Теория вероятностей, полный курс часть 1

Типы событий:
  1. Достоверные
    - событие которое обязательно произойдет
  2. Невозможное 
    - событие никогда не произойдет, так при броске монеты не может выпасть 2 стороны одновременно 
  3. Случайное 
    - событие может произойти, а может и нет

Любой результат события называется исходом, их обозначают большими латинскими буквами
Если вероятность одного события не больше вероятности другого, то их называют равновозможными 

Совместные и несовместные события. Противоположные события.
  1. Несовместное событие - событие которое исключает появление других событий; примером       

       несовместного события может служить пара противоположных
       Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате одного 

       из испытаний появится одно из этих событий

     Пример: выпадение одной из граней игрального кубика (всего 6 событий), образует полную   

       группу событий, но каждое из них является несовместным
  
  2. Совместные события - событие, появление которого не исключает появление другого
    Пример: 

       А - на кубике выпадет четное число, 

       В - выпадет число 2. 

       Появление одного из этих событий не исключает появление другого  

Алгебра событий
  1. Суммой 2 событий А и В называется событие А+В, которое означает событие в котором

     произойдет событие А или В, А и В.
     Если события несовместны, то только А или В
  2. Произведением событий А и В, называют событие А * В, которое означает что события А и В 

     произойдут одновременно 


Вероятность события
 - Обозначается буквой P(Probability), выражает вероятность появления того или иного события
   P(A) = m/n

     m - количество соответствующих данному событию исходов
     n - общее число исходов
   Пример: вероятность выпадения одного из ребров кубика равно возможна и равна P(Выпадение 

     одной из граней) = 1/6

     m = 1, так как может выпасть одновременно только 1 грань куба
     n = 6, всего граней, которые могут выпасть
 - Вероятность любого события может быть только от 0 до 1, включительно
 - Сумма вероятностей, которые образуют полную группу равна единице
  Пример: 2 противоположных события в сумме дают 1, если вероятность выпадения орла равна 1/2, 

     то вероятность его не выпадения равна 1 - 1/2 = 1/2 
     аналогично выпадение цифры 3 равно 1/6, а вероятность невыпадения 3 равна 1 - 1/6 = 5/6. 

Задачи по комбинаторике. Примеры решений
  - Перестановки(Permutations), представление Различных объектов, у которых отличается только 

     порядок расположения уникальных объектов
     P = n!
     n - общее количество различных элементов
    Пример: Сколькими способами можно рассадить 5 человек? P = 5! = 120. Ответ: 120 способами 

     можно рассадить людей
     Примечание: отличие от Размещений в том, что в Перестановках мы работаем со всеми объектами 

  - Сочетания(Combinations) - это комбинации по m объектов из общего количества n, в которых не 

     важен порядок уникальных объектов
     C = n!/( (n - m)! * m! )
     n - общее количество различных элементов
     m - количество элементов в одной из групп
     ---
    Пример 1: Сколькими способами можно взять 4 разноцветных фломастера из 15? 
     С = 15!( (15 - 4)! * 4! ) = 15!/(11! * 4!) = 1365 Ответ: 1365 способами можно выбрать 

     фломастеры по 4 штуки
     ---
    Пример 2: Сколькими способами из 36 карт можно выбрать 3?
    С = 36!/( (36 - 3)! * 3! ) = 7140

     
  - Размещения(Arrangements or Variations)- это перестановки по p объектов из общего количества 

     n, в которых важен порядок уникальных объектов
     A = n!/(n - p)!
     n - общее количество объектов
     p - количество объектов в выборке

     
    Пример 1: Сколькими способами можно раздать 3 людям по карте из 36 карт? 
      А = 36!/(36 - 3)! = 33 * 34 * 35 = 42840
      В этом случае порядок выдачи имеет значение, так как нам важно какая карта оказалась у 

      человека

    Пример 2: Сколькими способами можно выбрать 2 человека из 23? 
      А = 23!/(23 - 2)! = 22 * 23 = 506
      В этом случае порядок имеет значение, так как человек может старостой или заместителем 
  - С * Р = А (С * Р = V)

Правило сложения и правило умножения комбинаций
  - Сложение(ИЛИ) 
    Пример: Сколькими способами можно выбрать человек одного пола из 10 юношей и 13 девушек?
    С(2/10) + C(2/13) = 10!/( (10 - 2)! * 2! ) + 13!/( (13 - 2)! * 2!) = 45 + 78 = 123

  - Умножение(И)
    Пример: Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки? Ю = 10, Д = 13
    С(1/10) * C(1/13) = 10 * 13 = 130

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
 - Перестановки с повторениями(Permutations with repetitions) - те же самые перестановки, но с 

    повторениями
    P = n!/(n1! * n2! * ... * nk!)
    n - общее количество элементов
    n1, n2, nk - повторяющиеся элементы

    
   Пример: Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой букв слова: 

    КОЛОКОЛЬЧИК?
    К – повторяется 3 раза
    О – повторяется 3 раза
    Л – повторяется 2 раза
    Ь – повторяется 1 раз
    Ч – повторяется 1 раз
    И – повторяется 1 раз
    P = 11!/(3! * 3! * 2! * 1! * 1 * 1!) = 554400

 - Сочетания с повторениями(Combinations with repetitions) - те же самые комбинации, но с 

    повторениями
    C(m/(n+m-1)) = (n + m - 1)!/( (n - 1)! * m! )
    n - общее количество различных элементов
    m - количество элементов в одной из групп

    ---

   Пример: Есть по 5 сосисок в тесте, ватрушек и пончиков. Сколькими способами можно приобрести 

    набор из 5 продуктов?
    Как и раньше нам не важен порядок приобретения товаров, но в этом случае мы можем приобрести 

    одинаковые товары.
    C = (5 + 3 - 1)!/( (5 - 1)! * 3! )
    m = 3, количество видов продуктов
    n = 5, общее количество в одной группе

 - Размещения с повторениями(Variations with repetitions) - перестановки множества из n 

    элементов по группам из m, элементы повторяются 
    A = n^m
    n - количество элементов на одной из позиций
    m - количество ячеек

    ---
   Пример 1: Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
    В каждой из ячеек может быть цифра от 0 - 9, всего 10 цифр. Всего ячеек 4, причем цифры в 

    них могут повторяться, ничего не мешает появлению комбинации 4444 или 6565. 
    A = 10^4 = 10000 Ответ: существует 10000 различных комбинаций 4-х значного числового пароля

    ---
   Пример 2: Сколько всего можно составить автомобильных номеров, которые содержат 3 цифры и 3 

    буквы? А,В,Е, К,М,Н, О,Р,С, Т,У,Х
    Так как цифры и буквы могут повторяться, рассмотрим каждый пример отдельно. 
    Для цифр, аналогично предыдущему примеру будет A = 10^3 = 1000 вариаций(допустим можно 

    использовать 000)
    Для букв, A = 12^3 = 1728
    Так как они работают вместе, то A = 1000 * 1728 = 1728000 вариаций автомобильных номеров

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
 - Теорема сложения вероятностей несовместных событий - вероятность появления одного из двух 

    НЕсовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий
  P(A+B) = P(A) + P(B)

    ---
  Пример 1: Какова вероятность что при броске кубика выпадет число >=5 ?
    Так как это может произойти только если выпадет 5 или 6, то вероятность этого случая равна 

    сумме вероятностей отдельных случаев
    P(A) = 1/6 - вероятность выпадения 5
    P(B) = 1/6 - вероятность выпадения 6
    P(A+B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

    ---
  Пример 2: Какова вероятность того что студент сдаст экзамен, если он выучил только 25 вопросов 

    из 60? Зачет начинается от 2 правильных ответов из 3.
    Рассмотрим 2 НЕсовместных, благоприятных собития
    А - студент ответит на 2 вопроса
      Всего таких комбинаций существует 
      С = C(1/25) * C(2/25) = 25 * 25!/( (25 - 2)! * 2! ) = 25 * 12 * 25 = 7500 
    В - студент ответит на 3 вопроса 
      C = C(3/25) = 25!( (25 - 3)! * 3! ) = 23 * 4 * 25 = 2300
    Всего комбинаций вопросов из 60 по 3
      C = C(3/60) = 60!/( (60 - 3)! * 3!) = 58 * 59 * 10 = 34220
    Следовательно вероятность сдачи равна:
    P(A + B) = (7500 + 2300) / 34220 = 0.286

    ---
  Пример 3: Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 

    2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. 
    Какова вероятность того, что будет выбран ящик с первого или третьего склада.
    Всего исходов 20, так как столько ящиков всего
    P(A + B) - вероятность того, что будет выбран ящик с первого или третьего склада
      P = P(A) + P(B) = 0.2 + 0.35 = 0.55
    P(A) - вероятность того, что будет выбран ящик с первого 
      P = 4/20 = 0.2 
    P(B) - вероятность того, что будет выбран ящик с третьего склада
      P = 7/20 = 0.35
    Ответ: 0.55 вероятность того, что будет выбран ящик с первого или третьего склада
 
 - Независимые события - событие, вероятность наступления которого не зависит от другого

    
 - Теорема умножения вероятностей независимых событий - вероятность совместного появления независимых событий А и В 
   равна произведению вероятностей этих событий:
   P(A*B) = P(A) * P(B)

   Пример 1: Какова вероятность выпадения 2 решек на 2 одновременно подбрасываемых монетах?
    P(A) - вероятность выпадения решки на 1 монете
      P = 1/2
    P(B) - вероятность выпадения решки на 2 монете
      P = 1/2
    P(A*B) = P(B) * P(A) = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 0.25
    Ответ: 0.25 вероятность выпадения 2 решек на 2 одновременно подбрасываемых монетах

    ---
   Пример 2: В каждом из трех ящиков по 10 деталей. В первом ящике 8 обычных деталей, во втором 

    – 7, в третьем – 9. 
    Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали 

    окажутся стандартными.
    P(A) - вероятность извлечения обычной детали из 1 ящика
      P = 8/10 = 0.8
    P(B) - вероятность извлечения обычной детали из 2 ящика
      P = 7/10 = 0.7
    P(C) - вероятность извлечения обычной детали из 3 ящика
      P = 9/10 = 0.9
    P(ABC) = P(A) * P(B) * P(C) = 0.8 * 0.7 * 0.9 = 0.504

    
 - Зависимые события - событие вероятность которого зависит от появления или НЕпоявления предыдущих

      
 - Условная вероятность - вероятность, которая вычисляется в предположении того, что другое событие УЖЕ произошло
   P(B|A) 
   A - произошедшее событие влияющее на событие В 
   B - зависимое событие 
   Пример: Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что 

    вторая карта окажется червой, если до этого:
    а) была извлечена черва
    б) была извлечена карта другой масти

    а) Так как до этого в колоде было всего 36 карт и 9 черв, то после извлечения одной червы, 

    вероятность вытащить вторую равна
       8/35 , так как в колоде осталось 35 карт и 8 черв
    б) Так как до этого в колоде было всего 36 карт и 9 черв, то после извлечения карты другой 

    масти, вероятность вытащить вторую черву равна
       9/35 , так как в колоде осталось 35 карт и 9 черв

    
 - Теорема умножения вероятностей зависимых событий
   P(A*B) = P(A) * P(B|A) 

    ---
   Пример: обращаясь к примеру с червами 
   P(AB) = P(A) * P(B|A) = 9/36 * 8/35 = 0.571

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий
  - Пример 1
      Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.8, второго – 0.6. Найти вероятность того, что:
        а) только один стрелок попадёт в мишень;
        б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.
      P(A) - вероятность попадания 1 стрелка = 0.8
      P(B) - вероятность попадания 2 стрелка = 0.6

      ---
      а) Вероятность случая когда только один из стрелков попадет в мишень равна случаю
         когда 1 стрелок попадет, а второй промахнется и наоборот
         P(A*not(B) + not(A)*B) = P(A * not(B)) + P(not(A) * B) = 0.8 * 0.4 + 0.6 * 0.2 = 0.32 + 

         0.12 = 0.44
         P(not(A)) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2
         P(not(B)) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4
         Ответ: 0.44
      ---
      б) Вероятность случая когда только один из стрелков попадет в мишень равна случаю
         когда 1 стрелок попадет, а второй промахнется и наоборот, а также когда попадут оба
         P(A*not(B) + not(A)*B + A*B) = P(A * not(B)) + P(not(A) * B) + P(A*B) = 0.8 * 0.4 + 0.6 

         * 0.2 + 0.6 * 0.8 = 0.32 + 0.12 + 0.48 = 0.92

         
         P(not(A)) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2
         P(not(B)) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4
         P(A*B) = P(A) * P(B) = 0.8 * 0.6 = 0.48
         Ответ: 0.92
      
Формула полной вероятности и формулы Байеса
 - формула полной вероятности 
    Эта формула(без громоздких доказательств) алгебраически вытекает из определения зависимых событий
    Пример для 3 событий:
    P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|C) * P(C)
    Примеры с ней не очень важны на практике
 - Закон Байеса - При условии, что событие А уже произошло, вероятности гипотез переоцениваются 

                  по формулам, которые получили фамилию английского священника Томаса Байеса:
    P(B1|A) = P(B1) * P(A|B1) / P(A) – вероятность того, что имела место гипотеза B1
    P(B2|A) = P(B1) * P(A|B2) / P(A) – вероятность того, что имела место гипотеза B2

    Зачем пересчитывать вероятности гипотез, если они и так известны? Но на самом деле разница 

    есть.
    P(B1), P(B2) – это априорные (оцененные до испытания) вероятности
    P(B1|A), P(B2|A) – это апостериорные (оцененные после испытания) 
   ---
   Пример: На склад поступило 2 партии изделий: первая – 4000 штук, вторая – 6000 штук. 
    Средний процент нестандартных изделий в первой партии составляет 20%, а во второй – 10%. 
    Наудачу взятое со склада изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно: 
      а) из первой партии 
      б) из второй партии
    1) Выполним расчеты в предположении, что испытание ещё не произведено и событие "А" пока не 

    наступило
      Рассмотрим 2 гипотезы:
        B1 - наудачу взятое изделие будет из 1 партии
        B2 - наудачу взятое изделие будет из 2 партии
      Всего 10000
      P(B1) = 4000/10000 = 0.4
      P(B2) = 6000/10000 = 0.6
      Рассмотрим зависимое событие А - взятое изделие будет стандартным
      В 1 партии 1 - 0.2 = 0.8 стандартных изделий, значит P(A|B1) = 0.8
      Во 2 партии 1 - 0.1 = 0.9 стандартных изделий, значит P(A|B2) = 0.9

      По формуле полной вероятности получаем
      P(A) = P(B1)*P(A|B1) + P(B2)*P(A|B) = 0.4*0.8 + 0.6*0.9 = 0.86 – вероятность того, что 

      наудачу взятое на складе изделие будет стандартным
    
    2) Выполним расчеты в предположении, что испытание уже произведено и событие "А" произошло
      По формулам Байеса
      а) P(B1|A) = P(B1) * P(A|B1) / P(A) = 0.4 * 0.8/0.86 = 0.32/0.86 = 0.37 - вероятность 

      того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 1 партии
      b) P(B2|A) = P(B2) * P(A|B2) / P(A) = 0.6 * 0.9/0.86 = 0.54/0.86 = 0.63 - вероятность 

      того, что выбранное стандартное изделие принадлежит 2 партии
      Так как эти несовместные события образуют полную группу 0.37 + 0.63 = 1, значит вычисления 

      правильные 

Источник: m.vk.com

Комментарии: