду в кофейню(B), то вечером я закончу статью по логике(С).
Если сегодня пойдет дождь(A), то вечером я закончу статью по логике(С).»Думаю, что с примером более понятнее, если кратко, то — «Когда утверждение А переходит в B, а утверждение B переходит в С, то утверждение А переходит в С.» Далее разберем законы Моргана, Дунса Скотта.

Законы Де Моргана и законы контрапозиции.

Далее пойдут тоже простые для понимания принципы.
Законы де Моргана — это логические правила, которые помогают перейти от отрицания конъюнкции к отрицанию дизъюнкции и наоборот. Примеры:
I. Если неверно A и B, то верно, что не-А или не-B.
«Если неверно, что Вальтер Скотт написал “Айвенго“ и “Уэверли“, то данное утверждение будет ложно, лишь при условии, что Вальтер Скотт не написал или “Айвенго“, или “Уэверли“».
Выглядит довольно громоздко, но смысл очень простой — если утверждения А, B со связкой «и» ложные то, чтобы данная конструкция была ложной, необходимо одно неправильное утверждение А или B.Еще можно вывести из данной конструкции простую конъюнкцию без отрицания: A?B=¬(¬AV¬B);
«Если Вальтер Скотт написал роман “A..“ и роман “У..“, то неверно было бы сказать, что Вальтер Скотт не написал роман “A“ или роман “У“». II . Если неверно A или B, то верно, что не-А и не-B.
«Если неверно, что Рильке написал “Сонеты к Орфею“ или “Реквием“, то данное утверждение будет ложным, лишь в том случае, когда Рильке не писал и “Реквием“, и “Сонеты к Орфею“»Еще можно вывести из данной конструкции простую дизъюнкцию без отрицания: AVB=¬(¬A?¬B);
«Если Рильке написал “C…“ или “Р…“, то неверно было сказать, что Рильке не написал “С…“ и “Р…“».
Законы контрапозиции — это логические правила, которые помогают поменять местами антецедент и консеквент с помощью отрицания.
Очень простой закон, который еще проще предыдущего ? разберу лишь по одному примеру(почти).
III. «Если А переходит в B, то не-B переходит в не-А»
«Если верно, что число, выпитых мною кружек кофе в день, делится на шесть, делится на три, то также верно, что число, выпитых мною кружек кофе в день, не делится делится на три, не делится на шесть.»
Подпункт разбирать не вижу смысла, т.к он идентичен, только наоборот.IV. «Если А переходит в не-B, то B переходит в не А».
«Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»«Если не-А переходит в B, то не-B переходит в А»
«Если не являющееся очевидным трудно, то не являющееся трудным очевидно».
Далее следует переходить к законам Дунса Скота и законам косвенного док-ва, потом расскажу кратко про модусы и закончу главу. Позже речь пройдет про кванторы(т.е предикатная логика), другие логики и пару парадоксов.

Законы Дунса Скота и закон Клавия .

Один из самых основополагающих правил, которое упоминал Марго в своей старой лекции по логике, думаю, что нужно развернуть поподробнее данный стейк.

Впервые упоминание закона принадлежит средневековому схоласту и философу Дунсу Скоту, прозванному «тонким доктором» схоластики.

Смысл этого закона можно передать так: из ложного утверждения высказывания(имплицирует) вытекает какое угодно утверждение.
Сначала разберем основной закон, а потом следствие.
Пример: Если не-А, то из А вытекает B.
«Если два умножить на два не будет равно четырем, то если дважды два все-таки четыре, то математику можете выкинуть на помойку.»Ничего страшного, если сразу не поняли, т.к более интереснее будет рассмотреть следствие из него, там подробнее и разберу.
Пример следствия: Если A и не-А, то B.
«Если Вечерняя звезда и Утренняя звезда не одно и то же, то Луна сделана из Сыра».
Давайте обратимся к записи данного закона — «(А и не-А) ? B». Данная запись(антецедент) является законом о непротиворечии. Вернитесь на тот пункт, когда я формализовал законы Аристотеля, и присмотритесь на таблицу истинности закона непротиворечия. Как видно было из таблицы, что если ((A=1 и не-А=1) или (А=0 и не-А=0)) ? ?. Именно к этому я и вел. При нарушении закона о непротиворечии можно будет вывести любую вещь, теперь давайте рассмотрим саму конструкцию закона о непротиворечия.
Конструкция: A?¬A — Тавтология, которая всегда ложна. Однако при нарушении данного закона (утверждая, что два члена истинны) можно будет вывести любой бред. Смотрите, если (A?¬A) является истинной, то импликация является тоже истинной, т.к конструкция переносит истинность на консеквент — «(Если Бертран Рассел ездил в СССР в 1920 году и Бертран Рассел не ездил в СССР в 1920 году)[предположим, что конструкция истинная], то нынешний король Франции — лысый. Как видно из примера выше — мы перенесли истинность антецедента на консеквент. Сейчас попробуем доказать данную вещь через отрицание.

Внимание: Сейчас пойдет самая неоднозначная вещь в статье, т.к я попытаюсь с помощью разных грязных трюков вывести данный закон(таким никто не занимался, т.к брал данный принцип за аксиому), следовательно, хоть таблицы истинности сошлись, но воспринимайте следующие два примера скорее как логическую магию, нежели серьезное доказательство. Если вы не хотите слушать бред безумного безумца, то можете пропустить данную часть и сразу прейти к рассмотрению примера Рассела.

UPD2: Еще важно сказать, что если пойдете в инженерную/математическую шарагу, то не советую использовать нижеприведенные примеры где-либо на практике. Как говорил один философов — «Если бы я верил во что-то подобное, то держал бы это в тайне». Надеюсь, что вы приняли мое предостережение, т.к в противном случае, преподаватель до конца вашего обучения будет тыкать в вас пальцем и смеяться.

Пример 2: через отрицание — Есть одна выводная формула, о ней следует сказать именно сейчас, т.к ранее смысла не было. ¬AVB=A?B. Смотрите, отрицание А — это все, чем не является А. Т.е, если я скажу, что не-А является ложным, то отрицание его является истинным (т.е А). Дизъюнкция является верной в случае, когда истинным является хотя бы один член конструкции(т.е B), следовательно если не-А ложно, то А истинно, тогда A(т.е 1)?B(т.е 1). Для большей красоты и понятности сравним таблицы истинности, если A?B и ¬AVB таблицы буду совпадать, то данные операции взаимозаменимы.

Следовательно, можно сказать, что ¬AVB=A?B. Однако, если мы полагаем, что утверждения А и не-А истинны, то конструкцию ¬AVB=A?B можно упросить до ¬A?(A?B), т.к если мы предполагаем, что отрицание и утверждение равны, то нет смысла вводить дизъюнкцию с отрицанием и верным утверждением, а сразу можно перейти к импликации. Данное док-во является очень сомнительным, «пример 3» мне нравится более.
Пример 3: через закон искл.третьего —
«Достоевский стоял на эшафоте и нынешний король Франции — лысый». Понятно, что утверждение «Достоевский….» является истинным, а нынешний король Франции — ложным. (A и B)=1?0. Данная конъюнкция является ложной, т.к дасточно лишь одного ложного A или B.
Теперь возьмем утверждение(и его отрицание) — «Достоевский никогда не стоял на эшафоте и нынешний король Франции — лысый» и начнем утверждать, что A в данной конструкции истинная, тогда формально это можно будет записать: (A?B)V(¬A?B). Далее мы выводим из данной конструкции, что (A?B)V(¬A?B)=B?(A¬VA). Данная формула является — формулой дистрибутивности.

Разберемся с частью «B?(¬AVA)». Как мы рассмотрели выше, чтобы перейти от дизъюнкции к импликации, нам надо иметь такую форму — «¬AVB». Однако, как говорилось выше, если равны значения таблиц истинности, то данные конструкции равнозначны. Здесь похожий принцип, если ¬A и А истинны, то Z?B?(¬A?A)?B. Что и требовалось доказать.

Перевернутая «A» значит — для любого..

Как видно из таблиц: «Z» — это закон исключенного третьего, а
«N»— закон о непротиворечии, забавно, что они сошлись. Закон искл.третьего — всегда верная тавтология, а закон о непротиворечии — всегда ложная тавтология(но в дискурсе закона Дунса Скота, мы предполагаем, что А и не-А — истинны.) Пустые множества свидетельствуют о том, что N и Z не могут быть ложными(в данном дискурсе), а третья строчка говорит о том, что при ложном «B» конструкция не может быть верной.

Пример Рассела

Так, с кринжатурой доказательства разобрались, теперь рассмотрим один замечательный пример, который привел Рассели, и который имеет форму (¬A?A)?B:
«Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим 1=2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел — два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рассел — это одно и то же лицо.»Вот один из примеров, когда нарушение закона о непротиворечие ведет к очень плачевным последствиям.

Закон косвенного док-ва и закон Клавия.

Последние два закона (и одни из самых простых). После данных вещей перейдем к предикатной логике.
Если кратко, то закон Клавия — это логический закон, связывающий импликацию и отрицание. Формальным образом закон Клавия можно записать следующим образом: (¬A?A)?A. Другими словами, если некое утверждение является следствием своего отрицания, то это утверждение истинно.
Приведу какой-нибудь пример: «"Я ничего не знаю", — высказывает нечто внутренне противоречивое утверждение. Он заявляет, в сущности — "Я знаю, что ничего не знаю", - но знание того, что никакого знания нет, всё-таки уже сообщает, что знание у него есть, значит говорящий утверждает, что никакого знания у него нет, а с другой стороны, утверждением этого сообщения сообщает, что некоторые знания у него всё-таки есть.»Как видно из примера, если из отрицания мы можем выразить само утверждение, то оно является истинным.
Если кратко, то закон косвенного доказательства — это более усовершенственный принцип Клавия, позволяющий делать заключения об истинности какого-то выска­зывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. (¬A?B?¬B)?A
Пример: «Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 — четное число».
На этом думаю, что следует окончить рассмотрение лог.законов, т.к всё самое основное я разобрал. Принципы поглощения, правила перевода эквивалента и прочее — вы сами сможете разобрать, т.к это совсем смешные вещи, но их вы нигде не увидите, да и нужны они для людей, которые жонглируют логическими формулами.

Кратко про модусы(необязательно)

Если быть кратким, то модус — это разновидность некоторой общей схемы утверждения. Разберу два основных, остальные два(отрицающе-утверждающий и утверждающе-отрицающий трайте сами).

Утверждающий модус — это схема рассуждений, позволяющая от утверждения антецедента условного высказывания перейти к утверждению консеквента этого высказывания: «Если верно А, то B, и верно А, то верно B»
Пример: «Если при Канте была семилетняя война и оккупация Кенигсберга, то Кант жил в 18 веке.»

(Если А, то B;A)/B, где «Если А, то B» — высказывание, А — посылки, B — заключение.
Например:

Если все люди, живущие до и после, смертны.
И Сократ является человеком
Сократ — смертен

Думаю, что данный принцип не представляет собой что-либо трудное.
Кстати, истинные посылки часто приводят к ложному утверждению.

Все самоубийцы являются меланхоликами
Эмиль Чоран был меланхоликом
Эмиль Чоран — самоубийца

Хоть Чоран и был меланхоличным философом, но жил он фактически 510 лет и умер от старости(как и Шопен). Как видно из примера — истинные посылки не гарантируют истинность заключения.

Отрицающий модус — это схема рассуждения, позволяющая от отрицания следствия высказывания перейти к отрицанию основания высказывания.
«Если верно, что если А, то B, и неверно B, то неверно А».:
Если с наступлением дня становится светло, но сейчас не светло, то день не наступил.
В народе данный модус называется — «Правилом фальсификации», с помощью него стараются вывести как можно больше следствий, что хоть какой-то из них оказался ложный, чтобы доказать ложность самого утверждения. Я рассказал обо всех основных правилах, далее перейдем к логическому квадрату.

Логический квадрат.(обязательно к прочтению)

Как я описывал уже в начале статьи — любое сложное высказывание состоит из простых, теперь стоит обратить внимание на внутреннюю структуру и их взаимосвязь между собой.
Далее мы будем рассматривать лишь одну разновидность высказываний — категорические суждения(или категорическими высказываниями).

Категорическое высказывание — это высказывание, в котором утверждается или отрицается наличие какого-то признак у всех или некоторых предметов рассматриваемого класса.
Любое утвердительное или отрицательное высказывание строится с применением: S и P

S — имя предмета о котором идет речь
P— какое-либо свойства предмета котором идет речь
Т.е(S — субъект, P — предикат).

Простые высказывания типа «S есть P» называется атрибутивным: в них происходит предписание какого-то свойства предмету(т.е атрибуция), противоположные атрибутивным высказываниям являются высказывания о отношениях, в которых устанавливаются отношения между двумя или большим числом предметов.
Далее рассмотрим четыре вида категорических высказываний.

(SaP) Все S есть P — общеутвердительное высказывание
(SiP) Некоторые S есть P — частноутвердительное высказывание
(SeP) Все S не есть P — общеотрицательное высказывание
(SoP) Некоторые S не есть P — частноотрицательное высказывание

Фактически: «Все есть», «некоторые есть» — это своеобразная функция(функтор), в которую вы подставляете утверждения S и P, тем самым получая какое-либо новое утверждение. Далее мы с помощью кругов Эйлера распишем каждый функтор. Кстати, я бы рассказал про пустые имена и однозначные, но эту шизу уже никто не берет во внимание. Пустое имя — это имя объекта, которого не существует в недвачерском мире(например, греческих богов или кисельных рек). Единичное имя — Сократ, Платон, т.п. Фактически — это единственный объект, которого не существует в другом экземпляре.

Мы разобрали утверждения на кругах Эйлера, теперь следует разобрать принцип работы логического квадрата. Смотри картинку с лог.квадратом

I. Противоречащие высказывания (SaP и Sop; SeP и SiP), которые расположены на диагоналях, не могут быть одновременно ложными или истинными, т.к (Sap?SoP) и (SeP?SiP) равносильны закону о непротиворечии (A?¬A). Например, «SaP» — «все люди смертны», «Sop» — «Некоторые люди бессмертны».(Явное противоречие), также и с (SeP ? SiP).

II. Противные высказывания (SaP и Sep) могут быть вместе ложными, но не могут быть истинными.
«Все философы — читали Гегеля» и «Ни один философ не читал Гегеля» оба ложные.

III. Подпротивные высказывания (SiP и SoP) не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными.
«Некоторые философы — поэты» и «Некоторые философы не поэты» оба утверждения истинны. (Похож на второй случай, только наоборот)

IV. В отношении подчинения находятся попарно высказывания: SaP и SiP; SeP и SoP. Из подчиняющего высказывания логически следует подчиненное: из SaP вытекает SiP и из SeP вытекает SoP. Также из истинности подчиняющего высказывания логические следует истинность подчиненного и из ложности подчиненного следует ложность подчиняющего. Например, из высказывания «Все люди смертны» следует высказывание «Некоторые люди смертны», также и для (SeP и SoP).

Я разобрал базу использования лог.квадрата. С помощью его, вы можете подставить любые S и P в какой-либо шаблон четырех утверждений, рассмотреть их противоречия, подчинения, истинность и ложность. Думаю, что это нетяжело.

лава 4. Предикатная логика первого порядка

Предикатная логика первого порядка — это расширенная логика высказываний, допускающая высказывания относительно переменных, функций и предикатов. Как видно из монотонной вставки из википедии, предикатная логика — это «логическое» продолжение логики высказываний, в которой появляются несколько новых операторов. Основная телега будет вокруг кванторов, которые впервые ввел Готлоб Фреге в своей работе «Запись в понятиях», которая являлась революционной для своего времени, но малопонятной для человека, который не привык траить сложные работы(А я читал Фреге и скажу, что хоть там и были шизойдные конструкции, но понять их можно). Однако конструкции Фреге не были изначально приняты, а обычную запись «?» и «?» были введены Генценом и Пирсом соответственно.
Кстати, я смысла не вижу подробно разбирать исчисление предикатов гильбертского типа и теорему о существовании модели, т.к в первом случае — необходимую базу я уже вам дал ? трайте сами, а про теорему о exist модели смысла нет говорить, т.к позже я буду говорить об её следствии(теорема о неполноте), но скорее всего об этом в следующей статье.

Давайте разберемся с сигнатурой(и нет, это ни на чем вы катаете в дотку)..
Сигнатура — это набор символов, специфических для конкретной системы, определяющих её формальный язык. Если переводить с языка википедии, то сигнатура — это дискурс какой-либо системы, в которой используется специфическая символика. Если говорить про сигнатуру самой предикатной логики, то в ней можно выделить пару множеств: ?=(R, Log, C, F, K,p)

R — множество символов для отношений переменных
Log— множество логических операций
K— Кванторы
F — множество функциональных символов
C — множество символов констант
p — функция, задающая R, C и Log их валентность*
Валентность — это вместимость какой-либо конструкции. Например, сложение — это бинарная операция, т.к в ней может присутствовать лишь две переменные.

Данный список — это переформулированная группа символов ИП, которая допустима в дискурсе логики предикатов. (Мат. логика и теория алгоритмов ст. 42). Кстати, в моем повествовании часто можно будет увидеть P(x), Q(x), A(x), etc(Т.е предикаты). Данные конструкции — это логические функции, которые содержат в себе несколько переменных. Например: A(x): x=x — это одна валентная(местная) функция, в которой содержится лишь одна переменная «x». Или P(x): x?+y?=0 — это бинарная функция, в которой содержится две переменные. Кстати, важно, чтобы условные переменные: x, y , z, etc — были гомогенными, т.е принадлежали к условному одному множеству «x ? X». Т.к, если мы возьмем какую-либо функцию в математическом движе — «sin(x)?+cos?(x)=1», то важно, чтобы «x» принадлежал к множеству вещественных чисел, а не к какому-нибудь, выходящему из математического дискурса, другому множеству.

Теперь стоит разобраться с кванторами и их применением.

Существует два квантора — «?» и «?».
«?» — Квантор всеобщности, который равносилен: «для любого», «для каждого», «для всех». Если переводить с языка википедии, то данный квантор можно рассмотреть как —«Для любого значения ''x'' функция является истинной. Или ложно было бы сказать, что при любом условном значении ''x'' функция была бы ложной.»
Возьму пример из первого вложения. A(x)?человек, B(x)?смертен, x?Сократ.?x(A(x)?B(x)). Читается даная формула: Высказывание является истинным для любого ''x'', если Сократ является человеком, то он смертен. (Учебник по лог.шизе(второй) ст.43).«?» — Квантор существования, который равносилен: «существует хотя бы один такой ''x'', для которого утверждение было бы неложным.»
Например, (?x)(x=x*1). Читается даная формула: Существует такое число, которое равное себе умноженное на 1».

Как видно из квадрата — квантор существования вытекает из квантора всеобщности, на «противных» сторонах находятся противоположные суждения.
Например, ?xP(x) — при любом «x» утверждение P(x) является истинным, а ?x¬P(x) — при любом «x» утверждение P(x) является ложным. Абсолютно аналогично для квантора существования. ?хP(x)— существует такой «x» для которого утверждение P(x) является истинным, а ?x¬P(x) —Для некоторого х неверно P(х).

Операциями над кванторами и прочие мелочи.I. Данные операции напоминают законы Де Моргана, только вместо отрицания конъюнкции или дизъюнкции, в данном принце отрицаются кванторы(вместе с утверждением) для перехода в другое утверждение. Например, второй пункт приложения 2. «Неверно, что существует ''x'' для которого утверждение P(x) являлся верным.» переходит в «Для любого ''x'' утверждение P(x) является ложным». Аналогичен и первый пункт.II. Кстати, в логике предикатов кроме MP(и только его) есть одно правило —«Правило обобщения». Если F?A(x), то F? ?xA(x). Если из F следует A, причем в А есть переменная «x», которой нет в F, то это значит, что А верна при любых значениях «x», если верно утверждение F.
III. Помимо обычного использования кванторов, вместе с ними часто используются символы «!», «:», «|», которые являются сокращениями:
! – «единственный». Например, ?!x — означает, что существует лишь один ''x'' для которого будет верно какое-либо утверждение. Из символов часто можно встретить «:» – «такой, что» и «|» – «такой, что». Это абсолютно две равнозначные операции, но «:» используют для доказательства какой-либо теоремы с помощью кванторов, а «|» нужна для рассмотрения множеств.
Например, если рассматривать «:», то

При изучении математики вы часто будете встречать подобную шизу, но т.к я вам уже рассказал как необходимо читать любую логическую шизофазию, то расшифровать данную дескрипцию будет нетрудно.
Например, если функция определена на некоторой окрестности конечной точки x0(и предел данной функции равен А), ТО для любого ? (бесконечно малого значения) отличного от 0, существует такое положительное число ?(зависящее от ? и отличное от нуля), что для всех «x», для которых выполняется неравенство 0</x-x0/<?(?) логически следует /f(x)-A/<?.
Подобную ментальную гимнастику вы будете часто видеть в высшей математике, но это нетрудно, тем более, если вы хорошо знаете логику.
Насчет второго символа, то его рассмотрим, когда будем проходить множества
Вроде все самое главное рассказал.

Глава 5. Неклассическая логика

В последних двух главах не будет много логических операторов, скорее будет история и рассуждения о логике. В начале рассмотрим логики, которые были созданы после «становления», а позже рассмотрим самые известные логические парадоксы. Статью можно было на этом окончить, но для философского движа маловатого «гуманитарной» информации ? давайте разбавим данную логическую шизу историей и становлением логического движа.
Кстати, данная глава является ознакомительной. Т.к всю базовую логику я вам объяснил, то вы сможете самостоятельно изучить любой подвид логики.

Если кратко, то результатом революции, произошедшей в конце 19 века, было возникновение логической теории, получившей со временем имя ранней современной логики. Классическую логику принято ограничивать работами Аристотеля. Тот же Кант считал, что логика(как и евклидовая геометрия) полностью законченные науки, неподлежащие дополнению. У истоков современной логики стоят наряду со многими другими философами: ирландский логик Буль(булевая алгебра), американский философ Пирс(кванторы, абдуктивная шиза), немецкий логик Фреге(Предикатная логика, кванторы, попытка реализации логицистского проекта, критика психологизма), английский философ Рассел(парадоксы, предикатная логика высших порядков, etc). В их работах была постепенно реализована идея перенесения в логику тех методов, которые обычно применяются в математике, к этому и сводится логицистский проект(но о нем позже). Ранняя современная логика ориентировалась на анализе математических рассуждений. С этими связаны некоторые ее фичи, нынче расценивающиеся как недостатки. В процессе становления она оказалась одной из многих логических теорий. Разнообразные неклассические направления, составляют в совокупности довольно разнородное целое, которое принято объединять под термином «неклассической логики». Некоторые из этих направлений находились в оппозиции к классической логике, другие — направлены на её дополнение. Скажу сразу, что подробно я изучал лишь абдуктивную шизу Пирса, также немного модальную и интуиционистскую логику? дам вам «обзорное» представление каждой неклассической логики, а дальше сами смотрите — следует ли вам разбирать данную шизу или нет.

Интуиционистская логика

На логику всегда были нападки, не успела она еще сложиться и окрепнуть, как сделалась объектом критики, идущей с разных сторон. Одними из наиболее активных в этом отношении были интуиционисты во главе с голландским математиком Л. Брауэром.

Данный негодяй считал, что источник математики – фундаментальная математическая интуиция. И не все логические принципы приемлемы для нее. В частности, так обстоит дело с законом исключенного третьего. Данный закон исторически возник в рассуждениях о конечных множествах объектов(Разделы высшей шизы Аристотелю были недоступны). Но позже данный закон попытались экстраполировать на бесконечные множества. Если множество является конечным, мы можем решить, все ли входящие в него объекты обладают некоторым свойством, проверив один за другим все данные объекты. Однако в классической(непрерывной) математике для бесконечных множеств такая проверка нереализуема. Допустим, рассматривая какую-либо конечную последовательность чисел, доказали, что не все они четны. Отсюда по закону исключенного третьего логически следует, что, по крайней мере, один член данной последовательности нечетный. При этом утверждение о существовании числа можно подтвердить, предъявив это число. Но если бы рассматриваемое множество(или последовательность) чисел было бесконечным, заключение о существовании среди них какого-нибудь нечетного числа оказалось бы непроверяемым. Таким образом, для интуиционистов, закон исключенного третьего не является универсальным. Как говорил немецкий математик Вейль — «Он может быть верным для всемогущего и всезнающего существа, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики». Выдвигая на передний план математическую интуицию, интуиционисты не придавали значения систематизации логических правил для данного дискурса. Только в 1930 годах окончательно систематизировали интуиционистскую логику. В данной логике помимо «Исключенного третьего» отбрасывается ряд других законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают: двойного отрицания, закон приведения к абсурду, etc. Еще в ней существует теорема Крейга об интерполяции и теорема Бета об определимости, которые работают лишь в некоторых логиках. Еще можно было рассказать о многозначных логиках, но это своеобразные системы, в которых закон о непротиворечии попал в дурку.

Модальная логика

В логике Аристотеля вещь существует или не существует, других вариантов нет. Однако как в обычной жизни, так и в разной прикладной шизофазии приходится говорить не только действительности, но и о том, что должно быть, или не должно быть. Данную нишу занимает модальная логика или «логика возможностей». Стремление дополнить классическую логику привело к возникновению модальной логики. Основная зада МЛ – анализ рассуждений, в которых встречаются модальные понятия, служащие для конкретизации устанавливаемых нами связей и их оценки. Еще Аристотель начал изучение наиболее часто встречающихся модальных понятий, как «необходимо», «возможно», «случайно». Нынешняя логика выделяет наиболее важные из этих групп и делает их предметом исследования. Она изучает общие принципы модальной оценки, справедливые для всех групп модальных понятий.
Раздел модальной логики, исследующей модальные конструкции(по типу
«знает» V «полагает»), получил название эпистемической логики. В числе самых простых законов этой логики такие положения: «Невозможно полагать что-то и вместе с тем сомневаться в этом», «Если субъект убежден в чем-то, неверно, что он убежден также в противоположном», etc.Временные модальные понятия по типу: «было», «будет», «раньше», «позже», «одновременно», etc изучаются логикой времени..
В последние десятилетия модальная логика бурно развивается, вовлекая в свою орбиту все новые группы модальных понятий. Существенно усовершенствованы способы ее обоснования. Это придало модальной логике новое дыхание и поставило ее в центр современных логических исследований.

Паранепротиворечивая логика

Любой здравомыслящий дискурс непримирим к противоречиям и всегда старается бороться с ними. Однако в «становлении» многих теорий, имеются периоды, когда в них присутствуют внутренние противоречия.
Логика, требующая исключения любых противоречий, должна считаться с этим нюансом. Кстати, иногда логике присущи внутренние противоречия (логические парадоксы), периодически доставляющие, немало раздражения, а иногда, делящие на 0 целые логические системы(как «наивную теорию множеств» Кантора, но об этом заключительной главе). Согласно закону Дунса Скота, из противоречия следует все, что угодно. Если в системе знаний существует противоречие, то в ней доказуемы любые утверждения(смотри закон Дунса Скота). Очевидно, что тем самым любая теория будет разрушена.
Однако в мире, где априорно синтетические суждений не существует(в мире, который не на бумаге) никто не пользуется этим разрешением выводить из противоречий все, что угодно. Практика научных рассуждений резко расходится в данном пункте с классической логической теорией. В качестве реакции на эту дихотомию начали разрабатываться различные варианты паранепротиворечивой логики. Несколько своеобразное название служит подчеркнуть, что она иначе трактует противоречие, чем классическая логика. Исключается, в частности, возможность выводить из противоречий любые утверждения. Доказуемость в теории противоречия перестает быть, дамокловым мечем, нависшим над ней. Однако это не устраняет принципиальную необходимость избавляться от противоречий в процессе дальнейшего развития теории. Существуют несколько подразделов данного логического течения: Релевантная логика, дискурсивная паранепротиворечивая логика (первая созданная паранепротиворечивая логика), многозначная логика, etc.

Логика причинности(абдуктивная шиза)

Понятие причинности является одним из центральных как в прикладном дискурсе, так и в любом(почти) философском движе. Причинная связь не редуцируется к логическим отношениям. Однако то, что причинность не сводима к логике, не означает, что проблема причинности не имеет никакого логического содержания и не может рассматриваться с помощью логических операторов (и когда подобная глупость останавливала философа?). Задача логического исследования абдуктивной шизы заключается в систематизации тех правильных схем рассуждений, посылками или заключениями которых служат высказывания. В логике причинности связь причины и следствия представляется особым условным высказыванием – «каузальной импликацией». Последняя иногда принимается в качестве исходного, не определяемого явным образом понятия. Смысл задается множеством аксиом. Но чаще такая импликация определяется через другие, более ясные или более фундаментальные понятия. В их числе понятие онтологической необходимости, понятие вероятности, etc. Так, вроде все важное рассказал. Теперь стоит перейти к последней части.

Глава 6. Логические парадоксы

(заключение, не диагноз)

Разберем основные парадоксы и закончим на этом. Дам лишь необходимые, без которых вам не обойтись. Если кратко, то парадокс в логике — это противоречие, имеющее не ложную форму(выведены правильно) и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Парадокс лжеца

Наиболее известным и самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс «Лжец»(данный парадокс является разновидностью парадокса Рассела). В простейшем варианте «Лжеца» человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Или говорит: «Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, и значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот. В средние века распространенной была такая формулировка:

– Сказанное Платоном – ложно, – говорит Сократ.
– То, что сказал Сократ, – истина, – говорит Платон.

Возникает вопрос, кто из них высказывает истину, а кто ложь? Парадокс «Лжец» произвел громадное впечатление на греков(в древней Греции он и был открыт). И легко понять почему. С виду простое высказывание, но своей парадоксальностью заставляет пересмотреть некоторые взгляды на логические конструкции. В 20 веке данный парадокс будет переоткрыт и формализирован Расселом… И поверьте, под раздачу попали все: Фреге, Гильберт, Кантор, но об этом позже.

Неразрешимый спор

В основе одного античного парадокса лежит небольшой казус, случившийся ±2300 лет назад, но не забытый до сих пор.
У самого главного софиста (Протагора), жившего в 5 веке до н.э, был ученик по имени Еватл, обучавшийся праву. Кстати, хоть я в начале статьи оболгал софистов, но важно разъяснить одну вещь. Раньше софисты были учителями риторики/права/bottom text, которые помогали выступать на агоре*, т.е были простыми учителями, которые учили выступать на заседаниях суда, отстаивать какую-либо точку зрения. Однако из-за метода ведения дискуссий они были уничтожены руками Платона, Аристотеля, etc. Так вот, по договору между Еватлом и Протагором, Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Если же он этот процесс проиграет, то платить не обязан. Но, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в судебных процессах. Это длилось довольно долго, терпение Протагора кончилось, и он подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Свое требование Протагор предъявил так:

– Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно этому решению.

Однако Еватл был не из робкого десятка, поскольку ответил Протагору:

– Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора

Кстати, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение «Тяжба о плате», но данный трактат, как и большая часть написанного Протагором, не дошло до нас. Например, Лейбниц, т.к был юристом по образованию, также отнесся к этому спору всерьез. В своей диссертации «Исследование о запутанных казусах в праве» он пытался доказать, что все случаи, даже самые шизойдные и «неопределенные», подобные тяжбе Протагора и Еватла, должны быть разрешены с помощью логики и здравого смысла. По рассуждению Лейбница(из его диссера), суд должен отказать Протагору за несвоевременностью предъявления иска, но оставить за ним право потребовать уплаты денег Еватлом позже, после первого выигранного им процесса.

Парадокс Рассела

Данный парадокс очень важен для логического движа. Обнаружил его Рассел и сообщил его в письме к Фреге. Дело в том, что Готлоб Фреге пытался реализовать логицистский(сведение аксиом математики к логике), попытка данного действия была реализованная с помощью «наивной теории множеств» Кантора, но Рассел нашел противоречие в работах Кантора, следственно опрокинул попытку Фреге реализовать логицистский проект(Потом еще Гедель все добил). Приведу выдержку из письма.

Только в одном месте я встретился с трудностью. Вы утверждаете (с. 17)(Begriffsschrift), что функция может быть неопределённым элементом (т.е. играть роль функциональной переменной). Я тоже раньше так думал, но сейчас этот взгляд вызывает у меня сомнения из-за следующего противоречия. Пусть w есть предикат «быть предикатом, который не приложим к самому себе». Приложим ли предикат w к самому себе? Из любого ответа на этот вопрос вытекает его противоположность. Поэтому мы должны заключить, что w не есть предикат. Точно так же не существует класса(как целостного образования) тех классов, которые — как целостные образования — не содержат самих себя. Отсюда я заключаю, что понятию класса при определенных условиях не соответствует чего-либо целостного.
Из письма Рассела к Фреге 16 июня 1902 года

Ничего страшного, если вы не поняли с первого раза. Давайте разберем на простых понятиях(из выдержки наивной теории множеств). Изначально в парадоксе речь шла о множествах, т.е о множествах различных объектов, например, о множестве всех немцев или о множестве действительных чисел. Допустимо также множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий. Относительно любого взятого множества возможно спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента = обычные. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество, которое содержит само себя в качестве элемента.

Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Если множество обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества, логично. Но это означает, что оно является необычным множеством, т.к содержит себя как элемент. Допущение, что данное множество представляет собой обычное множество, приводит к противоречию. Это значит, что оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть необычным: необычное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к выводу, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством, что нарушает закон искл.третьего.
Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Следствие данного противоречия говорит о том, что такого множества просто не существует. Давайте теперь рассмотрим данную шизу с другой стороны.. Если быть кратким, то данный парадокс является областью определений для множеств, т.е дает ограничение на то, что можно впихнуть во множество, чтобы при этом оно являлось непротиворечивым. Именно из-за этого пришлось полностью пересмотреть «наивную теорию множеств» Кантора. Данный баг можно пофиксить разными способами, но самый простой способ — это сделать так, чтобы в теории был запрет нате или иные множества, которые могут содержать себя в качестве элемента ? отсутствие расселовского множества в дискурсе. Есть еще способ Рассела, теория Цермело — Френкеля, etc, но об этом как-нибудь в другой раз.

Апории Зенона

Создать карусель

Заключающий подпункт. Буду очень краток, разберу лишь основные мотивы.
Если кратко, то апория — это вымышленная, логически верная ситуация, которая не может существовать в реальности. Обратимся теперь к конкретным апориям и тем проблемам, которые стоят за ними. Знаменитые рассуждения древнегреческого философа Зенона «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия», etc, называемые апориями, были направлены против движения и существования многих вещей. Теперь посмотрим, как они формулируются, и обратим внимание на их незамысловатость. UPD: я не вижу смысла рассматривать апорию «дихотомия», т.к она аналогична апории про Ахилла.

«Ахиллес и черепаха»

«Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.»Данный парадокс походит на предел функции, где условное значение Ахилла всегда приближается к черепахе, но никогда не достигнет её. Довольно простой и понятный парадокс, можно его еще через сходящиеся ряды решить, но кому это нужно. Я вам лишь представление даю о парадоксах, а не их решение.

Апория «Медимн зерна»

Зенон предложил еще один софизм – «Медимн зерна».
«Большая масса мелких зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом»
Тоже очень простой софизм, который похож на софизм: «Куча» и «Лысый»

Стрела Зенона

Последняя из списка — апория про стрелу, но она очень важная для философского движа.

«Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в котором стрела совершает движение.»
Эта апория направлена против представления о непрерывной величине как о сумме бесконечного числа неделимых частиц. Кстати, поэтому элеатов в древности называли афизиками, т.е противниками науки о природе. Вроде все самое необходимое рассказал.
Вот что на эту тему пишет Гегель:

Третья форма доказательства состояла, согласно Аристотелю, в следующем. Зенон говорит: «Летящая стрела находится в покое, и именно потому, что движущееся всегда находится в равном себе «теперь» и равном себе «здесь», в неразличимом»; стрела – здесь и здесь и здесь. Мы можем сказать о стреле, что она всегда одна и та же, так как она всегда находится в одном и том же пространстве и в одном и том же времени; она не выходит за пределы своего пространства, не занимает другого, т. е. большего или меньшего пространства, но это мы называем не движением, а покоем. В «здесь» и «теперь» упразднено становление иным; в них, правда, положена ограниченность вообще, но она положена лишь как момент; так как в «здесь» и «теперь», как таковых, не содержится различия, то выдвигается непрерывность против мнения о разности, которое есть лишь мнение. Каждое место есть разное место, следовательно, оно есть одно и то же место; не в этих чувственных отношениях, а лишь в духовном мы встречаем истинное, объективное различие.

В первых двух доказательствах непрерывность в поступательном движении является преобладающим моментом; нет абсолютной границы, а есть лишь выхождение за пределы всякой границы. Здесь же фиксируется как раз обратное; фиксируется именно абсолютное ограничение, перерыв непрерывности, но без перехода в другое; исходя из предпосылки дискретности, мы в действительности признаем непрерывность. Аристотель говорит об этом третьем доказательстве: «Оно возникает из того, что Зенон принимает, будто время состоит из теперь, ибо, если мы не согласимся с этим, не получится вывода».

Мы это же встречаем и в области механики; в последней спрашивают, которое из данных двух тел движется. Чтобы определить, которое из них движется, требуется больше двух мест, по меньшей мере три. Но верно, во всяком случае, то, что движение всецело относительно; движется ли глаз в абсолютном пространстве или покоится, это совершенно то же самое. Или, согласно положению Ньютона, если два тела движутся кругообразно друг вокруг друга, то спрашивается, находится ли одно из них в покое или оба движутся. Ньютон хочет решить этот вопрос посредством внешнего обстоятельства, посредством натяжения нитей. Когда я, находясь на корабле, иду в направлении, противоположном направлению движения корабля, то это – движение по отношению к кораблю и покой по отношению к чему-либо другому.

Гегель с Аристотелем(Данный негодяй дал свое мнение на апории Зенона в своем трактате «Физика») стоят на постулате непрерывности времени и пространства. С позиции данных злодеев «Стрела» решается очень, даже решать её не нужно, ибо она нацелена на дискредитацию сторонников дискретного пространства-времени. Цель апорий — показать, что наше (математическое) представление о движении противоречиво. Кстати, поэтому элеатов в древности называли афизиками, т.е противниками науки о природе. Вроде все самое необходимое рассказал.

Авторское отступление.

Сказать, что я хочу самоуничтожиться — ничего не сказать. Я надеюсь, что я смог кого-либо сподвигнуть к самостоятельному изучению логики. На этом первая часть статьи окончена. В следующей части(если я не повешусь на дверном проеме) мы разберем математическую логику.
Надеюсь, что я смог кому-либо помочь с пониманием классической логики.
А мне пора возвращаться в кофейню, за реку Иордан.

Источник: m.vk.com

Комментарии: