Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел.

МЕНЮ


Искусственный интеллект
Поиск
Регистрация на сайте
Помощь проекту

ТЕМЫ


Новости ИИРазработка ИИВнедрение ИИРабота разума и сознаниеМодель мозгаРобототехника, БПЛАТрансгуманизмОбработка текстаТеория эволюцииДополненная реальностьЖелезоКиберугрозыНаучный мирИТ индустрияРазработка ПОТеория информацииМатематикаЦифровая экономика

Авторизация



RSS


RSS новости


Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел. Формула факториала: n! = 1 * 2 * … * n. Математическая формула представлена восклицательным знаком «!». Термин был введен в 1800 году, а обозначение появилось только в 1808. В формуле нужно умножить все целые числа от 1 до значения самого числа, стоящего под знаком факториала. Пример: 7! = 1 * … * 7 = 5040. Факторизация - разложение функции на множители.

Рекуррентная формула:

n! = 1 если n = 0

n! = (n - 1)! * n если n > 0

Комбинаторная интерпретация:

Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.

Формула Стирлинга:

Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член: n! ? ?(2?т) * (n / e)^n

Можно ли вычислить 0,5 или -3,217? Нет, нельзя. Но можно использовать нечто под названием «Гамма-функция», что намного сложнее. Гамма-функция позволяет вычислять факториалы дробных чисел.

А как вычислить факториал нуля? Если вернуться к определению, то видно, что применять его в случае «0» нет смысла. Положительных чисел до 0 нет, поэтому 0 x 0 = 0. Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1. Из определения факториала следует соотношение (n-1)! = n! / n, откуда при n = 1 формально находим 0! = 1. Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция n^n растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например exp(exp(n)).

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADBC BDAC CDAB DCAB

ADCB BDCA CDBA DCBA

Не лишним будет сказать, что комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1 — количество перестановок пустого множества равно единице.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением n! = Г(n + 1). Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n = -1,-2,-3...

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n! предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента ?(2?) была неопределённая константа).

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что: (1/2)! = ?? / 2

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер.

Математика и многие ее области используют функцию. В комбинаторике функция была введена именно для расчета перестановки. Также понятие тесно связано с биномом ньютона (формула бинома Ньютона необходима для разложения степени (x + y)^n в многочлен).

#программирование #физика #математика #информатика

#огэ #егэ #itmentor #репетитор #алгебра

Комментарии: